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什么是等价关系 等价关系是什么

学习啦【百科知识】 编辑:谢君 发布时间:2016-08-27

  等价关系是集合上的一种特殊的二元关系,它同时具有自反性、对称性和传递性。那么你对等价关系了解多少呢?以下是由学习啦小编整理关于什么是等价关系的内容,希望大家喜欢!

  什么是等价关系

  等价关系是集合上的一种特殊的二元关系,它同时具有自反性、对称性和传递性。常用等价关系来划分集合,选取每类的代表元素来降低问题的复杂度,如软件测试时,可利用等价类来选择测试用例。

  等价关系的定义

  设 R 是集合 A 上的一个二元关系,若R满足:

  自反性:∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R

  对称性:(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R

  传递性:(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R

  则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系。设 R 是一个等价关系,若(a, b) ∈ R,则称 a 等价于 b,记作 a ~ b 。

  等价关系的应用

  例一:

  设A = {1, 4, 7},定义A上的关系R如下:

  R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 }

  其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余,即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。

  设 f 是从 A 到 B 的一个函数,定义 A 上的关系 R :aRb,当且仅当f(a) = f(b),R 是 A 上的等价关系。

  例二:

  设 R 为定义在集合 A 上的一个关系,若 R 是自反的、对称的和传递的,则称 R 为等价关系。设 R 为集合 A 上的等价关系,对任何a∈A,集合 [a] = {b | (a, b) ∈R} 称为元素 a 形成的等价类,其等价类集合 {[a] | a∈A},称作A关于R的商集,记作 A/R。定理 3.7.1 设给定非空集合 A 上等价关系 R ,对于 a, b ∈A,有 aRb 当且仅当 [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等价关系 R ,确定了 A 的一个划分,该划分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一个划分,确定 A 的元素间的一个等价关系。

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