什么是对称矩阵有哪些特性

时间：2016-08-30 08:53:24 谢君787由分享

　　对称矩阵是元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。那么你对对称矩阵了解多少呢?以下是由学习啦小编整理关于什么是对称矩阵的内容，希望大家喜欢!

　　什么是对称矩阵

　　元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。1855年，埃米特(C.Hermite,1822-1901年)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施(A.Clebsch,1831-1872年)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质。泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。

　　对称矩阵的特性

　　1.对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。

　　2.A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。

　　3.对角矩阵都是对称矩阵。

　　两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。

　　用<,>表示上的内积。n×n的实矩阵A是对称的，当且仅当对于所有X, Y∈ ，( A(x) , Y )=( X, A(Y))。【1】

　　任何方形矩阵X，如果它的元素属于一个特征值不为2的域(例如实数)，可以用刚好一种方法写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵之和：X=1/2(X+XT)+1/2(X-XT)

　　每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

　　若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Hermite矩阵。

　　一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零。

　　如果X是对称矩阵,那么AXAT也是对称矩阵.

　　n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V(R)的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

　　所谓对称变换，即对任意α、 β∈V，都有(σ(α)，β)=(α，σ(β))。投影变换和镜像变换都是对称变换。

　　数据结构中的对称矩阵

　　1.对称矩阵

　　(1)对称矩阵

　　在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：

　　aij=aji0≤i，j≤n-1

　　则称A为对称矩阵。

　　(2)对称矩阵的压缩存储

　　对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

　　①按"行优先顺序"存储主对角线(包括对角线)以下的元素

　　即按a00,a10,a11,……，an-1,0,an-1,1…，an-1,n-1次序存放在一个向量sa[0..n(n+1)/2-1]中(下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2)。

　　其中：

　　sa[0]=a00,

　　sa[1]=a10,

　　……，

　　sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1

　　②元素aij的存放位置

　　aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)，一共有：

　　1+2+…+i=i×(i+1)/2个元素;

　　在第i行上，aij之前恰有j个元素(即ai0，ai1，…，ai,j-1)，因此有：

　　sa[i×(i+1)/2+j]=aij

　　③aij和sa[k]之间的对应关系：

　　若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

　　若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2

　　令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：

　　k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2

　　(3)对称矩阵的地址计算公式

　　LOC(aij)=LOC(sa[k])

　　=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d

　　通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。

　　【例】a21和a12均存储在sa[4]中，这是因为

　　k=I×(I+1)/2+J=2×(2+1)/2+1=4
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