关于二面角的平面角定位分析

【摘要】空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现。解决立体几何问题的关键在于“三定”：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位、定性的深化。在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，故对二面角的平面角的定位是关键。
【关键词】平面角；定性分析；定位作图；定量计算;点;垂线段;垂平面Positioning Analysis on the dihedral angle of
【Abstract】Three-dimensional geometry of space angle is an important concept, which is a prominent space graphics quantitative indicators, the relationship between spatial location of a concrete embodiment of graphics. Three-dimensional geometry to solve the problem lies in "determining three things": a qualitative analysis → location mapping → quantitative calculation, which is the location of qualitative and quantitative basis and is the location of quantitative, qualitative in depth. In all things relationship, the dihedral angle is one of the important concepts in one, it comes down to flat top corner of the metric measurement, in general, their plane angle positioning is a prerequisite step in problem-solving, so pairs of dihedral angle The plane angle positioning is the key.
【Key words】Plane angle;Qualitative analysis;Locationmapping;Quantitative calculation;Point;Vertical section;Vertical plane1
二面角的平面角的特征
α、β是由 出发的两个半平面,O是l上任意一点，OC α，且OC⊥l；CD β，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。
它有如下列特征：
（１）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；
（２） 其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；
另外，若在OC上任取上一点A，作AB⊥OD于B,则由特征（２）知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB，之间的关系，便得到另一特征；
（３）：体现出三垂线定理（或逆定理）的环境背景。
2二面角的平面角的特征剖析
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。
特征（１）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。
特征（２）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与 α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：
由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。
特征（３）显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，由Ｂ作OB⊥l于Ｏ，连OA，由三垂线定理可知OA⊥l；或由Ａ作OA⊥l于Ｏ，连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时，∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。
由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．
以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。
3二面角的平面角的定位分析
［例1］：已知Ｅ是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=２，BC=１，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。
解析：取AE中点P，BC中点Q．则可得PQ⊥BC，又由D′B= D′C，得D′Q⊥BC，
∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。
经计算得：∠D′QP＝ 23
找“点”，由定义确定二面角的平面角。
［例２］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′ 恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。
解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。
在平面图形中过Ｂ作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变．但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征（２）知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。
另外，点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。
经计算：OB=AB·BCAC=3×45=125 ，AO=AB2AC=95 ，OE=AO·CDAD=2720 ，
在Rt△BEO中，设∠BOE＝θ ，则cos θ=OEOB=916，
∵0°＜θ＜180° ，∴θ=arccos916 ，
即所求二面角B-AC-D为arccos916 ，
通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（２）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。

由“垂线段”定位二面角的平面角。
［例3］：已知 二面角α-a-β为 ，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝８cm，PB＝10cm．求Ｐ点到a的距离。
解析：过PA 、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，
由PA⊥α，a?α，知PA⊥a，又由PB⊥β，a? β，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ ，
∵AO? ，BO? ，∴a⊥AO， a⊥BO，
∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，
连PO，由PO?，得a⊥PO．∴PO的长为P点到a的距离。
经计算：AO ＝43 （cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47 （cm）．
由棱的“垂面”定位二面角的平面角。
［例４］：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点．求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。
解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征（２）知，这两个二面角的大小必定互补．通过特征（３）,我们只须由C′ (或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′ (或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。
经计算可得：Ｈ′C′＝455 ，在Rt△D′C′Ｈ中， ∠Ｄ′ＨＣ′=D′C′H′C′ =52，
故所求的二面角角为arctan52 或π-arctan52 ．
二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。
［例５］：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，Ｅ是CC1的中点，求截面AD1E与底面ABCD所成角的正切值。
解析：图中截面AD1E与底面ABCD只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点．通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。
延长DC、D1E交于F，连AF，得截面AD1E与底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，过C作CH⊥AF于H，连EH，
∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF（三垂线定理）
∴∠ EHC即为所求截面AD1E与底面ABCD所成二面角的平面角．
可设正方体棱长为a，经计算得：EC＝CG＝a2 ，CF＝a，GF＝52a ，CH＝ ，55a
∴tan∠ EHC＝ECCH=52，
即所求二面角的正切值为52．
［另］：△D1FＡ在底面ABCD的射影是△DＦA，
S△DFA=12DF×DA=a2 ，又D1A＝2，S△D1FA =12D1A×322a=32a2，
由射影面积法，所求角（记为 θ）的余弦值为cosθ=S△DFAS△D1FA=23，
则所求二面角的正切值为52 。
［另］：还可用向量法求二面角的平面角。
定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得．而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。
综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。