中学数学论文参考范文
中学数学论文参考范文
中学数学作为中学教育的基础课程,对于学生后续的课程学习和思维培养具有至关重要的作用。下文是学习啦小编为大家搜集整理的关于中学数学论文参考范文的内容，欢迎大家阅读参考!
中学数学论文参考范文篇1
浅析中学数学中的变量代换
摘 要：由于数学问题的多样性、复杂性和灵活性，在直接解决问题受阻时，常需要采用转化策略，而变量代换就是教师在解决问题中常用的变换手段。通过一些例子论述了变量代换在中学数学中的应用和作用，以及如何正确进行变量代换，从而优化解题过程。
关键词：代换;中学数学;应用
在学习数学的过程中，我们常常觉得一些公式的变形、等式的变化很难理解，在解题时往往感到很难下手，于是对数学产生畏惧、厌倦情绪，然而变量代换是众多数学方法中易于掌握且行之有效的方法.
所谓变量代换是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量(或变量表达式)来代换，这种方法也称为换元法.
一、变量代换的几种常用方法
用变量代换法分析和解决问题可以化难为易，把抽象问题变具体，使解题者对数学更加有兴趣，从而提高学习积极性.在中学中，变量代换应用广泛，总结概括为以下几点：
(一)初等变换法
有关函数知识及问题常常要用变量代换思想去分析和理解.初学函数概念与符号f(x)时，很多学生对其表达意义不能正确领会和应用.例如，f(x)=x2，则f(x+ )=(x+ )2，在课堂不注重方式的令x=x+ ，学生很难理解，因为x≠x+ ，事实上把f(t)=t2中的变量t用x+ 代入得到结论就比较容易让学生理解了.
例1.定义在R上的函数y=f(x)，当x>0时，f(x)>1且对任意a、b∈R有f(a+b)=f(a)?f(b)，又f(0)≠0.
(1)求证：f(0)=1;
(2)求证：对x∈R，有f(x)>0;
(3)求证：f(x)是R上增函数.
分析：解决本题关键在于把条件中的a，b，进行多次变量代换，
还有利用等量代换，如f(0)=1.
证：(1)由f(a+b)=f(a)?f(b)，得f(0+0)=f(0)?f(0).因为f(0)≠0，所以f(0)=1.
(2)当x≥0时，f(x)≥1>0;当x<0时，因为-x>0，所以f(-x)>0.
由f[x+(-x)]=f(x)?f(-x)，知
f(x)= = >0.
综上知：x∈R，有f(x)>0.
(3)设x1 0.因f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)?f(x1);
又当x2-x1>0时，f(x2-x1)>1，且f(x1)>0，所以
f(x2)=f(x2-x1)?f(x1)>f(x1)，
因此f(x)是R上增函数.
(二)递推数列下标代换法
例2.在数列an中，a1=3，nan+1=(n+2)an+2n(n+1)(n+2)，求通项公式an.
分析：解题过程中主要是把 变换为bn，这样过程可以简化些，最后再用an回代.
解：对原递推式两边同除以n(n+1)(n+2)可得：
= +2 ①
令
bn= ②
则①为bn+1=bn+2，即数列bn是首项为b1= = ，公差是bn+1-bn=2的等差数列，因而
bn= +2(n-1)=2n- ，
代入②式中得
an= n(n+1)(4n-1).
故所求的通项公式是
an= n(n+1)(4n-1).
(三)方程代换法
例3.若正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.
分析：题中的a，b之和与a，b之积是联想韦达定理的信号，因此考虑构造方程进行代换.
解：设ab=p，则a+b=p-3，故a，b是方程x2-(p-3)的两个正根，则有
?驻=(p-3)2-4p≥0，p>0，p-3>0，
解得p≥9，即a，b的取值范围为[9，+∞).
(四)整体代换
例4.设x，y，z>0，x+y+z=1，求 + + 的最小值.
分析：注意到x+y+z=1，其他的代数式与之相乘后不会改变其原来的性质.就该题而言，相乘后可得到能利用均值不等式的模式.
证： + + =(x+y+z)( + + )=14+ + + + + ≥2( + + )=14+2(2+6+3)=36.
当x= ，y= ，z= 时等号成立.
(五)不等式中的变量代换
在代数式的恒等变形和解方程时，我们使用过变量代换.而在不等式的证明中若能引进适当的代换，不仅能使证明简化，而且比较容易找到证题思路.下面用两道例题进行描述，权作引玉之砖.
例5.已知a>0，b>0，c>0，求证： + + ≥ .
分析：直接证明似乎不太容易，若注意到不等式的对称性，把b+c，a+c，a+b看作三个新的变量进行代换，就会使形式变得简单，容易证明.
证：令x=b+c，y=c+a，z=a+b，则
a= (-x+y+z)，b= (x-y+z)，c= (x+y-z)，
于是
+ + = + +
=- + ( + )+ ( + )+ ( + )
≥- +3= .
当且仅当x=y=z，即a=b=c时取“=”号.
二、变量代换的作用
变量代换在数学解题中有着广泛的运用，被称为是解决数学问题的有力杠杆.下面通过举例说明几种常见的用处.
(一)用代换变未知为已知
在一些题目中，往往通过引进新的变量可把分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而把原本复杂的计算和推证简化. 例6.△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B， + + ，求cos 的值.
分析：本题中A+C=120°是已知，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算.再次除由已知想到引进变量进行代换后，还要求对三角公式的运用相当熟练.
解：由△ABC中已知A+C=2B，可得
A+C=120°B=60°
由A+C=120°，可设A=60°+αC=60°-α代入已知等式得
+ = + = + = = =-2 .
(二)沟通数学中各分科的统一
解数学综合题的关键是寻找各知识点的有机联系，通过知识点的转移以达到代数问题三角解，几何问题代数解.而变量代换在知识的转化中起到了桥梁作用.
例7.若a<1，b<1，求证： ≤1.
证：因为a<1，b<1，令a=sin α，b=sin β，则
ab± =sin α sin β± =sin α sin β± =sin α sin β±cos α cos β=±cos(α β)
所以
ab± =±cos(α β)≤1.
(三)可以拓宽解题思路，实现一题多解
“一题多解”即在数学解题过程中，一些题目往往具有多种不同的解法，但由于每个学生原有知识、本身素质以及掌握信息量不尽相同，对题中数字方式以及构建新的联系也各不相同，正如通常情况下运用变量代换就可使题目有不同的解法.
例8.已知x、y是正数，且x+y=1，A=ax+by，B=ay+bx，试比较AB与ab的大小.
分析：本题通过观察条件的结构特征，引入中间变量，使两个变元的问题转化为一个变元的问题，且差的符号也容易判定.
解法1：令x=cos2 α，y=sin2 α，α∈(0， )，则
AB-ab=(ax+by)(ay+bx)-ab=(a2+b2)cos2 α sin2 α+ab(cos4 α+sin4 α)-ab=(a-b)2cos2 α sin2 α≥0
所以AB≥ab.
解法2：令x= t，y= -t(0≤t≤ )，则
AB-ab=[(a-b)t+ ][-(a-b)t+ ]-ab
=-(a-b)2t2+( )2-ab=(a-b)2( -t2)≥0
而(a-b)2≥0， -t2>0，即AB≥ab.
三、用变量代换法解题错误解析
变量代换是中学数学中一个重要的数学方法，正确的运用它常常能事半功倍，而运用不当则常会导致不易发觉的错误，长此则会影响解题者思维的严密性.
例9.若x+y+z=1，试证：x2+y2+z2≥ .
解：设x= -t，y= -2t，z= +3t(t∈R)，所以
x2+y2+z2=( -t)2+( -2t)2+( +3t)2= +14t2≥ .
当t=0，即x=y=z= 时，等号成立.
辨析：粗看确是一个好方法，可仔细看发现其中代换x= -t，y= -2t，z= +3t欠妥当，因为x= ，y= ，z= 显然适合已知条
件x+y+z=1，但都无法从中代换得出，而且类似这样不能得出的x、y、z还有很多.由此可见，这种代换实质上缩小了原变量的可取值范围，因此失之片面.
正确解法如下：
解：设x= +t，y= +s，则z= -t-s，所以
x2+y2+z2=( +t)2+( +s)2+( -t-s)2= +t2+s2+(t+s)2≥ .
当t=s=0，即x=y=z= 时，等号成立.
由以上例子可看出，在用变量代换的转化思想时必须注意在作代换转化过程中可能出现的一些问题，对此须有补救措施，以确保代换后问题转化的等价性.
参考文献：
[1]徐正水.浅谈变量代换思想的教学[J].中学月刊，2006(7)：22-23.
[2]王豪榜.变量代换在解题中的应用[J].高中数学教与学，2002：18-20.
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