数学思想的论文
数学思想方法是形成学生的良好认识结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。下文是学习啦小编为大家搜集整理的关于数学思想的论文的内容，欢迎大家阅读参考!
数学思想的论文篇1
浅析初中数学的数学思想
数学思想和方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。目前初中阶段，主要数学思想方法有：数形结合的思想、分类讨论的思想、化归的思想、转化思想、函数的思想、方程与函数的思想方法等。
一、 方程和函数思想
例1：去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾。解放军某部接到了限期打30口井的作业任务。部队官兵到达灾区后，目睹灾情，心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务。求原计划每天打多少口井?
解析：设原计划每天打x口井，依题意可得：
去分母得， ,
整理得,
解得：
经检验：
答：原计划每天打3口井.
把变化过程中的一些制约变量用函数关系表达出来，用函数的概念、图像和性质去分析问题和解决问题就是函数思想，确立函数关系是解决问题的关键。
点评：把研究数学问题中的已知量与未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而是问题得到解决的方法就是方程思想。一般主要有列方程(组)解应用题和解代数题或几何题，解题时要建立正确的方程模型，以便使问题得到解决。
例2：某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍).
(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式;
(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?
解析：(1)y=50- (0 );
(2)W=(50- )(180+x-20)=- ;
(3) W=- =- +10890,当x 时，W随x的增大而增大，但0≤x≤160.∴当x=160时， .当x=160时，y=50- =34.
答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.
点评：大胆设元，抓住关系构建方程，合理转化求解.
二、 分类讨论思想
例3：函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像可能是( ).
解析：当m>0时，函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像如图1;
图1 图2
当m<0时，函数 与 在同一平面直角坐标系中的图像如图2.对比上述四个选项，本题应选C.
说明：本题的函数表达式中的m有m>0或m<0两种情况。对m进行分类讨论，并根据一次函数、反比例函数的图象和性质，绘制相应草图即可解答. 点评：分类讨论思想是对所求结论进行分类讨论、逐类求解，然后综合得解的思想方法，解题思路是：正确确定分类讨论的对象，对讨论对象合理分类、逐类讨论、归纳 总结。
三、 化归思想
例4：已知2x-3=0.求代数式 的值.
解析：∵2x-3=0，∴x=
当x= 时，原式= × + × -9
=0.
点评：化归思想，就是在研究和解决有关数学问题是采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一 种方法。一般是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解的问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。
综观近几年的中 考试题，侧重参透数学思想方法，尤其是压轴题，考查学生是否会运用数学思想方法分析问题和解决问题。所以，在数学教学中，切实把握好上述几个典型的数学思想方法，同时注重渗透的过程，依据课本内容和学生的认识水平，有 计划有步骤地渗透，使其成为由知识转化为能力的纽带，成为提高学生的学习效率和数学能力的法宝。
数学思想的论文篇2
浅析高等数学中的数学思想
一、函数思想
函数概念和函数思想的提出和运用，使得变量数学诞生了，常量数学发展到变量数学，函数思想起了决定性作用。函数是数学分析的研究对象，函数思想就是运用函数的观点，把常量视作变量、化静为动、化离散为连续，将待解决的问题转化为函数问题，运用函数的性质加以解决的一种思想方法。
在数学分析中，我们通常用来解决不等式的证明、方程根的存在性与个数、级数问题、数列极限等。
例1，证明：当x>0时，x- <1n(1+x)。
分析：这是一个不等式证明问题，直接证明有一定难度，但是将此问题转化为函数问题的单调性，即可解决问题。
证明：构造辅助函数f(x)=1n(1+x)-x+ ，则f`(x)= -1+x，可证当x>0时，f`(x)>0，因此单调递增。又因为f(0)=0，所以当x>0时，f(x)>f(0)=0，即原不等式成立。
例2，判断∑(-1)n 的敛散性。
分析：这是一个级数问题，该级数为交错级数，从函数的观点出发，化离散为连续，转化为函数问题，运用函数的性质，从而解决问题。
解：该级数为交错级数，由莱布尼兹判别法知，要判断其敛散性，只需判断通项的绝对值un= =是否单调减少且趋于为0。为此，将un连续化，设f(x)= ，由于f`(x)= ，当x>9时，f`(x)<0，即f(x)在(9，+∞)内单调递减。将特殊值x=n(n为大于9)的自然数代入知，un=f(n)也递减且极限为0，故此级数收敛。
二、极限的思想
极限的思想方法是近代数学的一种重要思想方法，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究初等函数的一门学科。极限是研究无限的有力工具，“极限”揭示了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动对立统一的关系。极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，一方面利用极限的思想给出了连续函数、导数、定积分、无穷小(大)量、级数的敛散性、多元函数的偏导数、广义积分的敛散性、重积分、曲线积分、曲线弧长、曲面积分等的概念，数学分析中几乎所有的概念都离不开极限的思想。另一方面在闭区间列上的区间套定理体现了极限的思想，泰勒定理中的泰勒公式就是利用多项式函数去逼近已知函数等。学习者以”极限理论”为工具，以现实具体的问题为背景，从具体到抽象，特殊到一般地去理解概念及定理的本质，可以增强分析和解决问题的能力。
对所求量，先构造与其相关的变量，前提是该变量无限变化的结果就是所求量，此时采用极限运算得到所求量。例如邱瞬时速度、曲面弧长、曲变形面积等问题，就是采用了极限的思想。
例3，如果物体做非匀速直线运动，其运动规律的函数是s=f(t)，其中t为时间，s是距离，求它在时刻t0的瞬时速度。
解：物体从时刻到时刻这段时间内的平均速度是：
v= = ，当|△t|很小时，时刻t0的瞬时速度v0≈v，因此当无限趋近于0(△t≠0) 时，就无限趋近于v0，即v0=1im =1im 。
三、连续的思想
在数学分析中，把函数的连续性局部化到当函数的自变量在某点邻域内作微小变动时，相应函数值也在对应点的函数值邻域内作微小变动。
这种思想应用到连续函数求极限的情形，就可以把极限的复杂问题转化为求函数值的问题，从而大大简化了运算。如果给定的函数不连续，可以通过整理、化简、变换等途径将其转化为连续函数，再利用上面的方法求其极限。
例4，求1im ，(a>0，a≠1)。
解：将给定的函数变形为1oga(1+x) ，再根据对数函数的连续性，有1im =1im1og(1+x) =1oga[1im(1+x) ]=1ogae。
四、数形结合的思想
数学是研究空间形式和数量关系的科学，而空间形式和数量关系之间往往存在密切的联系，又有各自特点。数形结合思想方法，就是充分利用形的直观性和数的规范性，通过数与形的联系转化来研究数学对象和解决数学问题。具体包括：数转化为形的思想;形转化为数的思想。这种方法使得复杂问题简单化、抽象问题具体化、形象化、直观化，化难为易，最终找到最优解决方案。
数形结合的思想在数学分析课程中的应用广泛，很多抽象问题中都蕴含着某种几何意义，借助几何图形，对抽象问题进行几何解释，使抽象问题结合图形更容易深入理解，更容易掌握其最本质的知识。
比如：极限、曲线的渐近线、导数与微分、二元函数偏导数与全微分、定积分与重积分、反常积分(无穷积分与瑕积分)、函数的单调性、函数的凹凸性等概念的几何意义，对于确切理解并正确掌握这些基本概念是非常重要的，同时为解决各种实际问题提供了多样化的方法。
又比如：闭区间上连续函数基本性质(介值性定理、根的存在定理)、微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理)、积分中值定理、费马定理、隐函数存在唯一性定理等几何意义，不论对定理的深入理解，还是对启发证明定理结论方面有很大帮助。
例5，下面仅谈谈几何图形对拉格朗日定理的内容的理解及证明所起的作用。
为了叙述的方便，首先将拉格朗日定理陈述如下：若函数f满足如下：(1)f在闭区间[a，b]上连续;(2)f在开区间(a，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点，使得f`()= 。
它的几何意义是若一条曲线在[a，b]上连续，曲线上每一点都存在切线，则曲线上至少存在一点θ(，f())，过点θ的切线平行于割线AB(图1)。此定理的证明关键在于运用其几何意义，考虑到这个定理比罗尔定理少了一个条件，构造辅助函数使其满足罗尔定理的要求，即满足函数在端点的取值相同，最后用罗尔定理得出最后的结论。因此，想办法构造一个辅助函数F(x)，使得在[a，b]上连续，在(a，b)内可导并且F(a)=F(b)。观察图1可知，割线与曲线有两个交点A与B，要使F(a)=F(b)，只需使F(x)的图像经过A，B两点，F(x)可取为曲线纵坐标与割线纵坐标之差。其中，曲线的方程为y=f(x)，割线AB的方程为y=f(a)+ (x-a)，可见，几何图形在此定理的证明起到关键的作用。