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集合的有关概念

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集合的有关概念

  准确区分集合概念与非集合概念,有助于避免犯混淆概念的逻辑错误。以下是学习啦小编分享给大家的关于集合的有关概念,希望能给大家带来帮助!

  集合的有关概念:

  1.集合的有关概念。——卓越小编v整理资料,仅供参考。

  1)集合(集):某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素

  注意:

  ①集合与集合的元素是两个不同的概念,教科书中是通过描述给出的,这与平面几何中的点与直线的概念类似。

  ②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A,二者必居其一)、互异性(若a?A,b?A,则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

  ③集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件

  2)集合的表示方法:常用的有列举法、描述法和图文法

  3)集合的分类:有限集,无限集,空集。

  4)常用数集:N,Z,Q,R,N*

  2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

  1)子集:若对x∈A都有x∈B,则A B(或A B);

  2)真子集:A B且存在x0∈B但x0 A;记为A B(或 ,且 )

  3)交集:A∩B={x| x∈A且x∈B}

  4)并集:A∪B={x| x∈A或x∈B}

  5)补集:CUA={x| x A但x∈U}

  注意:①? A,若A≠?,则? A ;

  ②若 , ,则 ;

  ③若 且 ,则A=B(等集)

  3.弄清集合与元素、集合与集合的关系,掌握有关的术语和符号,特别要注意以下的符号:

  (1) 与 、?的区别;

  (2) 与 的区别;

  (3) 与 的区别。

  4.有关子集的几个等价关系

  ①A∩B=A A B;②A∪B=B A B;③A B C uA C uB;

  ④A∩CuB = 空集 CuA B;⑤CuA∪B=I A B。

  5.交、并集运算的性质

  ①A∩A=A,A∩? = ?,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪? =A,A∪B=B∪A;

  ③Cu (A∪B)= CuA∩CuB,Cu (A∩B)= CuA∪CuB;

  6.有限子集的个数:设集合A的元素个数是n,则A有2n个子集,2n-1个非空子集,2n-2个非空真子集。

  集合中元素特征认识不明致误:

  典例:(5分)(2012·课标全国)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()

  A.3B.6C.8D.10

  易错分析 本题属于创新型的概念理解题,准确地理解集合B是解决本题的关键,该题解题过程易出错的原因有两个,一是误以为集合B中的元素(x,y)不是有序数对,而是无序的两个数值;二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A,y∈A,x-y∈A”,只关注“x∈A,y∈A”,而忽视“x-y∈A”的限制条件导致错解.

  解析 ∵B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},A={1,2,3,4,5},

  ∴x=2,y=1;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=5,y=1,2,3,4.

  ∴B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},

  ∴B中所含元素的个数为10.

  答案 D

  温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面:一是要注意集合中代表元素的字母符号,区分x、y、(x,y);二是准确把握元素所具有的性质特征,如集合{x|y=f(x)}表示函数y=f(x)的定义域,{y|y=f(x)}表示函数y=f(x)的值域,{(x,y)|y=f(x)}表示函数y=f(x)图象上的点.

  遗忘空集致误:

  典例:(4分)若集合P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0},且S⊆P,则由a的可取值组成的集合为__________.

  易错分析 从集合的关系看,S⊆P,则S=∅或S≠∅,易遗忘S=∅的情况.

  解析 (1)P={-3,2}.当a=0时,S=∅,满足S⊆P;

  当a≠0时,方程ax+1=0的解集为x=-a1,

  为满足S⊆P可使-a1=-3或-a1=2,

  即a=31或a=-21.故所求集合为21.

  答案 21

  温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空集的讨论,如S=∅时,a=0;二是易忽略对字母的讨论.如-a1可以为-3或2.因此,在解答此类问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

  方法与技巧

  1. 集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化.

  2. 对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号.

  3. 对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现.

  失误与防范

  1. 空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解.

  2. 解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系.

  3. 解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.

  4. Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.

  5. 要注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)=∅这五个关系式的等价性.

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