沪教版八年级下册数学期末试卷
沪教版八年级下册数学期末试卷
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沪教版八年级下册数学期末试题
一、选择题：(本大题共6题，每题3分，满分18分)[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1.下列函数中，是一次函数的是( )
A. B.y=x+2 C.y=x2+2 D.y=kx+b
2.用换元法解分式方程 ，如果设 ，那么原方程可以化为( )
A.y2+y﹣5=0 B.y2﹣5y+1=0 C.5y2+y+1=0 D.5y2+y﹣1=0
3.下列四个方程中，有一个根是x=2的方程是( )
A. B. C. D.
4.下列说法错误的是( )
A.确定事件的概率是1
B.不可能事件的概率是0
C.必然事件的概率是1
D.随机事件的概率是大于0且小于1的一个数
5.下列关于向量的等式中，正确的是( )
A. B. ﹣ = C. D.
6.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.BA=BC B.AC、BD互相平分
C.AC=BD D.AB∥CD
二、填空题(本大题共12题，每小题2分，满分24分)[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7.直线y=x﹣2的截距是 .
8.已知一次函数y=(m﹣1)x﹣2的函数值y随着自变量x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 .
9.关于x的方程ax﹣4x﹣2=0(a≠4)的解是 .
10.方程2x3﹣16=0的根是 .
11.方程 的根是 .
12.一个二元二次方程的一个解是 ，写出符合要求的方程 (只需写一个即可).
13.已知▱ABCD，设 ， ，那么用向量 、 表示向量 = .
14.一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是 边形.
15.在▱ABCD中，如果∠A+∠C=200°，那么∠B的度数是 度.
16.矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，已知AC=12，∠ACB=30°，那么△DOC的周长是 .
17.如果菱形的两条对角线长分别为6和8，那么这个菱形一边上的高是 .
18.在▱ABCD中，AB=5，BC=7，对角线AC和BD相交于点O，如果将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，那么AC的长是 .
三、解答题(共8题，满分58分)[将下列各题的解答过程做在答题纸的相应位置上
19.解方程： = ﹣1.
20.解方程组： .
21.一个不透明的布袋中装了分别标有数字1、2、3、4的四个小球，这些小球除标记数字不同外其余均相同.
(1)如果从中任意摸出两个小球，用树形图法或列表法展现所有等可能的结果;
(2)如果从中任意摸出两个小球，求摸到的两个小球上的数字之和是5的概率.
22.已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC.
(1)求对角线BD的长;
(2)求梯形ABCD的面积.
23.某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图2所示.其中，当睡眠时间不超过4小时(0≤t≤4)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数;当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0.
根据图象，回答下列问题：
(1)求当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式;
(2)如果某人睡眠了t(1
24.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF.
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形;
(2)当AB=AC时，求证：四边形AFBD是矩形.
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在y轴的正半轴上，且OC=2OB.
(1)求线段BC的长度;
(2)如果点D在直线AB上，且以B、C、D、E为顶点的四边形为菱形，请直接写出点E的坐标.
26.已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，联结PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，联结EF交PD于点Q.
(1)如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是
(2)如图2，当点P在AB的延长线上时，设BP=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;
(3)当点Q在边BC上时，求BP的长.
沪教版八年级下册数学期末试卷参考答案
一、选择题：(本大题共6题，每题3分，满分18分)[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1.下列函数中，是一次函数的是( )
A. B.y=x+2 C.y=x2+2 D.y=kx+b
【考点】一次函数的定义.
【分析】直接利用一次函数的定义分析得出答案.
【解答】解：A、y= +2，不符合一次函数的定义，故此选项错误;
B、y=x+2，是一次函数，故此选项正确;
C、y=x2+2，是二次函数，故此选项错误;
D、y=kx+b(k≠0)，故此选项错误;
故选：B.
2.用换元法解分式方程 ，如果设 ，那么原方程可以化为( )
A.y2+y﹣5=0 B.y2﹣5y+1=0 C.5y2+y+1=0 D.5y2+y﹣1=0
【考点】换元法解分式方程.
【分析】直接把 化为y即可.
【解答】解：设 ，则原方程化为5y﹣ +1=0，去分母得，5y2+y﹣1=0.
故选D.
3.下列四个方程中，有一个根是x=2的方程是( )
A. B. C. D.
【考点】无理方程;分式方程的解.
【分析】可以先将各个选项的方程解出来，然后看看哪个方程的其中一个根是x=2，从而可以解答本题.
【解答】解：当x=2时，方程 中的分母x﹣2=0，故x=2不是方程 的根，故选项A错误;
，解得x=2，故 的根是x=2，不符合题意，故选项B错误;
=2，解得x=10，故选项C错误;
，解得x=2或x=3，故方程 ，有一根是x=2，故选项D正确;
故选D.
4.下列说法错误的是( )
A.确定事件的概率是1
B.不可能事件的概率是0
C.必然事件的概率是1
D.随机事件的概率是大于0且小于1的一个数
【考点】概率的意义.
【分析】确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.
不可能发生的事件就是一定不会发生的事件，因而概率为0.
必然发生的事件就是一定发生的事件，因而概率是1.
不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率>0并且<1.
【解答】解：A、确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，选项正确;
B、不可能发生的事件概率为0，选项错误;
C、必然发生的事件发生的概率为1，选项错误;
D、随机事件发生的概率介于0和1之间，选项正确.
故选A.
5.下列关于向量的等式中，正确的是( )
A. B. ﹣ = C. D.
【考点】*平面向量.
【分析】根据平面向量的平行四边形法则和三角形法则对各选项分析判断即可得解.
【解答】解：A、 + = ，而不是等于0，故本选项错误;
B、 ﹣ = ，故本选项错误;
C、 + = ，故本选项错误;
D、∵ + = ，
∴ + + = ，故本选正确.
故选D.
6.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A.BA=BC B.AC、BD互相平分
C.AC=BD D.AB∥CD
【考点】菱形的判定.
【分析】已知四边形的对角线互相垂直，可依据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”的判定方法，来选择条件.
【解答】解：四边形ABCD中，AC、BD互相垂直，
若四边形ABCD是菱形，需添加的条件是：
AC、BD互相平分;(对角线互相垂直且平分的四边形是菱形)
故选B.
二、填空题(本大题共12题，每小题2分，满分24分)[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7.直线y=x﹣2的截距是 ﹣2 .
【考点】一次函数的性质.
【分析】把x=0代入一次函数的解析式求出y即可.
【解答】解：把x=0代入y=x﹣2得：y=﹣2，
故答案为：﹣2.
8.已知一次函数y=(m﹣1)x﹣2的函数值y随着自变量x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 m>1 .
【考点】一次函数图象与系数的关系.
【分析】由题意y=(m﹣1)x﹣2，y随x的增大而增大，可得自变量系数大于0，进而可得出m的范围.
【解答】解：∵y=(m﹣1)x﹣2中，y随x的增大而增大，
∴m﹣1>0，
∴m>1.
故答案为：m>1;
9.关于x的方程ax﹣4x﹣2=0(a≠4)的解是 .
【考点】一元一次方程的解.
【分析】根据解一元一次方程的方法可以求得方程ax﹣4x﹣2=0(a≠4)的解，本题得以解决.
【解答】解：ax﹣4x﹣2=0(a≠4)
移项及合并同类项，得
(a﹣4)x=2，
系数化为1，得
x= ，
故答案为： .
10.方程2x3﹣16=0的根是 x=2 .
【考点】高次方程.
【分析】求出x3=8，两边开立方根，即可求出x.
【解答】解：2x3﹣16=0，
2x3=16，
x3=8，
x=2，
故答案为：2.
11.方程 的根是 x=3 .
【考点】无理方程.
【分析】方程两边平方，转化为一元二次方程，解一元二次方程并检验.
【解答】解：方程 两边平方，得
x2=2x+3，即x2﹣2x﹣3=0，
解得x1=3，x2=﹣1，
代入原方程检验可知x=3符合题意，x=﹣1舍去.
故答案为：x=3.
12.一个二元二次方程的一个解是 ，写出符合要求的方程 xy=2 (只需写一个即可).
【考点】高次方程.
【分析】分析：方程的解是 二元二次方程有很多，如：xy=2;x2+y=5等等.
【解答】解：xy=2等
13.已知▱ABCD，设 ， ，那么用向量 、 表示向量 = ﹣ .
【考点】*平面向量;平行四边形的性质.
【分析】根据 = + 即可解决问题
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ = = ，
∵ = + =﹣ + = ﹣ ，
故答案为 ﹣
14.一个正多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形是 5 边形.
【考点】多边形内角与外角.
【分析】由一个多边形的外角为360°和每一个外角都是72°，可求得其边数.
【解答】解：∵一个多边形的每一个外角都是72°，多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数为：360÷72=5，
故答案为：5.
15.在▱ABCD中，如果∠A+∠C=200°，那么∠B的度数是 80 度.
【考点】平行四边形的性质.
【分析】由在▱ABCD中，如果∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，又由平行四边形的邻角互补，求得答案.
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∵AD∥BC，
∴∠B=180°﹣∠A=80°.
故答案为：80.
16.矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，已知AC=12，∠ACB=30°，那么△DOC的周长是 18 .
【考点】矩形的性质.
【分析】直接利用矩形的性质得出∠OCD=60°，DO=CO=6，进而得出△OCD是等边三角形，即可得出答案.
【解答】解：如图所示：∵矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC=12，∠ACB=30°，
∴∠OCD=60°，DO=CO=6，
∴△OCD是等边三角形，
∴△DOC的周长是：18.
故答案为：18.
17.如果菱形的两条对角线长分别为6和8，那么这个菱形一边上的高是 .
【考点】菱形的性质.
【分析】根据对角线的长度即可计算菱形的面积，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得△AOB为直角三角形，根据AO，BO可以求得AB的值，根据菱形的面积和边长即可解题.
【解答】解：由题意知AC=6，BD=8，则菱形的面积S= ×6×8=24，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴△AOB为直角三角形，AO=3，BO=4，
∴AB= =5，
∴菱形的高h= = .
故答案为： .
18.在▱ABCD中，AB=5，BC=7，对角线AC和BD相交于点O，如果将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，那么AC的长是 或 .
【考点】旋转的性质;平行四边形的性质.
【分析】如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，根据旋转的性质可得△AOA′是等腰直角三角形，△AA′C是等腰直角三角形，再根据勾股定理可求AA′，再根据等腰直角三角形的性质即可求解.
【解答】解：如图，过O点作OE⊥AD于E，过C点作CF⊥AD于F，
∵将点A绕着点O顺时针旋转90°后，点A恰好落在平行四边形ABCD的边AD上，
∴△AOA′是等腰直角三角形，
∴△AA′C是等腰直角三角形，
设AA′=x，则CF=x，DF=7﹣x，
在Rt△CDF中，x2+(7﹣x)2=52，
解得x1=4，x2=3，
在Rt△CFA中，AC= 或 .
故答案为： 或 .
三、解答题(共8题，满分58分)[将下列各题的解答过程做在答题纸的相应位置上
19.解方程： = ﹣1.
【考点】解分式方程.
【分析】观察可得最简公分母是(x+2)(x﹣2)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解.
【解答】解：去分母，得4=(x+2)﹣(x+2)(x﹣2)，
整理，得x2﹣x﹣2=0，
解得x1=﹣1，x2=2.
经检验：x1=﹣1是原方程的根，x2=2是增根.
故原方程的根为x=﹣1.
20.解方程组： .
【考点】高次方程.
【分析】先由①得：(x﹣2y)(x﹣3y)=0，求出x=2y或x=3y，再分别代入②，求出x，y的值即可.
【解答】解： ，
由①得：(x﹣2y)(x﹣3y)=0，
则x=2y或x=3y，
将x=2y代入②得y= ，x= ，
将x=3y代入②得y= ，x= ，
则方程组的解是： ， .
21.一个不透明的布袋中装了分别标有数字1、2、3、4的四个小球，这些小球除标记数字不同外其余均相同.
(1)如果从中任意摸出两个小球，用树形图法或列表法展现所有等可能的结果;
(2)如果从中任意摸出两个小球，求摸到的两个小球上的数字之和是5的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)画树状图展示所有12种等可能的情况;
(2)找出摸到的两个小球上的数字之和为5的结果数，然后根据概率公式求解.
【解答】解：(1)画树状图：
共有12种等可能的情况;
(2)摸到的两个小球上的数字之和为5的结果数为4，
所以摸到摸到的两个小球上的数字之和为5的概率= = .
22.已知：如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=2，∠A=60°，对角线BD平分∠ABC.
(1)求对角线BD的长;
(2)求梯形ABCD的面积.
【考点】梯形.
【分析】(1)根据等腰梯形的同一底上的两个底角相等，即可求得∠B的度数，根据三角形的内角和定理证明△ABD是直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解;
(2)过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G，在直角△ADB中求得DH和AH的长，则AB即可求得，然后利用梯形的面积公式求解.
【解答】解：(1)∵DC∥AB，AD=BC，
∴∠A=∠ABC.
∵BD平分∠ABC，∠A=60°，
∴∠ABD= ∠ABC=30°.
∴∠ADB=90°.
∵AD=2，
∴AB=2AD=4.
∴BD= .
(2)过点D、C分别作DH⊥AB，CG⊥AB，垂足为点H、G.
∵DC∥AB，BD平分∠ABC，
∴∠CDB=∠ABD=∠CBD.
∵BC=2，
∴DC=BC=2.
在RT△ADH和RT△BCG中， ，
∴RT△ADH≌RT△BCG.
∴AH=BG.
∵∠A=60°，
∴∠ADH=30°.
∴AH= AD=1，DH= .
∵DC=HG=2，
∴AB=4.
∴ .
23.某项研究表明：人的眼睛疲劳系数y与睡眠时间t之间成函数关系，它们之间的关系如图2所示.其中，当睡眠时间不超过4小时(0≤t≤4)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数;当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0.
根据图象，回答下列问题：
(1)求当睡眠时间不少于4小时(4≤t≤6)时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t之间的函数关系式;
(2)如果某人睡眠了t(1
【考点】反比例函数的应用.
【分析】(1)根据图象经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式即可;
(2)首先利用待定系数法确定反比例函数的解析式，根据“某人睡眠了t(1
【解答】解：(1)根据题意，设当4≤t≤6时，眼睛疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式为：y=kt+b(k≠0).
∵它经过点(4，2)和(6，0)，
∴ ，解得： .…(2分)
∴当睡眠时间不少于4小时，眼疲劳系数y关于睡眠时间t的函数关系式是y=﹣t+6.当睡眠时间不超过4小时(0≤t≤4)时，眼睛疲劳系数y是睡眠时间t的反比例函数，
设这个反比例函数为： ，
∵它经过点(4，2)，
∴ ，
∵某人睡眠了t(1
∴ ，
整理得：t2﹣6t+8=0.
解得：t1=2，t2=4，
经检验：t1=2，t2=4是原方程的解，t2=4不符合题意舍去，
∴t的值是2.
24.如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，过A点作AF∥BC，且交CE的延长线于点F，联结BF.
(1)求证：四边形AFBD是平行四边形;
(2)当AB=AC时，求证：四边形AFBD是矩形.
【考点】矩形的判定;平行四边形的判定与性质.
【分析】(1)首先证明△AEF≌△DEC(AAS)，得出AF=DC，进而利用AF BD得出答案;
(2)利用等腰三角形的性质，结合矩形的判定方法得出答案.
【解答】证明：(1)∵AF∥BC，
∴∠AFC=∠FCD.
在△AFE和△DCE中
，
∴△AEF≌△DEC(AAS).
∴AF=DC，
∵BD=DC，
∴AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形;
(2)∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC.
∴∠ADB=90°.
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是矩形.
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在y轴的正半轴上，且OC=2OB.
(1)求线段BC的长度;
(2)如果点D在直线AB上，且以B、C、D、E为顶点的四边形为菱形，请直接写出点E的坐标.
【考点】一次函数图象上点的坐标特征;菱形的性质.
【分析】(1)可先求得B点坐标，再结合OC=2OB，可求得BC的长度;
(2)分BC为边和对角线，①当BC为边时有两种情况，BD为边或BD为对角线，当BD为边时，则BD=BC，可先求得D点坐标，再根据DE∥BC且DE=BC可求得E点坐标;当BD为对称线时，则四边形为正方形，可求得E点坐标;②当BC为对角线时，则DE为BC的垂直平分线，可先求得D点坐标，利用对称性可求得E点坐标
【解答】解：
(1)∵直线y=x﹣2与x轴、y轴分别相交于点A和点B，
∴点A(2，0)，点B(0，﹣2)，
∴OB=2，
∵OC=2OB，
∴OC=4，点C(0，4)，
∴BC的长度是6;
(2)①当BC为边时，有两种情况，BD为边或BD为对称线，
当BD为边时，则有BD=BC=6，
设D点坐标为(x，x﹣2)，则 =6，解得x=3 或x=﹣3 ，
∴D点坐标为(3 ，3 ﹣2)或(﹣3 ，﹣3 ﹣2)，
∵DE=BC=6，且DE∥BC，
∴E点坐标为( ，3 +4)或( ，﹣3 +4);
当BD为对角线时，则∠CBD=∠EBD=45°，如图1，
则∠EBC=90°，
∴四边形BCDE为正方形，
∴BE=BC=6，且BE∥x轴，
∴E点坐标为(6，﹣2);
②当BC为对角线时，则有DE⊥BC，如图2，
设BC与DE交于点F，则F为BC的中点，
∴F(0，1)，
∴D点纵坐标为1，代入直线AB解析式可得1=x﹣2，解得x=3，
∴D点坐标为(3，1)，
又D、E关于BC对称，
∴E点坐标为(﹣3，1);
综上可知点E的坐标可以为( ，3 +4)或( ，﹣3 +4)或(6，﹣2)或(﹣3，1).
26.已知：在正方形ABCD中，AB=2，点P是射线AB上的一点，联结PC、PD，点E、F分别是AB和PC的中点，联结EF交PD于点Q.
(1)如图1，当点P与点B重合时，△QPE的形状是 等腰直角三角形
(2)如图2，当点P在AB的延长线上时，设BP=x，EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;
(3)当点Q在边BC上时，求BP的长.
【考点】相似形综合题.
【分析】(1)根据正方形的性质得到AB=BC，∠ABC=90°，根据等式的性质得到PE=PF，即可得到结论;
(2)延长BA到点M，使得AM=BP，连接CM，根据已知条件得到EM=EP，根据三角形的中位线的性质得到EF= MC，根据正方形的性质得到∠MBC=90°，AB=BC，由已知条件得到BM=2+x.根据勾股定理得到MC= = ，于是得到结论;
(3)当点Q在边BC上时，根据平行线的性质得到∠M=∠QEB，根据全等三角形的性质得到∠M=∠APD，推出QE=QP，根据等腰三角形的性质即可得到结论.
【解答】解：(1)△QPE的形状是等腰直角三角形，
理由：在正方形ABCD中，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∵点P与点B重合，
∴AP=PC，∠APC=90°，
∵点E、F分别是AB和PC的中点，
∴PE= AP，PF= PC，
∴PE=PF，
∴△QPE是等腰直角三角形;
故答案为：等腰直角三角形;
(2)延长BA到点M，使得AM=BP，连接CM，
∵AE=BE，
∴AE+AM=BE+BP，
即EM=EP，
∵PF=CF，
∴EF= MC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MBC=90°，AB=BC，
∵AB=2，BP=AM=x，
∴BM=2+x.
∴MC= = ，
∴EF= ，
∴y= (x>0);
(3)当点Q在边BC上时，由(2)可知EF∥MC，
∴∠M=∠QEB，
∵在△ADP和△BCM中， ，
∴△ADP≌△BCM，
∴∠M=∠APD，
∴∠QEB=∠APD，
∴QE=QP，
∵QB⊥PE，
∴BP=BE= AB=1.
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