八年级数学春季学期期末试卷
一个考试就是对我们一个时间段的学习的测试，今天小编就给大家整理一下八年级数学，就给大家阅读哦
有关八年级数学下期末试卷
一、选择题(本大题共8小题，共24.0分)
√3的相反数是( )
A. √3 B. -√3 C. ±√3 D. 1/√3
【答案】B
【解析】解：√3的相反数是-√3，
故选：B.
根据相反数的意义，可得答案.
本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
京剧是中国的“国粹”，京剧脸谱是一种具有汉族文化特色的特殊化妆方法.由于每个历史人物或某一种类型的人物都有一种大概的谱式，就像唱歌、奏乐都要按照乐谱一样，所以称为“脸谱”.如图图案(1)是京剧《华容道》中关羽的脸谱图案.在下面的四个图案中，可以通过平移图案(1)得到的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：根据平移的定义可得图案(1)可以通过A平移得到，
故选：A.
根据题意，结合图形，由平移的概念求解.
本题考查平移的基本概念及平移规律，是比较简单的几何图形变换.关键是要观察比较平移前后物体的位置.
一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是( )
A. 2 B. 3 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】解：设第三边长为x，由题意得：
7-3
则4
故选：C.
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得7-3
此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和.
下列调查中，调查方式选择不合理的是( )
A. 调查我国中小学生观看电影《厉害了，我的国》情况，采用抽样调查的方式
B. 调查全市居民对“老年餐车进社区”活动的满意程度，采用抽样调查的方式
C. 调查“神州十一号”运载火箭发射前零部件质量状况，采用全面调查(普查)的方式
D. 调查市场上一批LED节能灯的使用寿命，采用全面调查(普查)的方式
【答案】D
【解析】解：A、调查我国中小学生观看电影《厉害了，我的国》情况，采用抽样调查的方式是合理的;
B、调查全市居民对“老年餐车进社区”活动的满意程度，采用抽样调查的方式是合理的;
C、调查“神州十一号”运载火箭发射前零部件质量状况，采用全面调查(普查)的方式是合理的;
D、调查市场上一批LED节能灯的使用寿命，采用全面调查(普查)的方式是不合理的;
故选：D.
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可.
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.
下列各式中，运算正确的是( )
A. a^2+a^2=2a^4 B. a^3-a^2=a C. a^6÷a^2=a^3 D. (a^2 )^3=a^6
【答案】D
【解析】解：A、a^2+a^2=2a^2，错误;
B、a^3、a^2不是同类项，不能合并，错误;
C、a^6÷a^2=a^4，错误;
D、(a^2 )^3=a^6，正确;
故选：D.
根据合并同类项法则、同底数幂的除法、幂的乘方逐一计算可得.
本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则.
点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，则实数√7-2对应的点可能是( )
A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【答案】B
【解析】解：∵2<√7<3，
0<√7-2<1，
∴实数√7-2对应的点可能是B点，
故选：B.
根据被开方数越大算术平方根越大，可得√7，根据数的大小，可得答案.
本题考查了实数与数轴，利用被开方数越大算术平方根越大得出2<√7<3是解题关键.
为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产--“抖空竹”引入阳光特色大课间.下面左图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成右图的数学问题：已知AB//CD，∠EAB=〖80〗^°，∠ECD=〖110〗^°，则∠E的度数是( )
A. 〖30〗^° B. 〖40〗^° C. 〖60〗^° D. 〖70〗^°
【答案】A
【解析】解：如图所示：延长DC交AE于点F，
∵AB//CD，∠EAB=〖80〗^°，∠ECD=〖110〗^°，
∴∠EAB=∠EFC=〖80〗^°，
∴∠E=〖110〗^°-〖80〗^°=〖30〗^°.
故选：A.
直接利用平行线的性质得出∠EAB=∠EFC=〖80〗^°，进而利用三角形的外角得出答案.
此题主要考查了平行线的性质，作出正确辅助线是解题关键.
某小区居民利用“健步行APP”开展健步走活动，为了解居民的健步走情况，小文同学调查了部分居民某天行走的步数(单位：千步)，并将样本数据整理绘制成如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图.
有下面四个推断：
①小文此次一共调查了200位小区居民;
②行走步数为8～12千步的人数超过调查总人数的一半;
③行走步数为4～8千步的人数为50人;
④行走步数为12～16千步的扇形圆心角是〖72〗^°.
根据统计图提供的信息，上述推断合理的是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】C
【解析】解：①小文此次一共调查了70÷35%=200位小区居民，正确;
②行走步数为8～12千步的人数为70，未超过调查总人数的一半，错误;
③行走步数为4～8千步的人数为200×25%=50人，正确;
④行走步数为12～16千步的扇形圆心角是〖360〗^°×20%=〖72〗^°，正确;
故选：C.
由8～12千步的人数及其所占百分比可判断①;由行走步数为8～12千步的人数为70，未超过调查总人数的一半可判断②;总人数乘以4～8千步的人数所占比例可判断③;用〖360〗^°乘以12～16千步人数所占比例可判断④.
本题考查了频数(率)直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.
二、填空题(本大题共8小题，共16.0分)
4是______的算术平方根.
【答案】16
【解析】解：∵4^2=16，
∴4是16的算术平方根.
故答案为：16.
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果.
此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键.
若a
【答案】<;>
【解析】解：若a
故答案为：<;>.
根据不等式的3个性质解答即可.
考查不等式性质的应用;用到的知识点为：不等式的两边加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变;乘以或除以同一个不为0的正数，不等号的方向不变;乘以或除以同一个不为0的负数，不等号的方向改变.
x的3倍与4的差是负数，用不等式表示为______.
【答案】3x-4<0
【解析】解：x的3倍与4的差是负数，用不等式表示为3x-4<0，
故答案为：3x-4<0.
“x的3倍”即3x，“与4的差”可表示为3x-4，根据负数即“<0”可得不等式.
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式.
一个多边形的每个外角都是〖60〗^°，则这个多边形边数为______.
【答案】6
【解析】解：360÷60=6.
故这个多边形边数为6.
故答案为：6.
利用外角和除以外角的度数即可得到边数.
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都〖360〗^°.
若点P(x-3,2)位于第二象限，则x的取值范围是______.
【答案】x<3
【解析】解：∵点P(x-3,2)位于第二象限，
∴x-3<0，
解得：x<3，
故答案为：x<3.
点在第二象限时，横坐标<0，纵坐标>0，可得关于x的不等式，解可得答案.
本题主要考查解一元一次不等式，解决本题的关键是记住各个象限内点的坐标的符号，进而转化为解不等式的问题.
如图，AB//CD，请写出图中一对相等的角：______;
要使∠A=∠B成立，需再添加的一个条件为：______.
【答案】答案不唯一：∠2=∠A或∠3=∠B;∠2=∠B，或∠3=∠A，或∠2=∠3，或CD是∠ACE的平分线……
【解析】解：如图，AB//CD，请写出图中一对相等的角：答案不唯一：∠2=∠A，或∠3=∠B;
要使∠A=∠B成立，需再添加的一个条件为：∠2=∠B或∠3=∠A或∠2=∠3，或CD是∠ACE的平分线…….
故答案为：答案不唯一：∠2=∠A或∠3=∠B;∠2=∠B，或∠3=∠A，或∠2=∠3，或CD是∠ACE的平分线…….
直接利用平行线的判定与性质分别判断得出答案.
此题主要考查了平行线的性质，正确数形结合分析是解题关键.
根据《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》，我国2013-2017年农村贫困人口统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估2018年年末全国农村贫困人口约为______万人，你的预估理由是______.
【答案】1700;预估理由需包含统计图提供的信息，且支撑预估的数据.
参考答案①：2000，按每年平均减少人数近似相等进行估算;
参考答案②：1700，按2016-2018年贫困人口数呈直线下降进行估算
【解析】解：2018年年末全国农村贫困人口约为1700万人，
预估理由：由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万，
故答案为：1700、由统计图可知，2016～2017减少约1300万，则2017～2018减少约为1300万，故2018年农村贫困人口约为1700万.
根据统计图可以得到得到各年相对去年减少的人数，从而可以预估2018年年末全国农村贫困人口约为多少万人，并说明理由.
本题考查用样本估计总体、条形统计图，解题的关键是明确条形统计图的特点，从中可以得到我们需要的信息.
在一次数学活动课上，老师让同学们借助一副三角板画平行线AB，CD.下面是小楠、小曼两位同学的作法：
老师说：“小楠、小曼的作法都正确.”
请回答：小楠的作图依据是______;
小曼的作图依据是______.
【答案】同位角相等，两直线平行(或垂直于同一直线的两条直线平行);内错角相等，两直线平行
【解析】解：
∵∠B=∠D=〖90〗^°，
∴AB//CD(同位角相等，两直线平行);
∵∠ABC=∠DCB=〖90〗^°，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
故答案为：同位角相等，两直线平行(或垂直于同一直线的两条直线平行);内错角相等，两直线平行.
由平行线的判定方法即可得到小楠、小曼的作图依据.
本题考查了作图-复杂作图和平行线的判定方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.
三、计算题(本大题共3小题，共16.0分)
解不等式组：{■((2x+3)/5<1@2(x-1)-1≤5x+3)┤，并把它的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：{■((2x+3)/5<1&①@2(x-1)-1≤5x+3&②)┤，
解不等式①，得x<1，
解不等式②，得x≥-2，
∴不等式组的解集是-2≤x<1.
解集在数轴上表示如图：
【解析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可.
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
已知x=√5，y=1/3，求代数式(3xy^2-2xy)÷xy+(2x)^2+3的值.
【答案】解：(3xy^2-2xy)÷xy+(2x)^2+3
=3y-2+4x^2+3
=4x^2+3y+1.
当x=√5，y=1/3时，原式=4×(√5 )^2+3×1/3+1=22.
【解析】根据多项式除以单项式和积的乘方可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法.
阅读下列材料并解答问题：
数学中有很多恒等式可以用图形的面积来得到.例如，图1中阴影部分的面积可表示为a^2-b^2;若将阴影部分剪下来，重新拼成一个矩形(如图2)，它的长，宽分别是a+b，a-b，由图1，图2中阴影部分的面积相等，可得恒等式(a+b)(a-b)=a^2-b^2.
(1)观察图3，根据图形，写出一个代数恒等式：______;
(2)现有若干块长方形和正方形硬纸片如图4所示.请你仿照图3，用拼图的方法推出恒等式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，画出你的拼图并标出相关数据;
(3)利用前面推出的恒等式(a+b)(a-b)=a^2-b^2和(a+b)^2=a^2+2ab+b^2计算：
①(√3+√2)(√3-√2);
②(x+2)^2.
【答案】(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2
【解析】解：(1)由图3知，等式为：(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2，
故答案为：(a+b)(2a+b)=2a^2+3ab+b^2;
(2)如图所示：
由图可得(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;
(3)①原式=(√3 )^2-(√2 )^2=3-2=1;
②(x+2)^2=x^2+2×x×2+2^2=x^2+4x+4.
(1)根据面积的两种表达方式得到图3所表示的代数恒等式;
(2)作边长为a+b的正方形即可得;
(3)套用所得公式计算可得.
本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答.
四、解答题(本大题共8小题，共44.0分)
计算：|1-√3|-√9+∛(-8).
【答案】解：原式=√3-1-3-2
=√3-6.
【解析】直接利用立方根以及算术平方根的定义化简进而得出答案.
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.
按照下列要求画图并作答：
如图，已知△ABC.
(1)画出BC边上的高线AD;
(2)画∠ADC的对顶角∠EDF，使点E在AD的延长线上，DE=AD，点F在CD的延长线上，DF=CD，连接EF，AF;
(3)猜想线段AF与EF的大小关系是：______;直线AC与EF的位置关系是：______.
【答案】AF=EF;AC//EF
【解析】解：(1)如图所示：高线AD即为所求;
(2)如图所示：
(3)猜想线段AF与EF的大小关系是：AF=EF;
理由：在△ADF和△EDF中
{■(AD=DE@∠ADF=∠EDF=〖90〗^°@DF=DF)┤，
∴△ADF≌△EDF(SAS)，
∴AF=EF;
直线AC与EF的位置关系是：AC//EF.
理由：在△ADC和△EDF中
{■(AD=ED@∠ADC=∠EDF@DC=DF)┤，
∴△ADC≌△EDF(SAS)，
∴∠ACD=∠EFD，
∴AC//EF.
故答案为：AF=EF;AC//EF.
(1)直接利用钝角三角形高线的作法得出答案;
(2)利用圆规与直尺截取得出E，F位置进而得出答案;
(3)利用已知线段和角的度数利用全等三角形的判定与性质分析得出答案.
此题主要考查了基本作图，正确作出钝角三角形的高线是解题关键.
如图，AB//CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=〖105〗^°，求∠D的度数.
【答案】解：∵AB//CD，(已知)
∴∠A+∠C=〖180〗^°.(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠A=〖105〗^°，(已知)
∴∠C=〖180〗^°-〖105〗^°=〖75〗^°.(等量代换)
又∵DE⊥AC，(已知)
∴∠DEC=〖90〗^°，(垂直定义)
∴∠C+∠D=〖90〗^°.(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠D=〖90〗^°-〖75〗^°=〖15〗^°.(等量代换)
【解析】直接利用平行线的性质得出∠A+∠C=〖180〗^°，进而得出∠C的度数，再利用垂直的定义得出∠C+∠D=〖90〗^°，即可得出答案.
此题主要考查了平行线的性质以及垂线，得出∠C的度数是解题关键.
小诚响应“低碳环保，绿色出行”的号召，一直坚持跑步与步行相结合的上学方式.已知小诚家距离学校2200米，他步行的平均速度为80米/分，跑步的平均速度为200米/分.若他要在不超过20分钟的时间内从家到达学校，至少需要跑步多少分钟?
【答案】解：设他需要跑步x分钟，由题意可得
200x+80(20-x)≥2200，
解得，x≥5.
答：小诚至少需要跑步5分钟.
【解析】设他需要跑步x分钟，根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题.
本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式.
天坛是明清两代皇帝每年祭天和祈祷五谷丰收的地方，以其严谨的建筑布局、奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰著称于世，被列为世界文化遗产.
小惠同学到天坛公园参加学校组织的综合实践活动，她分别以正东，正北方向为x轴，y轴的正方向建立了平面直角坐标系描述各景点的位置.
小惠：“百花园在原点的西北方向;表示回音壁的点的坐标为(0,-2).”
请依据小惠同学的描述回答下列问题：
(1)请在图中画出小惠同学建立的平面直角坐标系;
(2)表示无梁殿的点的坐标为______;
表示双环万寿亭的点的坐标为______;
(3)将表示祈年殿的点向右平移2个单位长度，再向下平移0.5个单位长度，得到表示七星石的点，那么表示七星石的点的坐标是______.
【答案】(-4,0);(-4,4);(2,3.5)
【解析】解：(1)画出平面直角坐标系如图;
(2)表示无梁殿的点的坐标为点(-4,0);
表示双环万寿亭的点的坐标为(-4,4);
故答案为：(-4,0)，(-4,4);
(3)表示七星石的点的坐标是(2,3.5).
故答案为：(2,3.5).
(1)直接利用回音壁的点的坐标为(0,-2)，得出原点位置，建立平面直角坐标系即可;
(2)利用所画平面直角坐标系得出各点坐标即可;
(3)利用平移的性质得出七星石的点的坐标.
此题主要考查了平移变换以及点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键.
为了解饮料自动售货机的销售情况，有关部门从北京市所有的饮料自动售货机中随机抽取20台进行了抽样调查，记录下某一天各自的销售情况(单位：元)，并对销售金额进行分组，整理成如下统计表：
28，8，18，63，15，30，70，42，36，47，
25，58，64，58，55，41，58，65，72，30
销售金额x 0≤x<20 20≤x<40 40≤x<60 60≤x<80
划记 ______ ______
频数 3 5 ______ ______
(1)请将表格补充完整;
(2)用频数分布直方图将20台自动售货机的销售情况表示出来，并在图中标明相应数据;
(3)根据绘制的频数分布直方图，你能获取哪些信息?(至少写出两条不同类型信息)
【答案】 ; ;7;5
【解析】解：(1)补全表格如下：
销售金额x 0≤x<20 20≤x<40 40≤x<60 60≤x<80
划记
频数 3 5 7 5
(2)频数分布直方图如下：
(3)销售额在40≤x<60的饮料自动售货机最多，有7台;
销售额在0≤x<20的饮料自动售货机最少，只有3台;
销售额在20≤x<40和40≤x<80的饮料自动售货机的数量相同.
(1)根据已知数据补全即可;
(2)根据频数分布直方图的制作可得;
(3)由频数分布直方图得出合理信息即可.
本题主要考查了统计表、条形统计图的应用，关键是正确从统计表中得到正确的信息，条形统计图表示的是事物的具体数量.
△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE⊥BC，垂足为E，作CF//AD，交直线AE于点F.设∠B=α，∠ACB=β.
(1)若∠B=〖30〗^°，∠ACB=〖70〗^°，依题意补全图1，并直接写出∠AFC的度数;
(2)如图2，若∠ACB是钝角，求∠AFC的度数(用含α，β的式子表示);
(3)如图3，若∠B>∠ACB，直接写出∠AFC的度数(用含α，β的式子表示).
【答案】解：(1)如图1，
∵∠B=〖30〗^°，∠ACB=〖70〗^°，
∴∠BAC=〖180〗^°-∠B-∠ACB=〖80〗^°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=1/2∠CAB=〖40〗^°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=〖90〗^°，
∵∠ACB=〖70〗^°，
∴∠EAC=〖180〗^°-〖90〗^°-〖70〗^°=〖20〗^°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=〖40〗^°-〖20〗^°=〖20〗^°，
∵CF//AD，
∴∠AFC=∠DAE=〖20〗^°;
(2)如图2，
∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=〖180〗^°，
∴∠BAC=〖180〗^°-(∠B+∠ACB)
=〖180〗^°-(α+β)，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=1/2∠BAC=〖90〗^°-1/2(α+β)，
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+〖90〗^°-1/2(α+β)=〖90〗^°-1/2(β-α)，
∵AE⊥BC，
∴∠DAE+∠ADE=〖90〗^°，
∴∠DAE=〖90〗^°-∠ADE=1/2(β-α)，
∵CF//AD，
∴∠DAE+∠AFC=〖180〗^°，
∴∠AFC=〖180〗^°-1/2(β-α);
(3)如图3，
∵△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=〖180〗^°，
∴∠BAC=〖180〗^°-(∠B+∠ACB)
=〖180〗^°-(α+β)，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=1/2∠BAC=〖90〗^°-1/2(α+β)，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=〖90〗^°，
∵∠ACB=β，
∴∠EAC=〖180〗^°-〖90〗^°-β=〖90〗^°-β，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=(〖90〗^°-β)-[〖90〗^°-1/2(α-β)]=1/2(α-β).
【解析】(1)先根据三角形内角和定理求出∠BAC和∠CAE，根据角平分线定义求出∠CAD，即可求出答案;
(2)先根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠BAD，根据三角形外角性质求出∠ADC，根据三角形内角和定理求出∠DAE，根据平行线的性质求出即可;
(3)求出∠DAE度数，根据平行线的性质求出即可.
本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线定义、三角形的高、平行线的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键.
在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，若点Q的坐标为(ax+y,x+ay)，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”.例如，点P(1,4)的“3级关联点”为Q(3×1+4,1+3×4)，即Q(7,13).
(1)已知点A(-2,6)的“1/2级关联点”是点A_1，点B的“2级关联点”是B_1 (3,3)，求点A_1和点B的坐标;
(2)已知点M(m-1,2m)的“-3级关联点”M'位于y轴上，求M'的坐标;
(3)已知点C(-1,3)，D(4,3)，点N(x,y)和它的“n级关联点”N'都位于线段CD上，请直接写出n的取值范围.
【答案】解：(1)∵点A(-2,6)的“1/2级关联点”是点A_1，
∴A_1 (-2×1/2+6,-2+1/2×6)，
即A_1 (5,1).
设点B(x,y)，
∵点B的“2级关联点”是B_1 (3,3)，
∴{■(〖x+2y=3〗┴(2x+y=3) )┤
解得{■(〖y=1.〗┴(x=1) )┤
∴B(1,1).
(2)∵点M(m-1,2m)的“-3级关联点”为M'(-3(m-1)+2m,m-1+(-3)×2m)，
M'位于y轴上，
∴-3(m-1)+2m=0，
解得：m=3
∴m-1+(-3)×2m=-16，
∴M'(0,-16).
(3)∵点N(x,y)和它的“n级关联点”N'都位于线段CD上，
∴N'(nx+y,x+ny)，
∴{■(〖-1
∴x=3n-3
∴{■(-1<3-3n<4@-4/3
解得：-1/3≤n≤4/3.
【解析】(1)根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论.
(2)根据关联点的定义和点M(m-1,2m)的“-3级关联点”M'位于y轴上，即可求出M'的坐标.
(3)因为点C(-1,3)，D(4,3)，得到y=3，由点N(x,y)和它的“n级关联点”N'都位于线段CD上，可得到方程组，解答即可.
本题考查一次函数图象上的坐标的特征，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
八年级数学下期末考试试卷阅读
一、选择题(本题共30分，每小题3分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1.使二次根式 有意义的x的取值范围是( ).
A. B. C. D.
【专题】常规题型.
【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案.
【解答】
故选：B.
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键.
2.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( ).
A B C D
【专题】常规题型.
【分析】根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答.
【解答】解：A、不是中心对称图形，故选项错误;
B、不是中心对称图形，故本选项错误;
C、是中心对称图形，故选项正确;
D、不是中心对称图形，故本选项错误.
故选：C.
【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
3.下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是( ).
A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等
C.两组对角分别相等 D.一组对边平行且另一组对边相等
【专题】多边形与平行四边形.
【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可.
【解答】解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意;
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意;
C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意;
D、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意;
故选：D.
【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法.
4.若点A(，m)，B( ，n)都在反比例函数 的图象上，则m与n的大小关系是( ).
A. B. C. D.无法确定
【专题】函数思想.
【分析】把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出mn的值，比较大小即可.
【解答】
∴m
故选：A.
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数.
5.如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点.
若EF=3，则菱形ABCD的周长为( ).
A.12 B.16
C.20 D.24
【专题】几何图形.
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.
【解答】解：∵E、F分别是AC、DC的中点，
∴EF是△ADC的中位线，
∴AD=2EF=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4AD=4×6=24.
故选：D.
【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.
6.近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人.如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，则根据题意可以列出方程为( ).
A. B.
C. D.
【专题】常规题型.
【分析】如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，那么2016年手机支付用户约为3.58(1+x)亿人，2017年手机支付用户约为3.58(1+x)2亿人，而2017年手机支付用户达到约5.27亿人，根据2017年手机支付用户的人数不变，列出方程.
【解答】解：设这两年手机支付用户的年平均增长率为x，依题意，得
3.58(1+x)2=5.27.
故选：C.
【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题.解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×(1+平均增长率)增长的次数=增长后的量.
7.甲、乙两位射击运动员的10次射击练习成绩的折线
统计图如图所示，则下列关于甲、乙这10次射击成
绩的说法中正确的是( ).
A.甲的成绩相对稳定，其方差小
B.乙的成绩相对稳定，其方差小
C.甲的成绩相对稳定，其方差大
D.乙的成绩相对稳定，其方差大
【专题】常规题型.
【分析】结合图形，乙的成绩波动比较小，则波动大的方差就小.
【解答】解：从图看出：乙选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定，甲的波动较大，则其方差大，
故选：B.
【点评】此题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
8.已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且关于x的一元二次方程 有两 个相等的实数根，则可推断△ABC一定是( ).
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
【专题】计算题.
【分析】根据判别式的意义得到△=(-2a)2-4(c2-b2)=0，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形.
【解答】解：根据题意得△=(-2a)2-4(c2-b2)=0，
所以a2+b2=c2，
所以△ABC为直角三角形，∠ACB=90°.
故选：C.
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根;当△=0时，方程有两个相等的实数根;当△<0时，方程无实数根.也考查勾股定理的逆定理.
9.如图，在△OAB中，∠AOB=55°，将△OAB在平面内绕点O顺时针
旋转到△OA′B′ 的位置，使得BB′∥AO，则旋转角的度数为( ).
A.125° B.70°
C.55° D.15°
【专题】平移、旋转与对称.
【分析】据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠B'BO=55°，根据旋转的性质可得OB=OB′，然后利用等腰三角形两底角相等可得∠BOB′，即可得到旋转角的度数.
【解答】解：∵BB′∥AO，
∴∠AOB=∠B'BO=55°，
又∵OB=OB′，
∴△BOB'中，∠BOB'=180°-2×55°=70°，
∴旋转角的度数为70°，
故选：B.
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键.
10.已知某四边形的两条对角线相交于点O.动点P从点A出发，
沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C.设点P运
动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的
图象大致如右图所示，则该四边形可能是( ).
A B C D
【专题】函数及其图像.
【分析】通过点P经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解.
【解答】解：C、D选项A→B→C路线都关于对角线BD对称，因而函数图象应具有对称性，故C、D错误，对于选项B点P从A到B过程中OP的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误.
故选：A.
【点评】本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断.解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化
二、填空题(本题共24分，每小题3分)
11.计算： _________.
【专题】计算题.
【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
12.若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是 °.
【分析】首先设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x=180，继而求得答案.
【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，
则x+2x=180，
解得：x=60，
∴其中较小的内角是：60°.
故答案为：60°.
【点评】此题考查了多边形的内角和外角，平行四边形的性质.注意平行四边形的邻角互补.
13.如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m处折断,若木杆
折断前的高度为8m，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端
的距离为 m.
【专题】常规题型.
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离.
【解答】解：∵一棵垂直于地面的木杆在离地面3米处折断，木杆折断前的高度为8m，
故答案为：4.
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力.
14.将一元二次方程 通过配方转化成 的形式( ， 为常数)，则 =_________， =_________.
【专题】计算题;一元二次方程及应用.
【分析】依据配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得.
【解答】解：∵x2+8x+13=0，
∴x2+8x=-13，
则x2+8x+16=-13+16，即(x+4)2=3，
∴n=4、p=3，
故答案为：4、3.
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
若∠AOD=120°， AB=2，则BC的长为 .
【分析】由条件可求得△AOB为等边三角形，则可求得AC的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的长.
【解答】解：
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AO=OC=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=OB=OC=AB=2，
∴AC=4，
【点评】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键.
16.已知一个反比例函数的图象与正比例函数 的图象
有交点，请写出一个满足上述条件的反比例函数的表达式： .
【专题】常规题型.
【分析】写一个经过一、三象限的反比例函数即可.
【解答】
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数解析式.
17.某汽车制造商对新投入市场的两款汽车进行了调查，这两款汽车的各项得分如下表所示：
汽车型号 安全性能 省油效能 外观吸引力 内部配备
A 3 1 2 3
B 3 2 2 2
(得分说明：3分——极佳，2分——良好，1分——尚可接受)
(1)技术员认为安全性能、省油效能、外观吸引力、内部配备这四项的占比分别为30%，30%，20%，20%，并由此计算得到A型汽车的综合得分为2.2，B型汽车的综合得分为 ;
(2)请你写出一种各项的占比方式，使得A型汽车的综合得分高于B型汽车的综合得分.(说明：每一项的占比大于0，各项占比的和为100%)
答：安全性能：______，省油效能：______，外观吸引力：______，内部配备：______.
【专题】常规题型.
【分析】(1)根据加权平均数的计算公式列式计算即可;
(2)要使得A型汽车的综合得分高于B型汽车的综合得分，根据这两款汽车的各项得分，将A型汽车高于B型汽车得分的项(内部配备)占比较高，同时将A型汽车低于B型汽车得分的项(省油效能)占比较低即可.
【解答】解：B型汽车的综合得分为：3×30%+2×30%+2×20%+2×20%=2.3.
故答案为2.3;(2)∵A型汽车的综合得分高于B型汽车的综合得分，
∴各项的占比方式可以是：安全性能：30%，省油效能：10%，外观吸引力：10%，内部配备50%.
故答案为30%，10%，10%，50%.
【点评】本题考查的是加权平均数的求法，掌握公式是解题的关键.
18.已知三角形纸片ABC的面积为48，BC的长为8.按下列步骤将三角形纸片ABC进行裁剪和拼图：
第一步：如图1，沿三角形ABC的中位线DE将纸片剪成两部分.在线段DE上任意取一点F，在线段BC上任意取一点H，沿FH将四边形纸片DBCE剪成两部分;
第二步：如图2，将FH左侧纸片绕点D旋转180°，使线段DB与DA重合;将FH右侧纸片绕点E旋转180°，使线段EC与EA重合，再与三角形纸片ADE拼成一个与三角形纸片ABC面积相等的四边形纸片.
(1)当点F，H在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形;
(2)在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________.
【专题】综合题.
【分析】(1)利用旋转的旋转即可作出图形;
(2)先求出△ABC的边长边上的高为12，进而求出DE与BC间的距离为6，再判断出FH最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论.
【解答】解：(1)∵DE是△ABC的中位线，
∴四边形BDFH绕点D顺时针旋转，点B和点A重合，
四边形CEFH绕点E逆时针旋转，点C和点A重合，
∴补全图形如图1所示，
(2)∵△ABC的面积是48，BC=8，
∴点A到BC的距离为12，
∵DE是△ABC的中位线，
∴平行线DE与BC间的距离为6，
由旋转知，∠DAH''=∠B，∠CAH'=∠C，
∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，
∴点H''，A，H'在同一条直线上，
由旋转知，∠AEF'=∠CEF，
∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，
∴点F，E，F'在同一条直线上，
同理：点F，D，F''在同一条直线上，
即：点F'，F''在直线DE上，
由旋转知，AH''=BH，AH'=CH，DF''=DF，EF'=EF，F''H''=FH=F'H'，
∴F'F''=2DE=BC=H'H''，
∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，
∴▱F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH，
∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH最小，
即：FH⊥BC，
∴FH=6，
∴周长的最小值为16+2×6=28，
故答案为28.
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形F'H'H''F''是平行四边形是解本题的关键.
三、解答题(本题共46分，第19题8分，第24、25题每小题7分，其余每小题6分)
19.解方程：
(1) ; (2) .
解： 解：
【专题】常规题型.
【分析】(1)先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可;
(2)先求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可.
【解答】解：(1)x2-4x-5=0，
分解因式得：(x-5)(x+1)=0，
x-5=0，x+1=0，
x1=5，x2=-1;
(2)2x2-2x-1=0，
a=2，b=-2，c=-1，
△=b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12>0，
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选项适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.
20.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF.
(1)求证：四边形AECF是菱形;
(2)若AC=4，BE=1，直接写出菱形AECF的边长.
(1)证明：
(2)菱形AECF的边长为____________.
【专题】几何图形.
【分析】(1)根据正方形的性质和菱形的判定解答即可;
(2)根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可.
【解答】(1)证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，
AC⊥BD.
∵BE=DF，
∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.
(2)∵AC=4，
∴OA=2，
∴OB=2，
∴OE=OB+BE=3，
【点评】此题考查了菱形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法.
21. 已知关于的一元二次方程 .
(1)求证：此方程总有两个实数根;
(2)若此方程有一个根大于0且小于1，求 的取值范围.
(1)证明：
(2)解：
【专题】一次方程(组)及应用.
【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式△≥0恒成立，因此得证，
(2)利用求根公式求根，根据有一个跟大于0且小于1，列出关于k的不等式组，解之即可.
【解答】(1)证明：△=b2-4ac=[-(k+1)]2-4×(2k-2)=k2-6k+9=(k-3)2，
∵(k-3)2≥0，即△≥0，
∴此方程总有两个实数根，
解得 x1=k-1，x2=2，
∵此方程有一个根大于0且小于1，
而x2>1，
∴0
即0
∴1
即k的取值范围为：1
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程总有两个实数根”，(2)正确找出不等量关系列不等式组
22.小梅在浏览某电影评价网站时，搜索了最近关注到的甲、乙、丙三部电影，网站通过对观众的抽样调查，得到这三部电影的评分数据统计图分别如下：
甲、乙、丙三部电影评分情况统计图
根据以上材料回答下列问题：
(1)小梅根据所学的统计知识，对以上统计图中的数据进行了分析，并通过计算得到这三部电影抽样调查的样本容量，观众评分的平均数、众数、中位数，请你将下表补充完整：
甲、乙、丙三部电影评分情况统计表
电影 样本容量 平均数 众数 中位数
甲 100 3.45 5
乙 3.66 5
丙 100 3 3.5
(2)根据统计图和统计表中的数据，可以推断其中_______电影相对比较受欢迎，理由是
.(至少从两个不同的角度说明你推断的合理性)
【专题】常规题型;统计的应用.
【分析】(1)根据众数、中位数和平均数的定义，结合条形图分别求解可得;
(2)从平均数、中位数和众数的意义解答，合理即可.
【解答】解：(1)甲电影的众数为5分，
补全表格如下表所示：
甲、乙、丙三部电影评分情况统计表
电影 样本容量 平均数 众数 中位数
甲 100 3.45 5 5
乙 100 3.66 5 4
丙 100 3.78 3 3.5
(2)丙，①丙电影得分的平均数最高;②丙电影得分没有低分.
【点评】此题考查了条形统计图，表格，中位数，众数，弄清题意是解本题的关键.
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°.点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(3，4)，M是BC边的中点，函数 ( )的图象经过点M.
(1)求k的值;
(2)将△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF(点A，B，C的对应点分别为点D，E，F)，且EF在y轴上，点D在函数 ( )的图象上，求直线DF的表达式.
解：(1)
【专题】函数思想.
【分析】(1)根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点M的坐标，将其代入反比例函数解析式求得k的值;
(2)根据旋转的性质推知：△DEF≌△ABC.故其对应边、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°.由函数图象上点的坐标特征得到：D(2，3). E(0，3).结合EF=BC=4得到F(0，-1). 利用待定系数法求得结果.
【解答】解：(1)∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C的坐标为(3，4)，
∴点B的坐标为(3，0)，CB=4.
∵M是BC边的中点，
∴点M的坐标为(3，2).
∴k=3×2=6.
(2)∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC.
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°.
∵点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(3，0)，
∴AB=2.
∴DE=2.
∵EF在y轴上，
∴点D的横坐标为2.
当x=2时，y=3.
∴点D的坐标为(2，3).
∴点E的坐标为(0，3).
∵EF=BC=4，
∴点F的坐标为(0，-1).
设直线DF的表达式为y=ax+b，将点D，F的坐标代入，
∴直线DF的表达式为y=2x-1.
【点评】考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，解题时，注意函数思想和数形结合数学思想的应用.
24.在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E.点F在BC边上，且FE⊥AE.
(1)如图1，
①∠BEC=_________°;
②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论;
(2)如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M.NH∥BE，NB∥HE，连接NE.
若AB=4，AH=2，求NE的长.
解：(1)②结论：△_________≌△_________;
证明：
(2)
【专题】几何综合题.
【分析】(1)根据矩形的性质得到∠ABC=∠BCD=90°，根据角平分线的定义得到∠EBC=45°，根据三角形内角和定理计算即可;
(2)利用ASA定理证明△ADE≌△ECF;
(3)连接HB，证明四边形NBEH是矩形，得到NE=BH，根据勾股定理求出BH即可.
【解答】解：(1)①∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=45°，
∴∠BEC=45°，
故答案为：45;
②△ADE≌△ECF，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC.
∵FE⊥AE，
∴∠AEF=90°.
∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°.
∵∠AED+∠DAE=90°，
∴∠FEC=∠EAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠BEC=45°.
∴∠EBC=∠BEC.
∴BC=EC.
∴AD=EC.
在△ADE和△ECF中，
∴△ADE≌△ECF;
(2)连接HB，如图2，
∵FH∥CD，
∴∠HFC=180°-∠C=90°.
∴四边形HFCD是矩形.
∴DH=CF，
∵△ADE≌△ECF，
∴DE=CF.
∴DH=DE.
∴∠DHE=∠DEH=45°.
∵∠BEC=45°，
∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°.
∵NH∥BE，NB∥HE，
∴四边形NBEH是平行四边形.
∴四边形NBEH是矩形.
∴NE=BH.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAH=90°.
∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，
【点评】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
25.当 值相同时，我们把正比例函数 与反比例函数 叫做“关联函数”，可以通过图象研究“关联函数”的性质.小明根据学习函数的经验，先以 与 为例对“关联函数”进行了探究.
下面是小明的探究过程，请你将它补充完整：
(1)如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象.
设这两个函数图象的交点分别为A，B，则点A
的坐标为( ， )，点B的坐标为_________;
(2)点P是函数 在第一象限内的图象上一个动点(点P不与点B重合)，设点P的坐标为(， )，其中>0且 .
①结论1：作直线PA，PB分别与x轴交于点C，D，则在点P运动的过程中，总有PC=PD.
证明：设直线PA的解析式为 ，将点A和点P的坐标代入，
得 解得 则直线PA的解析式为 .
令 ，可得 ，则点C的坐标为( ， ).
同理可求，直线PB的解析式为 ，点D的坐标为_____________.
请你继续完成证明PC=PD的后续过程：
②结论2：设△ABP的面积为S，则S是t的函数.请你直接写出S与t的函数表达式.
【专题】综合题.
【分析】(1)联立方程组求解即可得出结论;
(2)①利用待定系数法求出直线PA的解析式，再利用待定系数法求出直线PB的解析式即可求出点D坐标，进而判断出PM是CD的垂直平分线，即可得出结论;
②分两种情况利用面积的和差即可得出结论;
考试结束后：同(2)②的方法即可得出结论.
令y=0，
∴x=t-2，
则点C的坐标为(t-2，0).
∴x=t+2
∴点D的坐标(t+2，0)，
如图 ，过点P作PM⊥x轴于点M，
则点M的横坐标为t.
∴CM=t-(t-2)=2，
DM=(t+2)-t=2.
∴CM=DM.
∴M为CD的中点.
∴PM垂直平分CD.
∴PC=PD.
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，线段垂直平分线的性质和判定，掌握坐标系内求几何图形面积的方法是解本题的关键.
八年级数学
试卷满分：20分
一、填空题(本题共12分，每小题6分)
1.观察下面的表格，探究其中的规律并填空：
一元二次方程 方程的两个根 二次三项式分解因式
【专题】因式分解.
【分析】利用公式法对方程的左边进行因式分解.
【解答】
【点评】考查了解一元二次方程-因式分解法.因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
2.在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形——同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学.
(1)根据信息将以下小红的证明思路补充完整：
①如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ADEC，
四边形BCFG，四边形ABPQ都是正方形.延长QA交
DE于点M，过点C作CN∥AM交DE的延长线于点N，
可得四边形AMNC的形状是_________________;
②在图1中利用“等积变形”可得 _____________;
③如图2，将图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA
的长度，得到四边形A’ M’N’ C’，即四边形QACC’;
④设CC’ 交AB于点T，延长CC’交QP于点H，在图2中
再次利用“等积变形”可得 _____________，
则有 _____________;
⑤同理可证 ，因此得到
+ ，进而证明了勾股定理.
(2)小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：
图1中△______≌△______，则有______=AB=AQ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形QACC’.
【专题】矩形 菱形 正方形.
【分析】根据平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型即可解决问题;
【解答】解：(1)∵四边形ACED是正方形，
∴AC∥MN，∵AM∥CN，
∴四边形AMNC是平行四边形，
∴S正方形ADEC=S平行四边形AMNC，
∵AD=AC，∠D=∠ACB，∠DAC=∠MAB，
∴∠DAM=∠CAB，
∴△ADM≌△ACB，
∴AM=AB=AQ，
∴图1中的四边形AMNC沿直线MQ向下平移MA的长度，得到四边形A′M′N′C′，即四边形QACC′，
∴S四边形QACC′=S四边形QATH，则有S正方形ADEC=S四边形QATH，
∴同理可证S正方形BCFG=S四边形HTBP，因此得到S正方形ADEC+S正方形BCFG=S正方形ABPQ;
故答案为平行四边形，S四边形AMNC，S四边形QATH，S四边形QATH;
(2)由(1)可知：△ADM≌△ACB，
∴AM=AB=AQ，
故答案为ADM，ACB，AM;
【点评】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考创新题目.
二、解答题(本题8分)
3.在△ABC中，M是BC边的中点.
(1)如图1，BD，CE分别是△ABC的两条高，连接MD，ME，则MD与ME的数量关系是________________;若∠A=70°，则∠DME=________°;
(2)如图2，点D， E在∠BAC的外部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD=∠CAE=30°，连接MD，ME.
①判断(1)中MD与ME的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论;
②求∠DME的度数;
(3)如图3，点D，E在∠BAC的内部，△ABD和△ACE分别是以AB，AC为斜边的直角三角形，且∠BAD=∠CAE= ，连接MD，ME.直接写出∠DME的度数(用含 的式子表示).
解：(2)①
②
(3)∠DME= .
【专题】几何综合题.
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到MD=ME，根据三角形内角和定理求出∠DME;
(2)分别取AB，AC的中点F，H，连接FD，FM，HE，HM，证明△DFM≌△MHE，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可;
(3)仿照(2)的证明方法解答.
【解答】解：(1)∵BD，CE分别是△ABC的两条高，M是BC边的中点，
∴MD=ME，∠MEB=∠ABC，∠MDC=∠ACB，
∴∠DME=180°-∠EMB-∠DMC
=180°-(180°-2∠ABC)-(180°-2∠ACB)
=180°-2∠A
=40°，
故答案为：MD=ME，40;
(2)①MD=ME仍然成立;
证明：分别取AB，AC的中点F，H，连接FD，FM，HE，HM，
∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM是△ABC的中位线.
∴∠BFM=∠BAC.
∵H是AC的中点，
∴EH是Rt△AEC的中线.
∴FM=EH.
同理可证，MH=DF.
∴∠FDA=∠FAD.
∴∠BFD=∠FDA+∠FAD=2∠FAD.
∵∠BAD=30°，
∴∠BFD=60°.
∴∠DFM=∠BFD+∠BFM=60°+∠BAC.
同理可证，MHE=60°+∠BAC.
∴∠DFM=∠MHE.
在△DFM和△MHE中，
∴△DFM≌△MHE.
∴MD=ME;
②∵HM∥AB，
∴∠FMH=∠BFM.
∵△DFM≌△MHE，
∴∠FDM=∠HME，
∴∠DME=∠EMD+∠FMH+∠HME
=∠FMD+∠BFM+∠FDM
=180°-∠BFD
=120°;
(3)由(2)可知，△DFM≌△MHE，
∴∠FMD=∠HEM，
∴∠DME=360°-∠FMD-∠FMH-∠HME
=360°-∠HEM-∠FMH-∠HME
=360°-∠HEM-∠MHE-2α-∠HEM
=180°-2α.
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
八年级数学下学期期末试卷题
一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1. =( )
A.4 B.2 C.﹣2 D.±2
【答案】B
【分析】根据算术平方根的概念解答，注意与平方根概念的区别.
【解答】 = =2
2.一组数据5，8，8，12，12，12，44的众数是( )
A.5 B.8 C.12 D.44【答案】C
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的那个数据.
【解答】∵数据中12出现3次，出现次数最多，
∴这组数据的众数是12，
3.若点(3，1)在一次函数y=kx﹣2的图象上，则常数k=( )
A.5 B.4 C.3 D.1
【答案】D
【分析】一个点在函数图象上，则这个点的坐标满足函数解析式，所以将这个点的坐标代入解析式即可得答案.
【解答】将(3，1)代入y=kx﹣2，得
3k﹣2=1，解得k=1，
4.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为( )
A.2 B. C. D.
【答案】C
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，而半径AM=AC，再根据A点表示﹣1，可得M点表示的数.
【解答】AC= = = ，
则AM= ，
∵A点表示﹣1，
∴M点表示的数为： ﹣1，
故选： C.
5.Rt△ABC中，斜边BC=2，则AB2+BC2+CA2=( )
A.8 B.6 C.4 D.无法计算
【答案】A
【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值即可.
【解答】∵Rt△ABC中，BC为斜边，BC=2，
∴AB2+AC2=BC2=4，
∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×4=8.
故选： A.
6.在平面直角坐标系中，函数y=(k﹣1)x+(k+2)(k﹣2)的图象不经过第二象限与第四象限，则常数k满足( )
A.k=2 B.k=﹣2 C.k=1 D.k>1
【答案】A
【分析】根据一次函数的性质求解，画出函数图象求解.
【解答】∵一次函数y=(k﹣1)x+(k+2)(k﹣2)的图象不经过第二象限与第四象限，
则k﹣1>0，且(k+2)(k﹣2)=0，解得k=2，
故选： A.
7.关于四边形ABCD：①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③有一组对边平行且相等;④对角线AC和BD相等;以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】C
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.按照平行四边形的判定方法进行判断即可.
【解答】①符合平行四边形的定义，故①正确;
②两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故②正确;
③由一组对边平行且相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确;
④对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④错误;
所以正确的结论有三个：①②③，
故选： C.
8.在矩形ABCD中，作DE⊥AC于E，若∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE=( )
A.36° B.9° C.27° D.18°
【答案】D
【分析】本题首先根据∠ADE：∠EDC=3：2可推出∠ADE以及∠EDC的度数，然后求出∠ODC即可解决问题;
【解答】∵∠ADE：∠EDC=3：2，∠ADC=90°
∴∠ADE=54°，∠EDC=36°，
又∵DE⊥AC，
∴∠DCE=90°﹣36°=54°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=54°，
∴∠BDE=∠ODC﹣∠CDE=18°
故选： D.
9.如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A的路径匀速移动，设P点经过的路径长为x，A、P、D三点连线所围成图形的面积是y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【分析】根据题意研究图象代表意义即可.
【解答】根据题意，当点P由A到D过程中，0≤x≤4，y=0
当点P由C到B时，8≤x≤12，y=8
故选： B.
10.如图，E是边长为4的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BR于点R，则PQ+PR的值是( )
A.2 B.2 C.2 D.
【答案】A
【分析】连接BP，设点C到BE的距离为h，然后根据S△BCE=S△BCP+S△BEP求出h=PQ+PR，再根据正方形的性质求出h即可.
【解答】如图，连接BP，设点C到BE的距离为h，
则S△BCE=S△BCP+S△BEP，
即 BE•h= BC•PQ+ BE•PR，
∵BE=BC，
∴h=PQ+PR，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴h=4× =2 .
故选： A.
二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上.
11.若二次根式 有意义，则x的取值范围是 x≥1 .
【答案】x≥1.
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围.
【解答】根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1.
12.将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向 上 平移 1 个单位后，得到的图象经过原点.
【答案】上，1.
【分析】根据“上加下减”的平移规律解答即可.
【解答】将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移1个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=3x﹣1+1，
即y=3x，该函数图象经过原点.
13.某中学规定学生的学期总评成绩满分为100分，其中平时成绩占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%，小明的数学三项成绩(百分制)依次为85分，80分，90分，则小明这学期的数学总评成绩是 86 分.
【答案】86.
【分析】根据加权平均数的计算方法，求出小明这学期的体育总评成绩为多少即可.
【解答】小明这学期的数学总评成绩是85×20%+80×30%+90×50%=86分，
14.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC交BC于点E，AD=10cm，则OE的长为 5cm .
【答案】5cm.
【分析】只要证明OE是△ABC的中位线，从而求得OE的长.
【解答】∵OE∥DC，AO=CO，
∴OE是△ABC的中位线，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=10cm，
∴OE=5cm.
15.已知一次函数y=ax+b的图象经过点(﹣2，0)和点(0，﹣1)，则不等式ax+b>0的解集是 x<﹣2 .
【答案】x<﹣2.
【分析】根据点A和点B的坐标得到一次函数图象经过第二、三、四象限，根据函数图象得到当x>﹣2时，图象在x轴上方，即y>0.
【解答】∵一次函数y=ax+b的图象经过(﹣2，0)和点(0，﹣1)，
∴一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴当x<﹣2时，y>0，即ax+b>0，
∴关于x的不等式ax+b<0的解集为x<﹣2.
16.在直角坐标系中，直线y=x+2与y轴交于点A1，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C1C2…，A1、A2、A3…在直线y=x+2上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn，则Sn的值为 22n﹣1 (用含n的代数式表示，n为正整数).
【答案】22n﹣1.
【分析】结合正方形的性质结合直线的解析式可得出：A2B1=OC1，A3B2=C1C2，A4B3=C2C3，…，结合三角形的面积公式即可得出：S1= OC12=2，S2= C1C22=8，S3= C2C32=32，…，根据面积的变化可找出变化规律“Sn=22n﹣1(n为正整数)”，依此规律即可得出结论.
【解答】令一次函数y=x+2中x=0，则y=2，
∴点A1的坐标为(0，2)，OA1=2.
∵四边形AnBnCnCn﹣1(n为正整数)均为正方形，
∴A1B1=OC1=2，A2B2=C1C2=4，A3B3=C2C3=6，….
令一次函数y=x+2中x=2，则y=4，
即A2C1=4，
∴A2B1=A2C1﹣A1B1=2=A1B1，
∴tan∠A2A1B1=1.
∵AnCn﹣1⊥x轴，
∴tan∠An+1AnBn=1.
∴A2B1=OC1，A3B2=C1C2，A4B3=C2C3，….
∴S1= OC12=2，S2= C1C22=8，S3= C2C32=32，…，
∴Sn=22n﹣1(n为正整数).
故答案为：22n﹣1.
三、解答题()(本大题3小题，每小题6分，共18分)
17.计算： ﹣ +( +2)( ﹣2)+ ÷
【分析】先化简二次根式、利用平方差公式和二次根式的除法法则计算，再合并同类二次根式即可得.
【解答】原式=4 ﹣2 +3﹣4+
=2 ﹣1+2
=4 ﹣1.
18.已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF.
【分析】根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DCB=∠FBE，然后利用“角边角”证明△CED和△BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证.
【解答】证明：∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠DCB=∠FBE，
在△CED和△BEF中，
∴△CED≌△BEF(ASA)，
∴CD=BF，
∴AB=BF.
19.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(0，1)和(1，﹣2).
(1)求函数的解析式;
(2)求直线y=kx+b上到x轴距离为7的点的坐标.
【分析】(1)利用待定系数法求一次函数解析式;
(2)分别求出函数值为7或﹣7对应的自变量的值即可.
【解答】(1)把(0，1)，(1，﹣2)分别代入y=kx+b得 ，解得 ，
∴一次函数解析式为y=﹣3x+1;
(2)当y=7时，﹣3x+1=7，解得x=﹣2，此时满足条件的点的坐标为(﹣2，7);
当y=﹣7时，﹣3x+1=﹣7，解得x= ，此时满足条件的点的坐标为( ，﹣7);
综上所述，直线y=kx+b上到x轴距离为7的点的坐标为(﹣2，7)或( ，﹣7).
四、解答题((本大题3小题，每小题7分，共21分)
20.(7分)如图，BD是矩形ABCD的一条对角线.
(1)作BD的垂直平分线EF，分别交AD、BC于点E、F，垂足为点O(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法);
(2)求证：AF=CE.
【分析】(1)利用基本作图作线段BD的垂直平分线即可;
(2)先证明△DOE≌△BOF得到DE=BF，然后证明四边形AECF为平行四边形，从而得到AF=CE.
【解答】(1)解：如图，EF为所作;
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵EF垂直平分BD，
∴BO=OD，
在△DOE和△BOF中
，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴AE=CF，
而AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF=CE.
21.(7分)2017年5月，举世瞩目的“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行.为了让学生更深刻地了解这一普惠世界的中国创举，某校组织八年级甲班和乙班的学生开展“一带一路”知识竞赛活动.现场决赛时，甲班和乙班分别选5名同学参加比赛，成绩如图所示：
(1)根据上图将计算结果填入下表：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 8.5 0.7
乙班 8.5 8 10 1.6
(2)你认为哪个班的成绩较好?为什么?
【分析】(1)由条形图分别得出甲、乙班5位同学的成绩，再根据众数、中位数和方差定义求解可得;
(2)分别从平均数、众数、中位数和方差的角度分析可得.
【解答】(1)甲班5位同学的成绩分别为8.5、7.5、8、8.5、10，
∴甲班5位同学成绩的众数为8.5、方差为 ×[(8.5﹣8.5)2×2+(7.5﹣8.5)2+(8﹣8.5)2+(10﹣8.5)2]=0.7，
乙班5位同学的成绩分别为：7、10、10、7.5、8，
∴乙班5位同学成绩的中位数为8，
补全表格如下：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 8.5 0.7
乙班 8.5 8 10 1.6
(2)从平均数看，甲、乙班成绩一样;
从中位数看，甲班成绩好;
从众数看，乙班成绩好;
从方差看，甲班成绩稳定.
22.(7分)如图，函数y=﹣ x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y=kx(k为常数)的图象交于点E，以BE、OE为邻边的平行四边形是菱形.
(1)求k;
(2)过点B作y轴的垂线，交函数y=kx的图象于点C，四边形OACB是矩形吗?为什么?
【分析】(1)由题意可得A，B坐标，由BE=OE，可证AE=BE=OE，可求E点坐标，再代入解析式可求k
(2)根据平行线分线段成比例可得OE=EC，可证OACB是平行四边形，且∠AOB=90°可得OACB是矩形
【解答】∵函数y=﹣ x+2的图象与x轴、y轴分别交于点A、B
∴A(6，0)，B(0，2)
∴BO=2，AO=6
∵OE，BE是菱形的边
∴BE=OE
∴∠ABO=∠BOE
∵∠AOB=90°
∴∠ABO+∠BAO=90°，∠BOE+∠AOE=90°
∴∠BAO=∠AOE
∴OE=AE
∴AE=BE
作EM⊥AO，作ED⊥BO
∴EM∥BO，DE∥AO
∴ ，
∴ME=1，DE=3
∴E(3，1)
∵y=kx的图象过E点
∴1=3k
∴k=
∴解析式y= x
(2)是矩形.
∵BC⊥y轴，AO⊥y轴
∴BC∥AO
∴
∴OE=CE，且AE=BE
∴ACBO是平行四边形且∠AOB=90°
∴四边形ACBO是矩形.
五、解答题白(本大题3小题，每小题9分，共27分)
23.(9分)如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G.
(1)若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形;
(2)求证：CG=2AG.
【分析】(1)由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD=DC=BD，从而得∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，根据∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°可得答案.
(2)作DM∥EG交AC于点M，分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG=GM=CM，从而得出答案.
【解答】(1)∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，
∴AD=DC=BD，
∴∠DBA=∠DAB、∠DAC=∠DCA，
∵∠DBA+∠DAC+∠DBA+∠DCA=180°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴△ABC是直角三角形;
(2)过点D作DM∥EG交AC于点M，
∵AD是△ABC的边BC的中线，
∴BD=DC，
∵DM∥EG，
∴DM是△BCG的中位线，
∴M是CG的中点，
∴CM=MG，
∵DM∥EG，E是AD的中点，
∴EG是△ADM的中位线，
∴G是AM的中点，
∴AG=MG，
∴CG=2AG.
24.(9分)某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准.按照新标准，用户每月缴纳的水费y(元)与每月用水量x(m3)之间的关系如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)已知某用户四、五月份共用水40m3
①若该用户这两个月共缴纳水费79.8元，且五月份用水量较大，则该用户五月份用水多少m3?
②该用户这两个月共需缴纳水费至少 78 元.
【分析】(1)根据函数图象中的数据可以分别求得各段对应的函数解析式;
(2)①根据(1)中的函数解析式和题意可以解答本题;
②根据题意和函数图象可知当四月份用水15m3时，该用户这两个月共需缴纳水费最少.
【解答】(1)当0≤x≤15时，设y与x的函数关系式为y=kx，
15k=27，得k=1.8，
即当0≤x≤15时，y与x的函数关系式为y=1.8x，
当x>15时，设y与x的函数关系式为y=ax+b，
，得 ，
即当x>15时，y与x的函数关系式为y=2.4x﹣9，
由上可得，y= ;
(2)①设四月份用水xm3，
当0≤x≤15时，1.8x+2.4(40﹣x)﹣9=79.8，
解得，x=12，
∴40﹣x=28，
当15
∵2.4×40﹣9=87≠79.8，
∴该种情况不存在，
答：五月份用水28m3;
②由题意可得，
当四月份用水15m3时，这两个月共需缴纳水费最少，
此时水费为：1.8×15+2.4×(40﹣15)﹣9=78(元)，
故答案为：78.
25.(9分)如图，在正方形ABCD中，AB=4，P是CD边上的动点(P点不与C、D重合)，过点P作直线与BC的延长线交于点E，与AD交于点F，且CP=CE，连接DE、BP、BF，设CP=x，△PBF的面积为S1，△PDE的面积为S2
(1)求证：BP⊥DE;
(2)求S1﹣S2关于x的函数解析式，并写出x的取值范围;
(3)当∠PBF=30°时，求S1﹣S2的值.
【分析】(1)如图1中，延长BP交DE于M.只要证明△BCP≌△DCE，推出∠BCP=∠CDE，由∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，即可推出∠CDE+∠DPM=90°，延长即可解决问题;
(2)根据S1﹣S2=S△PBF﹣S△PDE计算即可解决问题;
(3)先求出PC的长，再利用(2)中结论计算即可;
【解答】(1)如图1中，延长BP交DE于M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCP=∠DCE=90°，
∵CP=CE，
∴△BCP≌△DCE，
∴∠BCP=∠CDE，
∵∠CBP+∠CPB=90°，∠CPB=∠DPM，
∴∠CDE+∠DPM=90°，
∴∠DMP=90°，
∴BP⊥DE.
(2)由题意S1﹣S2=[16﹣2x﹣2x﹣ (4﹣x)2]﹣ •(4﹣x)•x
=8﹣2x(0
(3)如图2中，∵∠PBF=30°，
∵CP=CE，∠DCE=90°，
∴∠CPE=∠CEP=∠DPF=45°，∠FDP=90°，
∴∠PFD=∠DPF=45°，
∴DF=DP，∵AD=CD，
∴AF=PC，∵AB=BC，∠A=∠BCP=90°，
∴△BAF≌△BCP，
∴∠ABF=∠CBP=30°，
∴x=PC=BC•tan30°= ，
∴S1﹣S2=8﹣2x=8﹣
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