学习啦 > 学习方法 > 初中学习方法 > 初一学习方法 > 七年级数学 > 初一数学上册《有理数》知识汇总

初一数学上册《有理数》知识汇总

时间: 曾扬1167 分享

初一数学上册《有理数》知识汇总

  正数和负数

  正数和负数的概念

  (1) 像3、1.5、1/2、584等大于0的数,叫做正数,在小学学过的数,除0以外都是正数,正数比0大。

  (2) 像-3、-1.5、-1/2、-584等在正数前面加“-”(读作负)号的数,叫做负数。负数比0小。

  (3) 零即不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。

  注意:

  (1) 为了强调,正数前面有时也可以加上“+”(读作正)号,例如:3、1.5也可以写作+3、+1.5。

  (2) 对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。

  例如:-a一定是负数吗?答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数,若a表示的是正数,则-a是负数;若a表示的是0,则-a仍是0;当a表示负数时,-a就不是负数了(此时-a是正数)。

  正数、负数表示

  正数和负数是根据实际需要而产生的,随着社会的发展,小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要,比如一些有相反意义的量:收入200元和支出100元、零上6和零下等等,它们不但意义相反,而且表示一定的数量,怎样表示它们呢?

  我们把一种意义的量规定为正的,把另一种和它意义相反的的量规定为负的,这样就产生了正数和负数。

  用正数和负数表示具有相反意义的量时,哪种意义为正,是可以任意选择的,但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正,而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。

  有理数

  知识点1 有理数的有关概念

  有理数:整数和分数统称为有理数。

  注:(1)有时为了研究的需要,整数也可以看作是分母为1的数,这时的分数包括整数。但是本讲中的分数不包括分母是1的分数。

  (2)因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化,上述小数都可以用分数来表示,所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。

  (3)“0”即不是正数,也不是负数,但“0”是整数。

  整数包括正整数、零、负整数。例如:1、2、3、0、-1、-2、-3等等。

  分数包括正分数和负分数,例如:1/2、0.6、-1/2、-0.6等等。

  知识点2 有理数的分类

  (1) 按整数、分数的关系分类:

  (2) 按正数、负数与0的关系分类:

  注:通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。

  如果用字母表示数,则a>0表明a是正数;a<0表明a是负数;a≥0表明a是非负数;a≤0表明a是非正数。

  知识点3 数轴

  数轴是理解有理数概念与运算的重要工具,数与表示数的图形(如数轴)相结合的思想是学习数学的重要思想。正如华罗庚教授诗云:

  数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。

  数缺形时少直觉,形少数是难入微。

  数形结合百般好,隔裂分家万事非。

  切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!

  数与形的第一次联姻——数轴,使数与直线上的点之间建立了对应关系,揭示了数与形的内在联系,并由此成为数形结合的基础。

  1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

  数轴的定义包含三层含义:

  (1) 数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;

  (2) 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度,三者缺一不可;

  (3) 原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定,都是根据实际需要“规定”的(通常取向右为正方向)。

  2.数轴的画法:

  (1) 画一条直线(一般画成水平的直线)。

  (2) 在直线上选取一点为原点,并用这点表示零(在原点下面标上“0”)。

  (3) 确定正方向(一般规定向右为正),用箭头表示出来。

  (4) 选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次表示为1,2,3……;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次表示为-1,-2,-3……

  注:

  (1) 原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取;

  (2) 确定单位长度时,根据实际情况,有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点,从原点向右,依次表示为2,4,6,……;从原点向左,依次表示为-2,-4,-6,……;

  3.数轴上的点与有理数的关系:

  所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。

  4.利用数轴比较有理数的大小:

  在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。

  知识点4 相反数

  1.相反数的定义

  (1) 相反数的几何定义:在数轴上原点的两旁,到原点距离相等的两个点所表示的数,叫做互为相反数。如,4与-4互为相反数。

  (2) 相反数的代数定义:只有符号不同的两个数(除了符号不同以外完全相同),我们说其中一个是另一个的相反数。

  2.相反数的性质:

  任何一个数都有相反数,而且只有一个。正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。

  0是唯一一个相反数等于本身的数。反之,如果a=-a,那么a一定是0.

  3.相反数的特征:

  若a与b互为相反数,则a+b=0(或a=-b)

  若a+b=0(或a=-b),则a与b互为相反数。

  4.求一个数的相反数的方法:(见书)

  5.多重符号的化简

  (1) 在一个数的前面添上一个“+”号,仍然与原数相同,如+5=5,+(-5)=-5。

  (2) 在一个数的前面添上一个“-”号,就成为原数的相反数。如-(-3)就是-3的相反数,因此,-(-3)=3。

  知识点5 绝对值的概念

  1.绝对值的几何定义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离,数a的绝对值记作“丨a丨”

  2.绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。

  知识点6 有理数大小的比较

  正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。

  利用数轴,在数轴右边的数永远大于左边的数。

  有理数的加减法

  有理数的加法

  把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

  相加的两个有理数有以下几种情况:

  (1)两数都是正数;

  (2)两数都是负数;

  (3)两数异号,即一个是正数,一个是负数;

  (4)一个是正数,一个是0;

  (5)一个是负数,一个是0;

  (6)两个都是0。

  知识点2 有理数加法法则

  (1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。

  (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

  (3)一个数同0相加,仍得这个数。

  知识点3 有理数加法的运算定律

  (1)加法交换律:a+b=b+a。

  (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

  知识点4 有理数减法法则

  减去一个数,等于加上这个数的相反数,即a-b=a+(-b)。

  知识点5 有理数的加减混合运算

  1.有理数加减法统一成加法的意义

  对于有理数的加减混合运算中的减法,可以根据有理数减法法则将减法转化为加法。

  这样一来,就将原来的混合运算统一为加法运算。统一成加法以后的式子是几个正数或负数的和的形式,有时,我们把这样的式子叫做代数和。

  2.有理数加减混合运算的方法

  (1) 运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

  (2) 运用加法法则、加法交换律、加法结合律简便运算。

  有理数的乘除法

  知识点1 有理数乘法法则

  两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。任何数同0相乘,都得0。

  知识点2 倒数的概念

  乘积是1的两个数互为倒数。

  由于a×1/a(a≠0) ,所以当a是不为0的有理数时,a的倒数是1/a。若a、b互为倒数,则ab=1。

  知识点3有理数乘法法则的推广

  (1)几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正。

  (2)几个数相乘,只要有一个因数为0,积就为0。

  知识点4 有理数乘法的运算定律

  (1)乘法交换律:ab=ba。

  (2)乘法结合律:(ab)c=a(bc)。

  (3)分配律:a(b+c)=ab+ac。

  知识点5 有理数除法法则

  (1) 除以一个数等于乘以这个数的倒数。即a÷b=a×1/b(b≠0)。

  (2) 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数,都得0。

  知识点6 有理数的乘除混合运算

  除转乘,确定符号。

  知识点7 有理数的四则混合运算

  先乘除,后加减,如果有括号,就先算括号里面的。同级运算中,要按照从左到右的顺序。

  有理数的乘方

  知识点1 有理数乘方的意义

  知识点2 有理数乘方运算的性质

  正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。0的任何次幂都是0。

  知识点3 有理数混合运算的运算顺序

  先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,就先算括号里面的。

  知识点4 科学计数法

  知识点5 研究近似数的意义

  在生产实践和实际生活中,不仅存在着大量的准确数,同时也存在着大量的近似数。近似数就是与实际接近的数。

  出现近似数的原因有两点:一是有时候不能得到完全准确的数,如太阳的半径大约是696 000千米;二是有时也没有必要弄得完全准确,如买10千克大米,有时可能多一点,有时也可能少一点。

  知识点6 有效数字

  四舍五入后的近似数,从左边第一个不为0的数字起,到精确到的数位止,所有的数字,都叫做这个数的有效数字。

  方法技巧1:在只含有乘、除法的算式中,可以由“负”号的个数确定结果的符号。“负”号有奇数个时,结果为负;“负”号有偶数个时,结果为正。

  方法技巧2:分数、小数乘除混合运算,通常把小数化为分数,带分数化为假分数。当把乘除都化成乘积的形式时,应先确定积和符号。含有多重括号,去括号的一般方法是由内向外,即依次去掉小、中、大括号,也可以由外到内。在进行混合运算时,要注意两点:一是运算顺序,二是运算符号。

  方法技巧3:灵活运用有理数的运算法则、运算律,适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

4013604