高考数学必修四模块综合检测题（含答案）
考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。下面是学习啦小编为大家整理的高考数学必修四模块综合检测题，请认真复习!
高考数学必修四模块综合检测题及答案解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2013•江西高考)若sin α2=33，则cos α=( )
A.-23 B.-13
C.13 D.23
【解析】 cos α=1-2sin2α2=1-2×332=1-23=13.
【答案】 C
2.已知向量a=(1，k)，b=(2,2)，且a+b与a共线，那么a•b的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 a+b=(3，k+2)，∵a+b与a共线，
∴k+2-3k=0，得k=1.
∴a•b=(1,1)•(2,2)=4.
【答案】 D
3.sin(x+27°)cos(18°-x)+sin(18°-x)cos(x+27°)=( )
A.12 B.-12
C.-22 D.22
【解析】 原式=sin[(x+27°)+(18°-x)]=sin 45°=22.
【答案】 D
4.下列各向量中，与a=(3,2)垂直的是( )
A.(3，-2) B.(2,3)
C.(-4,6) D.(-3,2)
【解析】 因为(3,2)•(-4,6)=3×(-4)+2×6=0，
所以选C.
【答案】 C
5.若向量a=(1,2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于( )
A.-π4 B.π6
C.π4 D.3π4
【解析】 2a+b=2(1,2)+(1，-1)=(3,3)，
a-b=(1,2)-(1，-1)=(0,3)，
(2a+b)•(a-b)=9，
|2a+b|=32，|a-b|=3.
设所求两向量夹角为α，则cos α=932×3=22，
∴α=π4.
【答案】 C
6.若α是第四象限的角，则π-α是( )
A.第一象限的角 B.第二象限的角
C.第三象限的角 D.第四象限的角
【解析】 ∵2kπ+3π2<α<2kπ+2π(k∈Z)，
∴-2kπ-3π2>-α>-2kπ-2π(k∈Z).
∴-2kπ-π2>π-α>-2kπ-π(k∈Z).故应选C.
【答案】 C
7.在△ABC中，若sin Acos B<0，则此三角形必是( )
A.锐角三角形 B.任意三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
【解析】 ∵sin Acos B<0，A、B为△ABC内角，
∴sin A>0，cos B<0.
因此π2<B<π，则△ABC为钝角三角形.
【答案】 D
8.若实数x满足log2x=3+2cos θ，则|x-2|+|x-33|等于( )
A.35-2x B.31
C.2x-35 D.2x-35或35-2x
【解析】 ∵-2≤2cos θ≤2，
∴1≤3+2cos θ≤5，
即1≤log2x≤5，
∴2≤x≤32
∴|x-2|+|x-33|=x-2+33-x=31.
【答案】 B
9.已知△ABC和点M满足MA→+MB→+MC→=0.若存在实数m使得AB→+AC→=mAM→成立，则m=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
【解析】 ∵MA→+MB→+MC→=0.
∴M为△ABC的重心.
连接AM并延长交BC于D，则D为BC的中点.
∴AM→=23AD→.
又AD→=12(AB→+AC→)，
∴AM→=13(AB→+AC→)，即AB→+AC→=3AM→，比较得m=3.
【答案】 B
10.(2013•山东高考)函数y=xcos x+sin x的图象大致为( )
【解析】 当x=π2时，y=1>0，排除C.
当x=-π2时，y=-1，排除B;或利用y=xcos x+sin x为奇函数，图象关于原点对称，排除B.
当x=π时，y=-π<0，排除A.故选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11.若tan α=3，则sin 2αcos2α的值等于________.
【解析】 sin 2αcos2α=2sin αcos αcos2α=2tan α=2×3=6.
【答案】 6
12.(2012•江西高考)设单位向量m=(x，y)，b=(2，-1).若m⊥b，则|x+2y|=________.
【解析】 设单位向量m=(x，y)，则x2+y2=1，若m⊥b，则m•b=0，即2x-y=0，解得x2=15，所以|x|=55，|x+2y|=5|x|=5.
【答案】 5
13.要得到函数y=3cos(2x-π2)的图像，可以将函数y=3sin(2x-π4)的图像沿x轴向____平移____个单位.
【解析】 y=3sin(2x-π4)――→向左平移π8y=3sin 2x=3cos(2x-π2).
【答案】 左 π8
14.已知向量OA→=(k,12)，OB→=(4,5)，OC→=(10，k)，若A、B、C三点共线，则实数k=________.
【解析】 AB→=(4-k，-7)，BC→=(6，k-5)，
∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，
∴(4-k)(k-5)-(-7)×6=0，
即k=-2或11.
【答案】 -2或11
图1
15.如右图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P在斜坐标系中的斜坐标是这样定义的：若OP→=xe1+ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴方向相同的单位向量)，则P点的斜坐标为(x，y).若P点的斜坐标为(3，-4)，则点P到原点O的距离|PO|=________.
【解析】 由点的斜坐标的定义可知OP→=3e1-4e2，
∵OP→2=9e21-24e1•e2+16e22
=9|e1|2-24|e1||e2|×cos 60°+16|e2|2
=9-24×12+16=13.
∴|OP→|2=13，即|OP→|=13.
故点P到原点O的距离|PO|=13.
【答案】 13
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)(1)已知|a|=4，|b|=3，且(a+2b)•(a-3b)=0，求a•b;
(2)已知a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2.如果a+kb与5a+b互相垂直，求实数k的值.
【解】 (1)∵(a+2b)•(a-3b)
=a2-a•b-6b2
=|a|2-a•b-6|b|2
=16-a•b-54=0，
∴a•b=-38.
(2)由题意a•b=|a|•|b|•cos 120°
=4×2×(-12)=-4.
∵(a+kb)⊥(5a+b)，
∴(a+kb)•(5a+b)=0，
即5a2+(5k+1)a•b+kb2=0，
∴5|a|2+(5k+1)•(-4)+k•|b|2=0.
∴5×16-(20k+4)+4k=0，∴k=194.
17.(本小题满分12分)已知平面直角坐标系内的Rt△ABC，∠A=90°，A(-2，-1)，C(2,5)，向量BC→上的单位向量a=(513，-1213)，P在CB上，且CP→=λCB→.
(1)求点B坐标;
(2)当AP分别为三角形的中线、高线时，求λ的值及对应中点、垂足的坐标.
【解】 (1)设B(x，y)，CB→=(x-2，y-5).
又CB→=λa，
∴(x-2，y-5)=λ(513，-1213).故x=2+513λ，y=5-1213λ，
∴B(2+513λ，5-1213λ).
AB→=(4+513λ，6-1213λ)，AC→=(4,6).
由AB→•AC→=(4+513λ，6-1213λ)•(4,6)=0，得λ=13.
故点B(7，-7).
(2)若P是BC的中点，则CP→=12CB→，
∴λ=12，此时，点P的坐标为(2+72，5-72)，即(92，-1).
若AP是BC边的高，则AP→⊥CB→.
∴(AC→+CP→)•CB→=0，
即AC→•CB→+λCB→•CB→=0.
又CB→=(5，-12)，
代入上式有(4,6)•(5，-12)+λ(5，-12)•(5，-12)=0.
解之，得λ=413.
设此时点P(m，n).
∵CP→=λCB→，即CP→=413CB→，
∴(m-2，n-5)=413(5，-12).
∴m-2=413×5，n-5=413×-12，
即m=4613，n=1713.
∴P(4613，1713).
图2
18.(本小题满分12分)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大?并求出这个最大面积.
【解】 在直角三角形OBC中，OB=cos α，BC=sin α，
在直角三角形OAD中，DAOA=tan 60°=3，
所以OA=33DA=33sin α，
AB=OB-OA=cos α-33sin α.
设矩形ABCD的面积为S，则
S=AB•BC=(cos α-33sin α)sin α
=sin αcos α-33sin2α
=12sin 2α-36(1-cos 2α)
=12sin 2α+36cos 2α-36
=13(32sin 2α+12cos 2α)-36
=13sin(2α+π6)-36.
因为0<α<π3，
所以当2α+π6=π2，
即α=π6时，S最大=13-36=36.
因此，当α=π6时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为36.
19.(本小题满分13分)(2012•湖南高考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R，ω>0,0<φ<π2)的部分图像如图所示.
图3
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=f(x-π12)-f(x+π12)的单调递增区间.
【解】 (1)由题设图像知，周期T=2(11π12-5π12)=π，
所以ω=2πT=2.
因为点(5π12，0)在函数图像上，所以Asin(2×5π12+φ)=0，
即sin(5π6+φ)=0.
又因为0<φ<π2，
所以5π6<5π6+φ<4π3.
从而5π6+φ=π，即φ=π6.
又点(0,1)在函数图像上，所以Asin π6=1，解得A=2.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+π6).
(2)g(x)=2sin[2(x-π12)+π6]-2sin[2(x+π12)+π6]
=2sin 2x-2sin(2x+π3)=2sin 2x-2(12sin 2x+32cos 2x)=sin 2x-3cos 2x=2sin(2x-π3).
由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，得kπ-π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z.
所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ-π12，kπ+5π12]，k∈Z.
20.(本小题满分12分)(2013•湖南高考)已知函数f(x)=cos x•cosx-π3.
(1)求f2π3的值;
(2)求使f(x)<14成立的x的取值集合.
【解】 (1)f2π3=cos2π3•cosπ3
=-cosπ3•cosπ3
=-122=-14.
(2)f(x)=cos xcosx-π3
=cos x•12cos x+32sin x
=12cos2 x+32sin xcos x
=14(1+cos 2x)+34sin 2x
=12cos2x-π3+14.
f(x)<14等价于12cos2x-π3+14<14，
即cos2x-π3<0.
于是2kπ+π2<2x-π3<2kπ+3π2，k∈Z.解得kπ+5π12<x<kπ+11π12，k∈Z.
故使f(x)<14成立的x的取值集合为
{x|kπ+5π12<x<kπ+11π12，k∈Z}.
21.(本小题满分13分)(2012•北京高考)已知函数f(x)=sin x-cos xsin 2xsin x.
(1)求f(x)的定义域及最小正周期;
(2)求f(x)的单调递增区间.
【解】 (1)由sin x≠0得x≠kx(k∈Z)，
故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}.
因为f(x)=sin x-cos xsin 2xsin x
=2cos x(sin x-cos x)
=sin 2x-cos 2x-1
=2sin(2x-π4)-1，
所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.
(2)函数y=sin x的单调递增区间为[2kπ-π2，2kπ+π2](k∈Z).
由2kπ-π2≤2x-π4≤2kπ+π2，x≠kπ(k∈Z)，
得kπ-π8≤x≤kx+3π8，x≠kx(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间为[kπ-π8，kπ)和(kπ，kπ+3π8](k∈Z).
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