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2017年高考数学对数函数必考知识点

学习啦【高三数学】 编辑:舒雯 发布时间:2016-12-06

  高考数学所考的知识点比较多,为了方便同学们更好、更准高效学习高中数学,以下是学习啦小编为您整理的关于2017年高考数学对数函数必考知识点的相关资料,希望对您有所帮助。

  高考数学必考知识点:对数定义

  如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数。

  注:1、以10为底的对数叫做常用对数,并记为lg。

  2、称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数,并记为ln。

  3、零没有对数。

  4、在实数范围内,负数无对数。在复数范围内,负数是有对数的。

  高考数学必考知识点:对数公式

  高考数学必考知识点:对数函数定义

  一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

  其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)。它实际上就是指数函数的反函数,可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

  高考数学必考知识点:对数函数性质

  定义域求解:对数函数y=logax的定义域是{x丨x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需同时满足x>0且x≠1和2x-1>0,得到x>1/2且x≠1,即其定义域为{x丨x>1/2且x≠1}

  值域:实数集R,显然对数函数无界。

  定点:函数图像恒过定点(1,0)。

  单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数;

  奇偶性:非奇非偶函数

  周期性:不是周期函数

  对称性:无

  最值:无

  零点:x=1

  注意:负数和0没有对数。

  两句经典话:底真同对数正,底真异对数负。解释如下:

  也就是说:若y=logab (其中a>0,a≠1,b>0)

  当a>1,b>1时,y=logab>0;

  当01时,y=logab<0;

  当a>1,0

  对数的基本性质及推导过程

  基本性质:

  1、a^(log(a)(b))=b

  2、log(a)(a^b)=b

  3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);

  4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N);

  5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

  6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M)

  推导

  1、因为n=log(a)(b),代入则a^n=b,即a^(log(a)(b))=b。

  2、因为a^b=a^b

  令t=a^b

  所以a^b=t,b=log(a)(t)=log(a)(a^b)

  3、MN=M×N

  由基本性质1(换掉M和N)

  a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N)

  由指数的性质

  a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}

  两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)

  4、与(3)类似处理

  MN=M÷N

  由基本性质1(换掉M和N)

  a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)]

  由指数的性质

  a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N)

  5、与(3)类似处理

  M^n=M^n

  由基本性质1(换掉M)

  a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n

  由指数的性质

  a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}

  又因为指数函数是单调函数,所以

  log(a)(M^n)=nlog(a)(M)

  基本性质4推广

  log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]

  推导如下:

  由换底公式(换底公式见下面)[lnx是log(e)(x),e称作自然对数的底]

  log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

  换底公式的推导:

  设e^x=b^m,e^y=a^n

  则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y

  x=ln(b^m),y=ln(a^n)

  得:log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n)

  由基本性质4可得

  log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]}

  再由换底公式

  log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)]
 

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