高三数学导数的运算知识点

　　导数在高中数学中占有重要的地位，因此对导数知识点的掌握就至关重要，下面是学习啦小编给大家带来的高三数学导数的运算知识点，希望对你有帮助。

　　数学导数的运算知识点

　　第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

　　在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

　　第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。

　　对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

　　第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。

　　在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

　　第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。

　　抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。

　　第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<>

　　第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。

　　因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

　　第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。

　　解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

　　第八、导数与极值关系不清考生在使用导数求函数极值类问题时，容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，却没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点，往往就会出错，出错原因就是考生对导数与极值关系没搞清楚。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，小编在此提醒广大考生，在使用导数求函数极值时，一定要对极值点进行仔细检查。

　　高三数学导数的运算典例精析

　　题型一　求常见函数的定积分

　　【例1】 计算下列定积分的值.

　　(1) (x-1)5dx;

　　(2) (x+sin x)dx.

　　【解析】(1)因为[16(x-1)6]′=(x-1)5，

　　所以 (x-1)5dx= =16.

　　(2)因为(x22-cos x)′=x+sin x，

　　所以 (x+sin x)dx= =π28+1.

　　【点拨】(1)一般情况下，只要能找到被积函数的原函数，就能求出定积分的值;

　　(2)当被积函数是分段函数时，应对每个区间分段积分，再求和;

　　(3)对于含有绝对值符号的被积函数，应先去掉绝对值符号后积分;

　　(4)当被积函数具有奇偶性时，可用以下结论：

　　①若f(x)是偶函数 时，则 f(x)dx=2 f(x)dx;

　　②若f(x)是奇函数时，则 f(x)dx=0.

　　【变式训练1】求 (3x3+4sin x)dx.

　　【解析】 (3x3+4sin x)dx表示直线x=-5，x=5，y=0和曲线 y=3x3+4sin x所围成的曲边梯形面积的代数和，且在x轴上方 的面积取正号，在x轴下方的面积取负号.

　　又f(-x)=3(-x)3+4sin(-x)

　　=-(3x3+4sin x)=-f(x).

　　所以f(x)=3x3+4sin x在[-5,5]上是奇函数，

　　所以 (3x3+4sin x)dx=- (3x3+4sin x)dx，

　　所以 (3x3+4sin x)dx= (3x3+4sin x)dx+ (3x3+4sin x)dx=0.

　　题型二　利用定积分计算曲边梯形的面积

　　【例2】求抛物线y2=2x与直线y=4-x所围成的平面图形的面积.

　　【解析】方法一：如图，

　　由

　　得交点A(2,2)，B(8，-4)，

　　则S= [2x-(-2x)]dx+ [4-x-(-2x)]dx

　　= +

　　=163+383=18.

　　方法二：S= [(4-y)-y22]dy

　　= =18.

　　【点拨】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可使计算简捷，在以y为积分变量时，应注意将曲线方程变为x=φ(y)的形式，同时，积分上、下限必须对应y的取值.

　　【变式训练2】设k 是一个正整数，(1+xk)k的展开式中x3的系数为116，则函数y=x2与y=kx-3的图象所围成的阴影部分(如图)的面积为　　　　.

　　【解析】Tr+1=Crk(xk)r，令r=3，得x3的系数为C3k1k3=116，解得k=4.由 得函数y=x2与y=4x-3的图象的交点的横坐标分别为1,3.

　　所以阴影部分的面积为S= (4x-3-x2)dx=(2x2-3x- =43.

　　题型三　定积分在物理中的应用

　　【例3】 (1) 变速直线运动的物体的速度为v (t)=1-t2，初始位置为x0=1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置;

　　(2)一物体按规律x=bt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方，试求物体由x=0运动到x=a时阻力所做的功.

　　【解析】(1)当0≤t≤1时，v(t)≥0，当1≤t≤2时，v(t)≤0，所以前2秒内所走过的路程为

　　s= v(t)dt+ (-v(t))dt

　　= (1-t2)dt+ (t2-1)dt

　　= + =2.

　　2秒末所在的位置为

　　x1=x0+ v(t)dt=1+ (1-t2)dt=13.

　　所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x1=13.

　　(2) 物体的速度为v=(bt3)′=3bt2.

　　媒质阻力F阻=kv2=k(3bt2)2=9kb2t4，其中k为比例常数，且k>0.

　　当x=0时，t=0;

　　当x=a时，t=t1=(ab) ，

　　又ds=vdt，故阻力所做的功为

　　W阻= ds = kv2•vdt=k v3dt

　　= k (3bt 2)3dt=277kb3t71 = 277k3a7b2.

　　【点拨】定积分在物理学中的应用应注意：v(t)= a(t)dt，s(t)= v(t)dt和W= F(x)dx这三个公式.

　　【变式训练3】定义F(x，y)=(1+x)y，x，y∈(0，+∞).令函数f(x)=F[1，log2(x2-4x+9)]的图象为曲线C1，曲线C1与y轴交于点A(0，m)，过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n>0)，设曲线C1在点A，B之间的曲线段与线段OA，OB所围成图形的面积为S，求S的值.

　　【解析】因为F(x，y)=(1+x)y，所以f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))= =x2-4x+9，故A(0,9)，又过坐标原点O向曲线C1作切线，切点为B(n，t)(n>0)，f′(x)=2x-4.

　　所以 解得B(3,6)，

　　所以S= (x2-4x+9-2x)dx=(x33-3x2+9x) =9.