兰州一中高三8月月考文理科数学试卷(2)
兰州一中高三8月月考文理科数学试卷
兰州一中高三8月月考理科数学试卷
一、选择题(本题共12个小题,每小题只有一个正确答案, 每小题5分,共60分)
1. 已知集合，，则( ).
A. B. C. D.
2. 若，且，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知是等差数列，,则 ( )
A.190 B.95 C .170 D.85
4.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第2天走了( ) A.192里 B.96里 C.48里 D.24里
5.设变量x、y满足约束条件，则的最大值为( )
A. 22 B. 20 C.18 D. 16
6我校秋季田径运动会举行期间需要若干学生志愿者. 若将6名志愿者每2人一组，分派到3个不同的场地，则甲、乙两人必须分在同组的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.16
B.20
C.24
D.32
8.在△中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且满足,则的最大值是( )
A. B. C. D. 2
9.,函数f(x)=的零点所在的区间是( )
A. (-2,-1) B. (-1,0) C. (0,1) D. (1,2)
10.过双曲线的右焦点作圆的切线(切点为)，交轴于点,若为线段的中点，则双曲线的离心率是( )
A . 2 B. C. D.
11.已知函数在定义域R内可导，若且>0，记，则a、b、c的大小关系是( )
A. B. C. D.
12.函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数;②存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“优美函数”，若函数是“优美函数”，则t的取值范围为( )
A. (0，1) B. C. D. (0，)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).
13.右图给出的是计算
的值的一个程序框图，判断其中框内应填入
的条件是 ;
14.已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-,其中i=-1，则展开式中常数项是 ;
15.在平面上“等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值”，类比猜想为：
;
16. 在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为_______________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在中，角、、的对边分别为、、，.(Ⅰ)求角的大小;
(Ⅱ)若，，求的值.
18.(本小题满分12分)2017年3月智能共享单车项目正式登陆某市，两种车型(“小绿车”、 “小黄车”)采用分时段计费的方式，“小绿车”每30分钟收费0.5元 (不足30分钟的部分按30分钟计算);“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).有甲、乙、丙三人相互独立的到租车点租车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，三人租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”，丙租用“小黄车”.
(I)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;
(Ⅱ)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.
19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)若，求二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分)已知椭圆：(a>b>0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线：与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求的值.
21.(本小题满分12分)
已知函数为自然对数的底数).
(1)求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间，若F(x)有最值，请求出最值;
(2)是否存在正常数，使f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切线?若存在，求出的值，以及公共点坐标和公切线方程;若不存在，请说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)《选修4-4：坐标系与参数方程》
在直角坐标系中, 过点作倾斜角为的直线与曲线相交于不同的两点.
写出直线的参数方程;
(2) 求 的取值范围.
23.(本小题满分10分)《选修4—5：不等式选讲》
已知a+b=1，对，b∈(0，+∞)，+≥|2x-1|-|x+1|恒成立，
(1)求+的最小值;
(2)求的取值范围。
兰州一中2018届高三8月月考理科数学参考答案
一、选择题：(本大题共12个小题;每小题5分，共60分)
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 D B A B C A B A C B C D 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. i>10 14. 45
15. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 16.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)由，得. .......................................3分
∴ ∵， ∴. ..........................................6分
(Ⅱ)由正弦定理,得. .........................................9分
∵, ,
∴. ∴. ............................................11分
∴. ...........................................12分
18.(本小题满分12分)
解：(I)由题意得，甲乙丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为
记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.
则
答：甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率为.................................4分
(Ⅱ)可能取值有2, 2.5， 3, 3.5， 4
; ;
;
................................................................................................................9分
甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为
....................................................................................11分
所以 .....................................12分
19.(本小题满分12分) 解：(Ⅰ)证明：因为四边形是菱形，所以.
又因为平面,所以.
又,所以⊥平面.
又平面，所以 ………………6分
(Ⅱ)解：依题意,知
平面平面，交线为，
过点作，垂足为，则平面.
在平面内过作，垂足为，连,
则⊥平面，所以为二面角
的一个平面角 . ………………9分
∵，,
∴, . ………………10分
又，故. 所以. ………………11分
∴.
即二面角的余弦值为. ………………12分
20.(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)由题意，可得 ， 即,
又，即所以，，，
所以，椭圆的方程为. ………4分
(Ⅱ)由 消去得. ……5分
设，，有，. ① ……6分
因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以 . ...............…7分
由 ，,得 .……8分
将代入上式，
得 , ………………………10分
将 ① 代入上式，解得 ，或………………………………12分
21.(本小题满分12分)
解：(1)................................................................1分
当时，恒成立，在上是增函数，只有一个单调递增区间，没有最值.....................................................................................2分
当时，
若则，在上是减函数，
若则，在上是增函数，
所以当时，有极小值，也是最小值.
.........................................................6分
(2)若f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，
则方程有且只有一解，所以函数F(x)有且只有一个零点…… 7分
由(Ⅰ)的结论可知 ………… 8分
此时，，
∴∴f(x)与g(x)的图象的唯一公共点坐标为
又，∴f(x)与g(x)的图象在点处有共同的切线，
其方程为，即
综上所述，存在，使的图象有且只有一个公共点，且在该点处的公切线方程为....................................................................................... 12分
22.解：(Ⅰ) 为参数................ 4分
(Ⅱ) 为参数)代入，得
，
…10分
23.解：(Ⅰ)∵且， ∴ ，
当且仅当，即，时，取最小值9............5分
(Ⅱ)因为对，使恒成立，
所以， ∴ 的取值范围为..............10分
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