2017年高考全国Ⅲ卷理数试题和答案
2017年高考全国Ⅲ卷理数试题和答案
数学的学习离不开做题，在复习的阶段更是需要多做试卷，下面是学习啦小编给大家带来的有关于高考全国卷的理数试卷介绍 ，希望能够帮助到大家。
2017年高考全国Ⅲ卷理数试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
2.设复数z满足(1+i)z=2i，则z∣=
A. B. C. D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D.各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4.(+)(2-)5的展开式中33的系数为
A.-80 B.-40 C.40 D.80
5.已知双曲线C： (a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A. B. C. D.
6.设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A.f(x)的一个周期为−2π B.y=f(x)的图像关于直线x=对称
C.f(x+π)的一个零点为x= D.f(x)在(,π)单调递减
7.执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为
A.5 B.4 C.3 D.2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A. B. C. D.
9.等差数列的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为
A.-24 B.-3 C.3 D.8
10.已知椭圆C：，(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为
A. B. C. D.
11.已知函数有唯一零点，则a=
A. B. C. D.1
12.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= +，则+的最大值为
A.3 B.2 C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，满足约束条件，则的最小值为__________.
14.设等比数列满足a1 + a2 = –1, a1 – a3 = –3，则a4 = ___________.
15.设函数则满足的x的取值范围是_________。
16.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角;
当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角;
直线AB与a所称角的最小值为45°;
直线AB与a所称角的最小值为60°;
其中正确的是________。(填写所有正确结论的编号)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2.
(1)求c;
(2)设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积.
18.(12分)
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶;如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值?
19.(12分)
如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，ABD=∠CBD，AB=BD.WWW.ziyuanku.com
(1)证明：平面ACD平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
20.(12分)
已知抛物线C：y2=2x，过点(2,0)的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明：坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4，-2)，求直线l与圆M的方程.
21.(12分)
已知函数 =x﹣1﹣alnx.
(1)若 ，求a的值;
(2)设m为整数，且对于任意正整数n，﹤m，求m的最小值.
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22.选修44：坐标系与参数方程(10分)
在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosWWW.ziyuanku.comθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径.
23.选修45：不等式选讲(10分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空，求m的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题正式答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D
7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A
二、填空题
13. -1 14. -8 15. 16. ②③
三、解答题
17.解：
(1)由已知得 tanA=
在 △ABC中，由余弦定理得
(2)有题设可得
故△ABD面积与△ACD面积的比值为
又△ABC的面积为
18.解：
(1)由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知
.
因此的分布列为
0.2 0.4 0.4 中·华.资*源%库 ziyuanku.com⑵由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑
当时，
若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n
若最高气温位于区间，则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n
当时，
若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;
若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n;
因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。
19.解：
(1)由题设可得，
又是直角三角形，所以
取AC的中点O，连接DO,BO,则DO⊥AC,DO=AO
又由于
所以
(2)
由题设及(1)知，两两垂直，以$来&源：ziyuanku.com的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得E.故
设是平面DAE的法向量，则
可取
设是平面AEC的法向量，则同理可得
则
所以二面角D-AE-C的余弦值为
20.解
(1)设
由可得
又=4
因此OA的斜率与OB的斜率之积为
所以OAOB
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得
故圆心M的坐标为，圆M的半径
由于圆M过点P(4，-2)，因此,故
即
由(1)可得，
所以，解得
当m=1时，直线l的方程为x-y-2=0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为
当时，直线l的方程为，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为
21.解：(1)的定义域为.
①若，因为，所以不满足题意;
②若，由知，当时，;当时，，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点.
由于，所以当且仅当a=1时，.
故a=1
(2)由(1)知当时，
令得，从而
故
而，所以m的最小值为3.
22.解：
(1)消去参数t得l1的普通方程
设P(x,y),由题设得，消去k得.
所以C的普通方程为
(2)C的极坐标方程为
联立得.
故，从而
代入得，所以交点M的极径为.
23.解：
(1)
当时，无解;
当时，由得，，解得
当时，由解得.
所以的解集为.
(2)由得，而
且当时，.
故m的取值范围为
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