高三理科第一学期数学期中试卷
对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳，今天小编就给大家分享一下高三数学，一起来学习吧
关于高三上学期数学期中试卷
第Ⅰ卷
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1.设集合U={x|x<5，x∈N*}，M={x|x2-5x+6=0}，则∁UM=
A.{1，4} B.{1，5} C.{2，3} D.{3，4}
2.复数2+i1-2i的共轭复数是( ).
A.-35i B.35i C.-i D.i
3.在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2+4x+2=0的两根，则a5的值是
A.-2 B.-2 C.±2 D.2
4.已知双曲线x24-y2b2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A.5 B.42
C.3 D.5
5.阅读如右图所示的程序框图，输出的S值为
A.0 B.1+2
C.1+22 D.2-1
6.若sin α+cos αsin α-cos α=12，则tan 2α=
A.-34 B.34 C.-43 D.43
7.若 ，则下列结论正确的是
A. B.
C. D.
8.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为
A.14+22 B.14+23
C.18 D.20
9.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为
A.22 B.23 C.36 D.26
10.点 在椭圆 上， ， 是椭圆的两个焦点， ，且 的三条边 ， ， 成等差数列，则此椭圆的离心率是
A. B. C. D.
11.在△ABC中，|AB→+AC→|=3|AB→-AC→|，|AB→|=|AC→|=3，则CB→•CA→的值为
A.3 B.-3 C.-92 D.92
12.已知函数 ， ，如果对于任意的 ， ，都有 成立，则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则a= .
14.P为曲线y=ln x上的一动点，Q为直线y=x+1上的一动点，则|PQ|的最小值是 .
15.若不等式组x+y-2≤0，x+2y-2≥0，x-y+2m≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m的值为 .
16.已知函数f(n)=n2，当n为正奇数时，-n2，当n为正偶数时，且an=f(n)+f(n+1)，则a1+a2+a3+…+a100等于 .
三.解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本题满分12分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin2A+sinAsinB-6sin2B=0.
(1)求ab的值;
(2)若cosC=34，求sinB的值.
18.(本题满分12分)
某市需对某环城快速车道进行限速，为了调研该道路车速情况，于某个时段随机对100辆车的速度进行取样，测量的车速制成如下条形图：
经计算样本的平均值μ=85，标准差σ=2.2，以频率值作为概率的估计值.已知车速过慢与过快都被认为是需矫正速度，现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正速度.
(1)从该快速车道上所有车辆中任取1个，求该车辆需矫正速度的概率;
(2)从样本中任取2辆车，求这2辆车均需矫正速度的概率;
(3)从该快速车道上所有车辆中任取2个，记其中需矫正速度的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
19.(本题满分12分)
如图，四边形 为菱形， ， 平面 ，
为 中点.
(1)求证：平面 平面 ;
(2)求平面 与平面 所成二面角(锐角)的余弦值.
20.(本题满分12分)
已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(1，32)在椭圆E上，且|PF1|+|PF2|=4.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1⊥l2，问是否存在常数λ，使得1|AC|，λ，1|BD|成等差数列?若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.
21.(本题满分12分)
已知函数f(x)=sin x-xcos x(x≥0).
(1)求函数f(x)在区间[0，2π]上的最大值;
(2)若对任意x∈(0，+∞)，不等式f(x)
请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.
22.(本题满分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ，θ∈0，π2.
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=3x+2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标.
23.(本题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】
已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式|x-1|
(2)已知m+n=1(m，n>0)，若|x-a|-f(x)≤1m+1n(a>0)恒成立，求实数a的取值范围.
答案
一.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B A B B A D D D D C
二.
题号 13 14 15 16
答案 -1 2
1 100
三.
17.解 (1)因为sin2A+sinAsinB-6sin2B=0，sinB≠0，
所以sinAsinB2+sinAsinB-6=0，得sinAsinB=2或sinAsinB=-3(舍去).
由正弦定理得ab=sinAsinB=2.
(2)由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=34.①
将ab=2，即a=2b代入①，得5b2-c2=3b2，
得c=2b.
由余弦定理cosB=a2+c2-b22ac，得
cosB=2b2+2b2-b22×2b×2b=528，
则sinB=1-cos2B=148.
18.解：(1)记事件A为“从该快速车道上所有车辆中任取1个，该车辆需矫正速度”.
因为μ-3σ=78.4，μ+2σ=89.4，
由样本条形图可知，所求的概率为P(A)=P(X<μ-3σ)+P(X>μ+2σ)=P(X<78.4)+P(X>89.4)=1100+4100=120.
(2)记事件B为“从样本中任取2辆车，这2辆车均需矫正速度”.
由题设可知样本容量为100，又需矫正速度的个数为5辆车，
故所求概率为P(B)=C25C2100=1495.
(3)需矫正速度的个数ξ服从二项分布，即ξ～B2，120，
∴P(ξ=0)=C02120019202=361400，
P(ξ=1)=C12120119201=19200，
P(ξ=2)=C22120219200=1400，
因此ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 361400
19200
1400
∴数学期望E(ξ)=2×120=110.
19.(1)证明：如图3，连接AC交BD于O点，连接EO，
∵四边形ABCD是菱形， ，
∵E为PC中点，
，
平面ABCD， 平面ABCD，
平面BED，
∴平面 平面ABCD. ………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)解：∵四边形ABCD是菱形，
，
平面ABCD，
， ，
如图4，建立空间直角坐标系 ， …………………………………………(8分)
∵y轴⊥平面BED，
∴平面BED的法向量为 .
设F为AB中点，连接CF，菱形ABCD的边长为 ，
则 ， 平面PAB，
∴平面PAB的法向量为 ，
，
∴平面PBA与平面EBD所成二面角(锐角)的余弦值为 . ……………(12分)
20.解 (1)∵|PF1|+|PF2|=4，
∴2a=4，a=2.
∴椭圆E：x24+y2b2=1.
将P(1，32)代入可得b2=3，
∴椭圆E的方程为x24+y23=1.
(2)①当AC的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|+1|BD|=13+14=712;
②当AC的斜率k存在且k≠0时，AC的方程为y=k(x+1)，
代入椭圆方程x24+y23=1，并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.
设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
则x1+x2=-8k23+4k2，x1•x2=4k2-123+4k2.
|AC|=1+k2|x1-x2|
=1+k2[x1+x22-4x1x2]=121+k23+4k2.
∵直线BD的斜率为-1k，
∴|BD|=12[1+-1k2]3+4-1k2=121+k23k2+4.
∴1|AC|+1|BD|=3+4k2121+k2+3k2+4121+k2=712.
综上，2λ=1|AC|+1|BD|=712，
∴λ=724.
故存在常数λ=724，使得1|AC|，λ，1|BD|成等差数列.
21.解：(1)∵f′(x)=xsin x，
∴0
∴f(x)在[0，π]上是增函数，在[π，2π]上是减函数
∴f(x)max=f(π)=π
(2)f(x)
令g(x)=sin x-xcos x-ax3，
则g′(x)=xsin x-3ax2=x(sin x-3ax)，
又令h(x)=sin x-3ax，
则h′(x)=cos x-3a.
①当3a≤-1，即a≤-13时，h′(x)≥0恒成立，
∴h(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴h(x)>h(0)=0，∴g′(x)>0，
∴g(x)在(0，+∞)上单调递增，
∴g(x)>g(0)=0(不合题意).
②当3a≥1，即a≥13时， h′(x)≤0，
∴h(x)在(0，+∞)上单调递减，
∴h(x)
∴g(x)在(0，+∞)上单调递减，
∴g(x)
③当-1<3a<1，即-13
∴在(0，π)上，∃x0使h′(x0)=0，
且x∈(0，x0)时，h′(x)>0⇒g′(x)>0，∴g(x)在(0，x0)上单调递增，
∴存在g(x)>g(0)=0(不符合题意)，
综上，a的取值范围为13，+∞.
22.解 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).
可得C的参数方程为x=1+cos t，y=sin t(t为参数，0≤t≤π). 4分
(2)设D(1+cos t，sin t)，由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直，
所以直线CD与l的斜率相同，tan t=3，t=π3. 8分
故D的直角坐标为1+cos π3，sin π3，
即32，32. 10分
23.解 (1)依题设，得|x-1|<|3x+2|，
所以(x-1)2<(3x+2)2，则x>-14或x<-32，
故原不等式的解集为xx>-14或x<-32.4分
(2)因为m+n=1(m>0，n>0)，
所以1m+1n=(m+n)1m+1n=2+mn+nm≥4，
当且仅当m=n=12时，等号成立.
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|
=2x+2+a，x<-23，-4x-2+a，-23≤x≤a，-2x-2-a，x>a， 8分
则x=-23时，g(x)取得最大值23+a，
要使不等式恒成立，只需g(x)max=23+a≤4.
解得a≤103.
又a>0，因此0
高三数学上学期期中联考试卷
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一. 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1. 已知集合 ，集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( )
A.1009 B.1010 C.2018 D.2019
3. 设函数 则 ( )
A.2 B.4 C.8 D.16
4. 下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”.
B.命题 ： ，使得 ;命题 ： ，都有 ;则命题 为真.
C.命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”.
D.命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题.
5. 已知 ，若 ，则 的值为( )
A. B. C. D.
6. 如右图，正六边形ABCDEF中， 的值为18，则此正六边形的边长为( )
A.2 B. C.3 D.
7. 角 是△ 的两个内角.下列六个条件中，“ ”的充分必要条件的个数是 ( )
① ; ② ; ③ ;
④ ; ⑤ ; ⑥ .
A. B. C. D.
8. “今有垣厚二丈二尺半，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增半尺，小鼠前三日日倍增，后不变，问几日相逢?”意思是“今有土墙厚22.5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞长度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞按第三天长度保持不变，问两鼠几天打通相逢?”两鼠相逢最快需要的天数为( )
A.4 B.5 C. 6 D.7
9.函数 的图象大致为( )
A B C D
10.已知函数 在区间 为单调函数，则 的最大值是( )
A. B. C. D.
11. 在 中, , 是 的内心,若 ,其中 ,动点 的轨迹所覆盖的面积为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数 (x>2)，若 恒成立，则整数k的最大值为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)
13.已知 则 。
14. 函数 的对称中心 ， ，则数列 的前 项和是 。
15. 如图,矩形 的三个顶点 、 、 分别在函数 的图象上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点 的纵坐标为 ,则点 的坐标为________.
16 . 函数 的定义域和值域均为 ， 的导函数为 ，且满足 ，则
的取值范围是____________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
已知幂函数 经过点
(1)求 的值;
(2)是否存在实数 与 ，使得 在区间 上的值域为 ，若存在，求出 与 的值，
若不存在，说明理由.
18. (本小题满分12分)
已知函数
(1)求函数 的最小正周期与单调增区间;
(2)设集合 ,若 ,求实数 的取值范围
19. (本小题满分12分)
设数列 是公比大于 的等比数列， 是其前 项和,已知 ,且 构成等差数列
(1)求数列 的通项;
(2)令 求数列 的前 项和 .
20.(本小题满分12分)
已知 的内角 的对边分别为 ,且2acosC+c=2b.
(1)若点 在边 上,且 ,求 的面积;
(2)若 为锐角三角形,且 ,求 的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知函数 的图像过点 ，且在 处取得极值。
(1)若对任意 有 恒成立,求实数 的取值范围;
(2)当 ,试讨论函数 的零点个数.
22.(本小题满分12分)
已知函数 ( 为常数)，曲线 在与 轴的交点A处的切线与 轴平行.
(1)求 的值及函数 的单调区间;
(2)若存在不相等的实数 使 成立，试比较 与 的大小.
高三数学(理科)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D A B D C D B C B C A B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.
..............................................4分
..............................5分
................6分
.......................8分
解得
故存在 满足题意。....................10分
18.
.....................................................3分
函数 的最小正周期 ......................4分
由 得
函数 的单调递增区间为 .............6分
(2)由 即 ........7分
∵
当 时,不等式 恒成立
.................................................................8分
∵ .............................10分
..................................................................................12分
19.(1) 由已知得 .....................1分
设数列 的公比为 ,由 可得 又 , .........2分
所以 即 .解得 或 ...............4分
∵ ,∴ 故数列 的通项为 .................5分
(2) 由(1)得 . ..................6分
①...............................7分
②...................................................................8分
①-②得 .................................................11分
................................................................................12分
20.(1)2acosC+c=2b，由正弦定理，
得2sinAcosC+sinC=2sinB=2sin(A+C)=2sinAcosC+2cosAsinC，
∴sinC=2cosAsinC。
∵0
又0
又由 ,得 .................................................3分
∴由正弦定理可知 ,即
,............................................................4分
由余弦定理有 ,则 ....................................................5分
..............................................................6分
(2)由 知, ,得 ......................7分
又∵
, ...................................................................................8分
由正弦定理 ,
则 ............................................................................9分
,
由 为锐角三角形,则 ,得 ..............11分
,即 的取值范围为 ..................12分
21.(1)∵点 在函数 图像上,
∴ ,∴ . .......................................1分
∵ ,由题意 , ∴ .∴ . ......2分
∴ . 当 时, , 时, ,
∴ 在 为增函数， 为减函数. ..................4分
∵ . .........................5分
∴ ,即实数 的取值范围为 ..............6分
(2) 的定义域为 ,
∴ .∴ .......7分
令 ,得 .
增 极大 减 极小 增
而 ,............................9分
∴当 即 函数有3个零点.....10分
当 即 函数有2个零点......11分
当 即 函数有1个零点......12分
22.解：(1)由 ，
得 .且 与 轴交于A(0.0)................................1分
，所以 ，........................................................2分
所以 , .
由 >0，得x>ln 2..............................................................3分
所以函数 在区间(-∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，+∞)上单调递增................5分
(2)证明：设x>ln 2，所以2ln 2-x
(2ln 2-x)=e(2ln 2-x)-2(2ln 2-x)-1
=4ex+2x-4ln 2-1.
令g(x)= (x)- (2ln 2-x)=ex-4ex-4x+4ln 2(x≥ln 2)，
所以g′(x)=ex+4e-x-4≥0，
当且仅当x=ln 2时，等号成立，
所以g(x)= (x)- (2ln 2-x)在(ln 2，+∞)上单调递增....................8分
又g(ln 2)=0，所以当x>ln 2时，g(x)= (x)- (2ln 2-x)>g(ln 2)=0，
即 (x)> (2ln 2-x)，不妨设x1
又因为 (x1)= (x2)，所以 (x1)> (2ln 2-x2)，...............................10分
由于x2>ln 2，所以2ln 2-x2
因为x1
所以x1<2ln 2-x2，
即x1+x2<2ln 2......................................................................................12分
上学期高三数学期中试卷理科
第I卷 选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. i是虚数单位，复数1-3i1-i=( )
A.2+i B.2-i C.-1+2i D.-1-2i
2. 集合A={x|x-2<0}，B={x|x
A.(-∞，-2] B.[-2，+∞) C.(-∞，2] D.[2，+∞)
3. 已知sinπ6-α=cos(π6+α)，则cos2α=( )
A.1 B.-1 C. 12 D.0
4. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，
且AB→=a，AD→=b，则BE→等于( )
A. 12b-a B. 12a-b
C.-12a+b D. 12b+a
5. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b-c)(sinB+sinC)=(a-3c)sinA，则角B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
6. 已知平面向量a，b的夹角为2π3，且a•(a-b)=8，|a|=2，则|b|等于( )
A.3 B.23 C.3 D.4
7. 设p：∀x∈R，x2-4x+m>0;q：函数f(x)=-13x3+2x2-mx-1在R上是减函数，则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+m(m为常数)，
则f(-log35)的值为( )
A.4 B.-4 C.6 D.-6
9. 积分 =( )
A.2 B. -2 C. 4 D. 8
10. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)ω>0，|φ|<π2的部分图象
如图所示，如果x1，x2∈-π6，π3，且f(x1)=f(x2)，
则f(x1+x2)=( )
A.12 B.32 C.22 D.1
11. 已知 ，若 有两个零点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 已知函数 ，方程 在区间 上有两个不同的实数解 ，则 =( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)
13. 已知 ， ，则 =________
14. 已知 ，则 =__________
15. 如图，在边长为2的正方形ABCD上，
E为边AB的中点，M点在边BC上移动，
当 最大时，CM的长度为_____
16.设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则 的取值范围是_______________
三、解答题(本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其他各题12分)
17. 已知向量 =(cosx，sinx)， =(3，-3).
(1)若 ，若已知x∈[0，π]，求x的值;
(2)记f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x取值集合.
18. 已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)•(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;若AB→=a，AC→=b，作△ABC，求△ABC的面积;
(2)求|a+b|和|a-b|
19. 在 中， 为锐角，角 所对的边分别为 ，且
(1)求 的值;(2)若 ，求 的值。
20. 已知锐角 中，角 所对边分别为 ，向量 ， ，且
(1)求角B的大小;(2)如果 ，求 的周长 的范围。
21. 已知曲线 ： ，直线
(1)求曲线 的普通方程和当 时直线 的普通方程;
(2)已知直线 交曲线 于点A，B，如果 恰好为线段 的中点，
求直线 的方程。
22. 已知函数 ，其中 为常数。
(1)当 时，求 的极值;
(2)讨论 的单调区间;
(3)当 时，存在 使得不等式 成立，
求 的取值范围。
高三(理科)数学答案
1. B 2. D 3. D 4. C 5.A 6.D 7. A 8. B 9. A 10. B 11. D 12. C
13. 14. 15. 16.
17. (1)因为a=(cosx，sinx)，b=(3，-3)，a∥b，
所以-3cosx=3sinx.
若cosx=0，则sinx=0，与sin2x+cos2x=1矛盾，故cosx≠0.
于是tanx=-33.又x∈[0，π]，所以x=5π6.
(2)f(x)=a•b=(cosx，sinx)•(3，-3)=3cosx-3sinx=23cosx+π6.
当 时，f(x)最大值为 ;
当 时，f(x)最小值为 。
18. 解：(1)由(2a-3b)•(2a+b)=61，
得4|a|2-4a•b-3|b|2=61.
∵|a|=4，|b|=3，代入上式求得a•b=-6.
∴cosθ=a•b|a|•|b|=-64×3=-12.又θ∈[0°，180°]，∴θ=120°.
∠BAC=θ=120°，
|AB→|=|a|=4，|AC→|=|b|=3，
∴S△ABC=12|AC→|•|AB→|•sin∠BAC=12×3×4×sin120°=33.
(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a•b+|b|2=
42+2×(-6)+32=13，
∴|a+b|=13.同理，|a-b|=a2-2a•b+b2=37.
19.(I)∵ 为锐角，
∴
∵
∴
(II)由(I)知 ，∴
由 得
，即
又∵
∴ ∴
∴
20.(1) 得
若 ，得 不满足方程，则
则 ，由于 ，则 ，所以
(2)由正弦定理得： ，则
，
由于 ，得
则 得
则 ，故
所以 周长范围为
21.(1)曲线 ;直线
(2)法1)设点 ， ，则：
， 两式相减得：
由于 ，可得： ，故直线 方程为：
法2)参见选修4—4课本 第37页例2
22.(1) ，其中 得：
当 时， ;当 时，
所以 在 递增，在 递减。 的极大值为 ，无极小值。
(2)由已知函数的 的定义域为
当 时， ，则 在 单调递增;
当 时， 令 ，得： ;令 ，得：
则 在 单调递增，在 单调递减。
(3)由(2)可知：当 时， 在 单调递增，在 单调递减
当 时， 取得最大值 ，所以
所以 在 单调递减，在 单调递增;
的最小值为
函数 求导可得：
当 时，得： ;当 时，得：
所以 在 单调递增，在 单调递减
的最大值为
所以要存在 使得不等式 成立
即需： 得：
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