高一数学曲线的参数方程知识点分析(2)
高一数学曲线的参数方程知识点分析
数学充分条件与必要条件内容练习及解析
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.使x>1成立的一个必要条件是( )
A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2
【解析】选A.只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.
2.已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是( )
A.0
C.
【解析】选C.x2-x<0⇒0
3.下列p是q的必要条件的是( )
A.p:a=1,q:|a|=1B.p:a<1,q:|a|<1
C.p:ab,q:a>b+1
【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,故选D.
4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是( )
①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;
③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.
A.1B.2C.3D.4
【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.
【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;
②由于p:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;
③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;
④由于p:直线a,b不相交 q:a∥b,所以p不是q的充分条件.
5.如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要条件是
A.
C.a> 或a< D.a≥ 或a≤
【解析】选B.|x-a|<1⇔a-1
由题意知 (a-1,a+1),
则有 且等号不同时成立,
解得 ≤a≤ ,故选B.
【变式训练】集合A= ,B={x||x-b|
【解析】“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠ ,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1
答案:(-2,2)
6.已知等比数列{an}的公比为q,则下列不是{an}为递增数列的充分条件的是
( )
①a10,q>1;③a1>0,0
A.①②B.①③C.③④D.①③④
【解析】选B.由等比数列{an}是递增数列⇔an
若a1>0,则qn-1(1-q)<0,得q>1;
若a1<0,则qn-1(1-q)>0,得0
所以等比数列{an}是递增数列⇔a1>0,q>1或a1<0,0
所以a1>0,q>1⇒等比数列{an}是递增数列,
或a1<0,0
由a1
【举一反三】若把本题中的“不是{an}为递增数列的充分条件”改为“是{an}为递增数列的必要条件”,其他不变,结论如何?
【解析】由等比数列{an}是递增数列⇒a1
由等比数列{an}是递增数列 a1>0,q>1,
由等比数列{an}是递增数列 a1>0,0
由等比数列{an}是递增数列 a1<0,0
故a1
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.“lgx>lgy”是“ > ”的 条件.
【解析】由lgx>lgy⇒x>y>0⇒ > .而 > 有可能出现x>0,y=0的情况,故 > lgx>lgy.
答案:充分
【变式训练】“x>y”是“lgx>lgy”的 条件.
【解析】因为x>y lgx>lgy,比如y
lgx与lgy无意义,而lgx>lgy⇒x>y.
答案:必要
8.函数f(x)=a- 为奇函数的必要条件是 _________.
【解析】由于f(x)=a- 定义域为R,且为奇函数,
则必有f(0)=0,即a- =0,所以a=1.
答案:a=1
9.(2014•广州高二检测)满足tanα=1的一个充分条件是α= (填一角即可)
【解析】由于tanα=1,故α=kπ+ (k∈Z),
取α= ,显然,α= 是tanα=1的一个充分条件.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.分别判断下列“若p,则q”命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.
(1)p:sinθ=0,q:θ=0.
(2)p:θ=π,q:tanθ=0.
(3)p:a是整数,q:a是自然数.
(4)p:a是素数,q:a不是偶数.
【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0 q:θ=0,
所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.
(2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=π q:tanθ=0,
所以p是q的充分条件,p是q的不必要条件.
(3)由于p:a是整数 q:a是自然数,
p:a是整数⇐q:a是自然数,
所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.
(4)由于p:a是素数 q:a不是偶数,
所以p是q的不充分条件,p是q的不必要条件.
11.若p:-2
【解析】若a=-1,b= ,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p q.
若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0
则x1+x2=-a,x1x2=b.
于是0<-a<2,0
所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.
【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以
即 ⇒-2
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.不等式1- >0成立的充分条件是( )
A.x>1B.x>-1
C.x<-1或01
【解析】选A.不等式1- >0等价于 >0,解得不等式的解为x<0或x>1,比较选项得x>1为不等式成立的充分条件,故选A.
2.(2014•青岛高二检测)函数y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函数的必要条件是
( )
A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1
【解析】选D.因为函数y=x2+bx+ c在[0,+∞)上单调,所以x=- ≤0,即b≥0,
显然b≥0⇒b>-1,故选D.
【举一反三】函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件是( )
A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1
【解析】选A.当b>1时,y=x2+bx+c在[0,+∞)上显然是单调函数,故b>1是函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件.
3.(2014•兰州高二检测)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y) |2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩( B)的既是充分条件,又是必要条件的是( )
A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5
C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5
【解析】选A.因为P∈A∩( B),
所以P∈A且P∉B,所以
所以 故选A.
4.(2014•天津高二检测)设a,b为向量,则“a•b=|a||b|”是“a∥b”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
【解析】选A.若a,b中有零向量,则a•b=|a||b|⇒a∥b,若a,b中无零向量,则设a,b的夹角为θ,a•b=|a||b|⇒|a||b|cosθ=|a||b|⇒cosθ=1⇒θ=0⇒a∥b,故有a•b=|a||b|可以推出“a∥b”,但若a∥b,则有a•b=|a||b|或a•b=-|a||b|,
故“a•b=|a||b|”是“a∥b”的充分条件.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如果命题“若A ,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的 条件.
【解析】因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A B,
又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,
所以A是B的必要条件.
答案:必要
6.若向量a=(x,3),x∈R,则|a|=5的一个充分条件是 ____________.
【解析】因为|a|=5⇒x2+9=25⇒x=±4,
所以|a|=5的一个充分条 件是x=4(或x=-4).
答案:x=4(或x=-4)
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.已知p:x 2-2x-3<0,若- ab恒成立的实数b的取值范围.
【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1
-a0).
依题意,得{x|-10),
所以 解得a>2,
则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,
即(-∞,2].
8.已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3- ≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.
【解析】因为p是q的充分条件,
所以当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥ 恒成立,
又当-1≤m≤1时, ≤3,所以a2-5a-3≥3,
所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.
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