九年级数学上册期末检测试卷
九年级数学上册期末检测试卷
同学们在把数学理论知识复习好的同时，也应该要多做题，从题中找到自己的不足，及时学懂，下面是学习啦小编为大家带来的关于九年级数学上册期末检测试卷，希望会给大家带来帮助。
九年级数学上册期末检测试卷：
一、选择题：本大题共16个小题，1-6小题每小题2分，7-16小题每小题2分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案的序号填写在对应的括号内.
1.方程x2+1=2x的根是( )
A.x1=1，x2=﹣1 B.x1=x2=1
C.x1=x2=﹣1 D.x1=1+ ，x2=1﹣
【考点】解一元二次方程-配方法.
【分析】在本题中，把2x移项后，左边是完全平方公式，再直接开方即可.
【解答】解：把方程x2+1=2x移项，得到x2﹣2x+1=0，
∴(x﹣1)2=0，
∴x﹣1=0，
∴x1=x2=1，
故选B.
【点评】配方法的一般步骤：
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;
(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
2.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为( )
A.10m B.12m C.15m D.40m
【考点】相似三角形的应用.
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解.
【解答】解：设旗杆高度为x米，
由题意得， = ，
解得：x=15.
故选：C.
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记.
3.一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x=2时，y=20.则y与x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
【考点】反比例函数的应用;反比例函数的图象.
【分析】设y= (k≠0)，根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象.
【解答】解：设y= (k≠0)，
∵当x=2时，y=20，
∴k=40，
∴y= ，
则y与x的函数图象大致是C，
故选：C.
【点评】此题考查了反比例函数的应用，关键是根据题意设出解析式，根据函数的解析式得出函数的图象.
4.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，若以2.5cm为半径作⊙C，则斜边AB与⊙C的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CD，得出d
【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，
∴由勾股定理得：AB= = =5，
∵△ABC的面积= AC×BC= AB×CD，
∴3×4=5CD，
∴CD=2.4<2.5，
即d
∴斜边AB与⊙C的位置关系是相交，
故选：A.
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直线和圆的位置关系的应用;解此题的关键是能正确作出辅助线，并进一步求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交.
5.在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为( )
A. B. C. D.
【考点】勾股定理;锐角三角函数的定义.
【专题】压轴题;网格型.
【分析】先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD的长，即可求出余弦值.
【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB=4 ，BD=4，
∴cos∠B= = .
故选B.
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形.
6.关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+x+m2﹣1=0有一根为0，则m的值为( )
A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.
【考点】一元二次方程的解.
【分析】方程的根即方程的解，把x=0代入方程即可得到关于m的方程，即可求得m的值.另外要注意m﹣1≠0这一条件.
【解答】解：根据题意得：m2﹣1=0且m﹣1≠0
解得m=﹣1
故选B.
【点评】本题主要考查方程的解的定义，容易忽视的条件是m﹣1≠0.
7.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE C. D.
【考点】相似三角形的判定.
【分析】先根据∠1=∠2求出∠BAC=∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答.
【解答】解：∵∠1=∠2，
∴∠DAE=∠BAC，
A、添加∠C=∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误;
B、添加∠B=∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误;
C、添加 = ，可用两边及其夹角法判定△ABC∽△ADE，故本选项错误;
D、添加 = ，不能判定△ABC∽△ADE，故本选项正确;
故选D.
【点评】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角∠BAC=∠DAE是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法.
8.如图，关于抛物线y=(x﹣1)2﹣2，下列说法错误的是( )
A.顶点坐标为(1，﹣2) B.对称轴是直线x=l
C.开口方向向上 D.当x>1时，y随x的增大而减小
【考点】二次函数的性质.
【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是(1，﹣2)，对称轴是直线x=1，根据a=1>0，得出开口向上，当x>1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项.
【解答】解：∵抛物线y=(x﹣1)2﹣2，
A、因为顶点坐标是(1，﹣2)，故说法正确;
B、因为对称轴是直线x=1，故说法正确;
C、因为a=1>0，开口向上，故说法正确;
D、当x>1时，y随x的增大而增大，故说法错误.
故选D.
【点评】本题主要考查对二次函数的性质的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行判断是解此题的关键.
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是( )
A.﹣15 C.x<﹣1且x>5 D.x<﹣1或x>5
【考点】二次函数与不等式(组).
【专题】压轴题.
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.
【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为(5，0)，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(﹣1，0).
利用图象可知：
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集，
∴x<﹣1或x>5.
故选：D.
【点评】此题主要考查了二次函数利用图象解一元二次方程根的情况，很好地利用数形结合，题目非常典型.
10.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )
A.45° B.50° C.60° D.75°
【考点】圆内接四边形的性质;平行四边形的性质;圆周角定理.
【分析】设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β，由题意可得 ，求出β即可解决问题.
【解答】解：设∠ADC的度数=α，∠ABC的度数=β;
∵四边形OADC是平行四边形，
∴∠ADC=∠AOC;
∵∠ADC= β，∠AOC=α;而α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，∠ADC=60°，
故选C.
【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题;应牢固掌握该定理并能灵活运用.
11.用一个半径为18cm，圆心角为140°的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是( )
A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
【考点】圆锥的计算.
【分析】利用圆锥的侧面展开图中扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得.
【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，由题意，得
2πr= ，
解得r=7.
故选A.
【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解.
12.在平面直角坐标系中有两点A(6，2)、B(6，0)，以原点为位似中心，相似比为1：3，把线段AB缩小，则过A点对应点的反比例函数的解析式为( )
A. B. C. D.
【考点】待定系数法求反比例函数解析式;位似变换.
【专题】压轴题.
【分析】先根据相似比为1：3，求A点对应点的坐标，再利用待定系数法求解析式.
【解答】解：∵△A1B1O和ABO以原点为位似中心，
∴△A1B1O∽△ABO，相似比为1：3，
∴A1B1= ，OB1=2，
∴A1的坐标为(2， )或(﹣2，﹣ )，
设过此点的反比例函数解析式为y= ，则k= ，
所以解析式为y= .
故选B.
【点评】此题关键运用位似知识求对应点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式.
13.如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形DAB的面积为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
【考点】扇形面积的计算.
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB= ，计算即可.
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB= = ×6×3=9.
故选D.
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB= .
14.如图，函数y= 和y= 的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【考点】反比例函数系数k的几何意义.
【分析】设P的坐标是(a， )，推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB=90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可.
【解答】解：∵点P在y= 上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是(a， )(a为正数)，
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=﹣ 上，
∴A的坐标是(a，﹣ )，
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是 ，
∵B在y=﹣ 上，
∴代入得： =﹣ ，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐标是(﹣3a， )，
∴PA=| ﹣(﹣ )|= ，
PB=|a﹣(﹣3a)|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是： PA×PB= × ×4a=8.
故选A.
【点评】本题考查了反比例函数和三角形面积公式的应用，关键是能根据P点的坐标得出A、B的坐标，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目.
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c<0;②a﹣b+c<0;③b+2a<0;④abc>0.
其中所有正确结论的序号是( )
A.③④ B.②③ C.①④ D.①②③
【考点】二次函数图象与系数的关系.
【专题】压轴题.
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.
【解答】解：①当x=1时，结合图象y=a+b+c<0，故此选项正确;
②当x=﹣1时，图象与x轴交点负半轴明显小于﹣1，∴y=a﹣b+c>0，故本选项错误;
③由抛物线的开口向上知a>0，
∵对称轴为1>x=﹣ >0，
∴2a>﹣b，
即2a+b>0，
故本选项错误;
④对称轴为x=﹣ >0，
∴a、b异号，即b<0，
图象与坐标相交于y轴负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，
故本选项正确;
∴正确结论的序号为①④.
故选：C.
【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数关系，同学们应掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
(1)a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a>0;否则a<0;
(2)b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=﹣ 判断符号;
(3)c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c>0;否则c<0;
(4)当x=1时，可以确定y=a+b+C的值;当x=﹣1时，可以确定y=a﹣b+c的值.
16.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则 的值是( )
A. B. C. D.2
【考点】正多边形和圆.
【专题】压轴题.
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少;然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出 的值是多少即可.
【解答】解：如图，连接AC、BD、OF， ，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°= ，
∴EF= ，
∵AO=2OI，
∴OI= ，CI=r﹣ = ，
∴ ，
∴ ，
∴ = ，
即则 的值是 .
故选：C.
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心.②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把各小题正确答案填写在对应题号的横线处.
17.为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用，到2014年底，全市已有公租自行车25000辆，预计到2016年底，全市将有公租自行车42250辆，则两年的平均增长率为 30% .
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】增长率问题.
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，设增长率为x，由题意可得25000(1+x)2=42250，经解和检验后得增长率是30%.
【解答】解：设增长率为x，由题意可得25000(1+x)2=42250
解得x=0.3或﹣2.3(不合题意，舍去)
即增长率是30%，
故答案为：30%.
【点评】本题考查的是一元二次方程中的增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，难度不大.
18.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD=3，AB=7，BF=2，则FC的长为 .
【考点】平行线分线段成比例.
【分析】根据平行四边形的判定定理和性质定理得到EF=BD=4，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.
【解答】解：∵AD=3，AB=7，
∴BD=4，
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴EF=BD=4，
∵EF∥AB，
∴ = ，即 = ，
解得CF= .
故答案为： .
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用和平行四边形的判定和性质的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
19.如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD、AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为 4 m2.
【考点】二次函数的应用.
【分析】用含x的代数式(12﹣3x)÷3=4﹣x表示横档AD的长，然后根据矩形面积公式得到二次函数，利用二次函数的性质，求出矩形的最大面积
【解答】解：∵AB为x米，则AD= =4﹣x，
S长方形框架ABCD=AB×AD=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4，
当x=2时，S取得最大值=4;
∴长方形框架ABCD的面积S最大为4m2.
故答案为：4.
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据面积公式得二次函数，利用二次函数的性质求最值是解题的关键.
20.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，C、D为弧AB的三等分点，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是 8 cm.
【考点】轴对称-最短路线问题;勾股定理;垂径定理.
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得 = ，然后求出C′D为直径，从而得解.
【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，
此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，
由垂径定理， = ，
∴ = ，
∵ = = ，AB为直径，
∴C′D为直径.则CD′=AB=8(cm).
故答案是：8.
【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键.
三、解答题：本大题共6个小题，共66分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.已知反比例函数y= (k为常数，k≠1).
(1)其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的值;
(2)若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围;
(3)若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A(x1、x2)、B(x2、y2)，当y1>y2时，试比较x1与x2的大小;
(4)若在其图象上任取一点，向x轴和y轴作垂线，若所得矩形面积为6，求k的值.
【考点】反比例函数的性质;反比例函数系数k的几何意义;反比例函数图象上点的坐标特征.
【分析】(1)设点P的坐标为(m，2)，由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数y= 的图象上，所以2= ，解得k=5;
(2)由于在反比例函数y= 图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k﹣1>0，求出k的取值范围即可;
(3)反比例函数y= 图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以A(x1，y1)与点B(x2，y2)在该函数的第二象限的图象上，且y1>y2，故可知x1>x2;
(4)利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可.
【解答】解：(1)由题意，设点P的坐标为(m，2)
∵点P在正比例函数y=x的图象上，
∴2=m，即m=2.
∴点P的坐标为(2，2).
∵点P在反比例函数y= 的图象上，
∴2= ，解得k=5.
(2)∵在反比例函数y= 图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴k﹣1>0，解得k>1.
(3)∵反比例函数y= 图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大.
∵点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在该函数的第二象限的图象上，且y1>y2，
∴x1>x2.
(4)∵在其图象上任取一点，向两坐标轴作垂线，得到的矩形为6，
∴|k|=6，
解得：k=±6.
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键.
22.如图，一艘渔船正以30海里/小时的速度由西向东赶鱼群，在A处看风小岛C在船的北偏东60度.40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东30度.已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能?
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】根据题意实质是比较C点到AB的距离与10的大小.因此作CD⊥AB于D点，求CD的长.
【解答】解：作CD⊥AB于D，
根据题意，AB=30× =20，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△ACD中，AD= = CD，
在Rt△BCD中，BD= = CD，
∵AB=AD﹣BD，
∴ CD﹣ CD=20，
CD= >10，
所以不可能.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，“化斜为直”是解三角形的常规思路，常需作垂线(高)，构造直角三角形.原则上不破坏特殊角(30°、45°、60°).
23.如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的圆O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接OE.
(1)求证：DE是⊙O的切线;
(2)若CD= ，∠ACB=30°，求OE的长.
【考点】切线的判定.
【分析】(1)连接OD、BD，求出BD⊥AC，AD=DC，根据三角形的中位线得出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可;
(2)解直角三角形求出BC、BD，求出AB得出OD，根据三角形的面积公式求出高DE，在△ODE中，根据勾股定理求出OE即可.
【解答】(1)证明：连接OD、BD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴D为AC中点，
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O的切线;
(2)解：∵CD= ，∠ACB=30°，
∴cos30°= ，
∴BC=2，
∴BD= BC=1，
∵AB=BC，
∴∠A=∠C=30°，
∵BD=1，
∴AB=2BD=2，
∴OD=1，
在Rt△CDB中，由三角形面积公式得：BC×DE=BD×CD，
1× =2DE，
DE= ，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OE= = .
【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，含30度角的直角三角形，解直角三角形等知识点的综合运用.
24.某厂生产A、B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图：
第一次 第二次 第三次
A产品单价(元/件) 6 5.2 6.5
B产品单价(元/件) 3.5 4 3
并求得了A产品三次单价的平均数和方差：
;SA2= [(6﹣5.9)2+(5.2﹣5.9)2+(6.5﹣5.9)2]=
(1)补全“A、B产品单价变化的折线图”，B产品第三次的单价比上一次的单价降低了百分之多少?
(2)求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小;
(3)该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件.
则A产品这四次单价的中位数是 6.25 元/件.
若A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，则B产品的第四次单价为 3.75 元/件.
【考点】方差;折线统计图;中位数.
【分析】(1)根据题目提供数据补充折线统计图即可;
(2)分别计算平均数及方差即可;
(3)首先确定这四次单价的中位数，然后确定第四次调价的范围，根据“A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1”列式求出B产品这四次单价的中位数即可求得B产品的第四次单价.
【解答】解：(1)补全“A、B产品单价变化的折线图”如图所示：
B产品第三次的单价比上一次的单价降低的百分数为： ×100%=25%;
(2) = (3.5+4+3)=3.5;
SB2= [(3.5﹣3.5)2+(4﹣3.5)2+(3﹣3.5)2]= ，
∵ < ，
∴B产品的单价波动小;
(3)A产品这四次单价的中位数是： =6.25，
设B产品这四次单价的中位数是x元/件.
根据题意：2x﹣1=6.25，
x=3.625，
∴第四次单价应大于3.5，小于4，
∵ =3.625，
∴a=3.75元/件
故答案为6.25，3.75.
【点评】本题考查了方差、条形统计图、算术平均数、中位数的知识，解题的关键是根据方差公式进行有关的运算，难度不大.
25.(1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD•BC=AP•BP.
(2)探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立?说明理由.
(3)应用：请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在△ABD中，AB=12，AD=BD=10.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t(秒)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题;
(2)由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题;
(3)过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=6，根据勾股定理可得DE=8，由题可得DC=DE=8，则有BC=10﹣8=2.易证∠DPC=∠A=∠B.根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值.
【解答】(1)证明：如图1，
∵∠DPC=∠A=∠B=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
∠BPC+∠APD=90°，
∴∠APD=∠BPC，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ，
∴AD•BC=AP•BP;
(2)结论AD•BC=AP•BP仍成立;
理由：证明：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，
又∵∠BPD=∠A+∠APD，
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠APD，
∵∠DPC=∠A=θ，
∴∠BPC=∠APD，
又∵∠A=∠B=θ，
∴△ADP∽△BPC，
∴ ，
∴AD•BC=AP•BP;
(3)解：如下图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD=10，AB=12，
∴AE=BE=6
∴DE= =8，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DC=DE=8，
∴BC=10﹣8=2，
∵AD=BD，
∴∠A=∠B，
又∵∠DPC=∠A，
∴∠DPC=∠A=∠B，
由(1)(2)的经验得AD•BC=AP•BP，
又∵AP=t，BP=12﹣t，
∴t(12﹣t)=10×2，
∴t=2或t=10，
∴t的值为2秒或10秒.
【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想.
26.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)，B(﹣1，0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D.现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)直接用待定系数法就可以求出抛物线的解析式;
(2)由(1)的解析式求出抛物线的顶点坐标，根据抛物线的顶点坐标求出直线OD的解析式，设平移后的抛物线的顶点坐标为(h， h)，就可以表示出平移后的解析式，当抛物线经过点C时就可以求出h值，抛物线与直线CD只有一个公共点时可以得出 ，得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0，从而得出△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0求出h=4，从而得出结论.
【解答】解：(1)抛物线解析式y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)，B(﹣1，0)两点，
解得 ，
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3.
(2)由(1)配方得y=(x+2)2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为M(﹣2，﹣1)，
∴直线OD的解析式为y= x，
于是可设平移后的抛物线的顶点坐标为(h， h)，
∴平移后的抛物线的解析式为y=(x﹣h)2+ h，
当抛物线经过点C时，∵C(0，9)，
∴h2+ h=9.
解得h= ，
∴当 ≤h< 时，平移后的抛物线与射线CD只有一个公共点;
当抛物线与直线CD只有一个公共点时，
由方程组 ，
得x2+(﹣2h+2)x+h2+ h﹣9=0，
∴△=(﹣2h+2)2﹣4(h2+ h﹣9)=0，
解得h=4，
此时抛物线y=(x﹣4)2+2与直线CD唯一的公共点为(3，3)，点(3，3)在射线CD上，符合题意.
故平移后抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的取值范围是 ≤h< 或h=4.
【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，二次函数图象与几何变换及方程组与交点坐标的运用，利用根的判别式判断得出是解题关键.
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