九年级数学第一学期期末试卷题
数学的学习可能对很多的同学会很难，但是大家不要害怕，今天小编就给大家来分享一下九年级数学，大家来多多参考哦
九年级数学上册期末试卷阅读
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.已知∠A为锐角，且sin A= ，那么∠A等于
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A = ，则∠BOC的大小为
A.40° B.30° C.80° D.100°
3.已知△ ∽△ ，如果它们的相似比为2∶3，那么它们的面积比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是
A. B. C. D.
5.正方形ABCD内接于 ，若 的半径是 ，则正方形的边长是
A. B. C. D.
6.如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC.若BC 3，DE 1.5，AD 2，
则AB的长为
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
8. 如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(-2，-3)，(1，-3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9.二次函数 图象的开口方向是__________.
10.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为 .
11. 如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为2 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距6 ，与树相距15 ，那么这棵树的高度为 .
12.已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是 .
13.如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是 .
14.写出抛物线y=2(x-1)2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标
可以是 和 .
15.如图，为测量河内小岛B到河边公路 的距离，在 上顺次取A，C，D三点，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路 的距离为 米.
16.在平面直角坐标系xOy内有三点：(0，-2)，(1，-1)，(2.17，0.37).则过这三个点 (填“能”或“不能”)画一个圆，理由是 .
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.已知： . 求： .
18.计算： .
19.已知二次函数 y = x2-2x-3.
(1)将y = x2-2x-3化成y = a (x-h)2 + k的形式;
(2)求该二次函数图象的顶点坐标.
20.如图，在△ABC中，∠B为锐角， AB ，BC 7， ，求AC的长.
21. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5.
求证：∠DEC=90°.
22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程.
已知: △ABC.
求作: 在BC边上求作一点P, 使得△PAC∽△ABC.
作法:如图，
①作线段AC的垂直平分线GH;
②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点O;
③以点O为圆心，以OA为半径作圆;
④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D(与点A不重合);
⑤连接线段AD交BC于点P.
所以点P就是所求作的点.
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明: ∵CD=AC，
∴ = .
∴∠ =∠ .
又∵∠ =∠ ，
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依据).
23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2
与双曲线 相交于点A(m，3).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)画出直线和双曲线的示意图;
(3)若P是坐标轴上一点，当OA=PA时.
直接写出点P的坐标.
24. 如图，AB是 的直径，过点B作 的切线BM，点A，C，D分别为 的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E， CD交AB于点F.
(1)求证： ;
(2) 连接OE，若DE=m，求△OBE的周长.
25. 在如图所示的半圆中， P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.
小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小聪的探究过程，请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，
(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;
(3)结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为 cm.
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (其中 、 为常数，且 <0)与x轴交于点A ，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求 的正切值;
(3)如果点 是x轴上的一点，且 ，直接写出点P的坐标.
27. 在菱形ABCD中，∠ADC=60°，BD是一条对角线，点P在边CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移 ，使点D移动到点C，得到 ，在BD上取一点H，使HQ=HD，连接HQ，AH，PH.
(1) 依题意补全图1;
(2)判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明;
(3)若 ，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路. (可以不写出计算结果)
28. 在平面直角坐标系xOy中，点A(x，0)，B(x，y)，若线段AB上存在一点Q满足 ，则称点Q 是线段AB 的“倍分点”.
(1)若点A(1，0)，AB=3，点Q 是线段AB 的“倍分点”.
①求点Q的坐标;
②若点A关于直线y= x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求 ;
(2)⊙T的圆心T(0， t)，半径为2，点Q在直线 上，⊙T上存在点B，使点Q 是线段AB 的“倍分点”，直接写出t的取值范围.
数学试卷评分标准
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9.下10. 11. 12. 13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15. 16.能，因为这三点不在一条直线上.
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)
17.解：∵ ，∴ = +1= .………………………5分
………………………3分
………………………4分
………………………5分
19.解：(1)y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3……………………………2分
=(x-1)2-4.……………………3分
(2)∵y=(x-1)2-4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是(1，-4).………………………5分
20.解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵ ，
∴∠B=∠BAD=45°.………………2分
∵AB ，
∴AD=BD=3.…………………………3分
∵BC 7，∴DC=4.
∴在Rt△ACD中，
.…………………………5分
21.(1)证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
∵AD∥BC，∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2分
∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，
∴ .∴
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5分
22.(1)补全图形如图所示:………………2分
(2) ,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，
有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5分
23.解：(1)∵直线y=x+2与双曲线 相交于点A(m，3).
∴3=m+2，解得m=1.
∴A(1，3)……………………………………1分
把A(1，3)代入 解得k=3，
……………………………………2分
(2)如图……………………………………4分
(3)P(0，6)或P(2，0) ……………………………………6分
24.证明：(1)∵点A、C、D为 的三等分点，
∴ , ∴AD=DC=AC.
∵AB是 的直径，
∴AB⊥CD.
∵过点B作 的切线BM，
∴BE⊥AB.
∴ .…………………………3分
(2) 连接DB.
?由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt△DBE中，由DE=m，解得BE=2m，DB= m.
?在Rt△ADB中利用30°角，解得AB=2 m，OB= m.…………………4分
?在Rt△OBE中，由勾股定理得出OE= m.………………………………5分
④计算出△OBE周长为2m+ m+ m.………………………………6分
25.(1)3.00…………………………………1分
(2)…………………………………………4分
(3)1.50或4.50……………………………2分
26.解：(1)由题意得，抛物线 的对称轴是直线 .………1分
∵a<0，抛物线开口向下，又与 轴有交点，∴抛物线的顶点C在x轴的上方.
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是 .
可设此抛物线的表达式是 ，
由于此抛物线与 轴的交点 的坐标是 ，可得 .
因此，抛物线的表达式是 .………………………2分
(2)点B的坐标是 .
联结 .∵ ， ， ，得 .
∴△ 为直角三角形， .
所以 .
即 的正切值等于 .………………4分
(3)点p的坐标是(1，0).………………6分
27.(1)补全图形，如图所示.………………2分
(2)AH与PH的数量关系：AH=PH，∠AHP=120°.
证明：如图，由平移可知，PQ=DC.
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.
∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°.
∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.
∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5分
(3)求解思路如下：
由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.
a.在△ABH中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°.
b.在△AHP中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°.
c.在△ADB中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°.
由a、b、c可得∠DAP=21°.
在△DAP中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，
从而求得DP长.…………………………………7分
28.解：(1)∵A(1，0)，AB=3
∴B(1，3)或B(1，-3)
∵
∴Q(1，1)或Q(1，-1)………………3分
(2)点A(1，0)关于直线y= x的对称点为A′(0，1)
∴QA =QA′
∴ ………………5分
(3)-4≤t≤4………………7分
初三数学上册期末试卷带答案
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
1.抛物线 的顶点坐标为
A. B. C. D.
2.如图，在平面直角坐标系 中，点 ， 与 轴正半轴的夹角为 ，则 的值为
A. B.
C. D.
3.方程 的根的情况是
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.无实数根D.只有一个实数根
4.如图，一块含30°角的直角三角板 绕点 顺时针旋转到△ ，当 ， ， 在一条直线上时，三角板 的旋转角度为
5.如图，在平面直角坐标系 中，B是反比例函数 的图象上的一点，则矩形OABC的面积为
6.如图，在 中， ，且DE分别交AB，AC于点D，E，
若 ，则△ 和△ 的面积之比等于
A. B. C. D.
7.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘 54cm，且与闸机侧立面夹角 30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为
8.在平面直角坐标系 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9.方程 的根为.
10.半径为2且圆心角为90°的扇形面积为.
11.已知抛物线的对称轴是 ，若该抛物线与 轴交于 ， 两点，则 的值为.
12.在同一平面直角坐标系 中，若函数 与 的图象有两个交点，则 的取值范围是.
13.如图，在平面直角坐标系 中，有两点 ， ，以原点 为位似中心，把△ 缩小得到△ .若 的坐
标为 ，则点 的坐标为.
14.已知 ， 是反比例函数图象上两个点的坐标，且 ，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式.
15.如图，在平面直角坐标系 中，点 ，判断在 四点中，满足到点 和点 的距离都小于2的点是 .
16.如图，在平面直角坐标系 中， 是直线 上的一个动点，⊙ 的半径为1，直线 切⊙ 于点 ，则线段 的最小值为 .
三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分;第23~26题，每小题6分;第27~28题，每小题7分)
17.计算： .
18.如图， 与 交于 点， ， ， ， ，求 的长.
19.已知 是关于 的一元二次方程 的一个根，若 ，求 的值.
20.近视镜镜片的焦距 (单位：米)是镜片的度数 (单位：度)的函数，下表记录了一组数据：
(单位：度)
… 100 250 400 500 …
(单位：米)
… 1.00 0.40 0.25 0.20 …
(1)在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________;
A. B.
C. D.
(2)利用(1)中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米.
21.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P.
求作：过点P的⊙O的切线.
作法：如图，
① 作射线OP;
②在直线OP外任取一点A，以点A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B;
③连接并延长BA与⊙A交于点C;
④作直线PC;
则直线PC即为所求.
根据小元设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴∠BPC=90°(____________)(填推理的依据).
∴OP⊥PC.
又∵OP是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线(____________)(填推理的依据).
22.2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A点和东人工岛上的B点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的大桥上的一点，A，B，C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥 段垂直的方向航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得 与观光船航向 的夹角∠DPA=18°，∠DPB=53°，求此时观光船到大桥AC段的距离 的长.
参考数据： ° ， ° ， ° ，
23.在平面直角坐标系 中，已知直线 与双曲线 的一个交点是 .
(1)求 的值;
(2)设点 是双曲线 上不同于 的一点，直线 与 轴交于点 .
①若 ，求 的值;
②若 ，结合图象，直接写出 的值.
24.如图，A，B，C为⊙O上的定点.连接AB，AC，M为AB上的一个动点，连接CM，将射线MC绕点 顺时针旋转 ，交⊙O于点D，连接BD.若AB=6cm，AC=2cm，记A，M两点间距离为 cm， 两点间的距离为 cm.
小东根据学习函数的经验，对函数 随自变量 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小东探究的过程，请补充完整：
(1)通过取点、画图、测量，得到了 与 的几组值，如下表：
/cm
0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6
/cm
1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76 1.66 0
(2)在平面直角坐标系 中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象，解决问题：当BD=AC时，AM的长度约为cm.
25.如图，AB是⊙O的弦，半径 ，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE 与AB交于点F.
(1)求证：PC=PF;
(2)连接OB，BC，若 ， ， ，求FB的长.
26.在平面直角坐标系 中，已知抛物线G： ， .
(1)当 时，
①求抛物线G与 轴的交点坐标;
②若抛物线G与线段 只有一个交点，求 的取值范围;
(2)若存在实数 ，使得抛物线G与线段 有两个交点，结合图象，直接写出 的取值范围.
27.已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，直线l经过点A(不经过点B或点C)，点C关于直线l的对称点为点D，连接BD，CD.
(1)如图1，
①求证：点 在以点 为圆心， 为半径的圆上.
②直接写出∠BDC的度数(用含α的式子表示)为___________.
(2)如图2，当α=60°时，过点D作BD的垂线与直线l交于点E，求证：AE=BD;
(3)如图3，当α=90°时，记直线l与CD的交点为F，连接 .将直线l绕点A旋转，当线段BF的长取得最大值时，直接写出 的值.
28.在平面直角坐标系 中，已知点 和点 ，给出如下定义：以 为边，按照逆时针方向排列A，B，C，D四个顶点，作正方形 ，则称正方形 为点 ， 的逆序正方形.例如，当 ， 时，点 ， 的逆序正方形如图1所示.
(1)图1中点 的坐标为;
(2)改变图1中的点A的位置，其余条件不变，则点C的坐标不变(填“横”或“纵”)，它的值为;
(3)已知正方形ABCD为点 ， 的逆序正方形.
①判断：结论“点 落在 轴上，则点 落在第一象限内.”______(填“正确”或“错误”)，若结论正确，请说明理由;若结论错误，请在图2中画出一个反例;
②⊙ 的圆心为 ，半径为1.若 ， ，且点 恰好落在⊙ 上，直接写出 的取值范围.
数学试卷答案及评分参考
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C C A B B C A
第8题：二次函数a的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a︳越大，开口越小，显然a1
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. ， 10. 11. 2 12. 13.
14.答案不唯一，如： 15. 16.
第16题：OQ2=OP2-1,OP最小时，OQ最小，OPmin=2，∴OQmin=
三、解答题(本题共68分，第17~22题，每小题5分;第23~26题，每小题6分;第27~28题，每小题7分)解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程.
17.(本小题满分5分)
解：原式= ………………………………………………………………3分
= .…………………………………………………………………………5分
18.(本小题满分5分)
19.(本小题满分5分)
解：依题意，得 .…………………………………………………… 3分
∴ .∴ .……………………………………… 5分
20.(本小题满分5分)
解：(1)B.……………………………………………………………………………… 3分
(2) .………………………………………………………………………… 5分
21.(本小题满分5分)
(1)补全的图形如图所示：
………………………………………3分
(2)直径所对的圆周角是直角;……………………………………………………… 4分
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.…………………… 5分
22.(本小题满分5分)
解：在 中，
答：此时观光船到大桥 段的距离 的长为 千米.
23.(本小题满分6分)
解：(1)∵直线 经过点 ，
∴ .……………………………………………………………………… 1分
∴
又∵双曲线 经过点 ，
∴ .……………………………………………………………………… 2分
(2)①当 时，点 的坐标为 .
∴直线 的解析式为 .………………..………………………. 3分
∵直线 与 轴交于点 ，
∴ .……………………………………………………...4分
② 或 .………………………………………………………………… 6分
24.(本小题满分6分)
解：本题答案不唯一，如：
(1)
/cm
0 0.25 0.47 1 2 3 4 5 6
/cm
1.43 0.66 0 1.31 2.59 2.76
1.66 0
…………………………………………………………………………………………… 1分
(2)
…………………………………………………………………………………………… 4分
(3) 或 .……………………………………………………………... 6分
说明：允许(1)的数值误差范围 ;(3)的数值误差范围
25.(本小题满分6分)
(1)证明：如图，连接 .
∵ 与⊙ 相切于点 ，
∴ °.……………… 1分
(2)方法一：
解：如图，过点 作 于点 .
在 中， ，
可得 ° ， ° .…………...… 4分
在 中， ，
可得 .…………………………………………………….. 5分
∴ .…………………………………………6分
方法二：
解：如图，过点 作 于点 .
方法三：
解：如图，过点 作 于点 ，连接 .
∵ ， ，
∴ .
∴ °.…………………………… 4分
在 中， ，
设 ，则 ， .
方法四：解：如图，延长CO交AP于点M.
在 中， ， ，
可得 .…………………………4分
在 中， ，
可得 ， . ………………………………………..5分
∴ .
在 中， ，
可得 ， .
∴ ， .
∴ .…………………………………………………… 6分
26.(本小题满分6分)
解：(1)①当 时， .…………………… 1分
当 时， ，
解得 ， .
∴抛物线 与 轴的交点坐标为 ， .
…………………………………………………………………2分
②当 时，抛物线 与线段 有一个交点.
当 时，抛物线 与线段 有两个交点.
结合图象可得 .……………………… 4分
(2) 或 .……………………………………………………………… 6分
(2)解析：
y=4x2-8ax+4a2-4，y=2(x-a)2-4,
∴顶点(a,-4)，x1=a+1，x2=a-1
若抛物线与x轴交于E、F两点，则EF= ∣x1- x2∣=2
AN=∣xA- xN∣=∣n+1∣
AN≥EF时，线段AN与抛物线G有两个交点，即n≤-3或 n≥1。
27.(本小题满分7分)
(1)①证明：连接 ，如图1.
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ . ……………………… 1分
∵ ，
∴ .
∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上.………………… 2分
② . ……………………………………………………………………………3分
(2)证法一：
证明：连接 ，如图2.
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ .
∴ 是等边三角形.
…………………………………………………………………………………………… 4分
∴ ， °.
∵ ， °，
∴ 是等边三角形.
∴ .……………………………………………………………… 5分
证法二：
证明：连接 ，如图2.
∵点 与点 关于直线 对称，
∴ 是等边三角形.
∴ .
∴ ≌ ………………………………………………………4分
∴ .……………………………………………………………… 6分
(3) .………………………………………………………………………………… 7分
(3)解析：
方法一：O是AC中点，BO+OF≥BF,设BC=4，BO=√10,OF=√2，即BFmax=√10+√2，
此时tan∠FBC=1/3。
方法二：以AC为直径作圆O，∠AFC=90o, ∴F必在⊙O上，又，圆外一点到圆上最长距
离经过圆心，∴B、O、F三点共线时BF最长。计算如上。
28.(本小题满分7分)
解：(1)图1中点 的坐标为 .…………………………………………… 1分
(2)改变图1中的点 的位置，其余条件不变，则点 的纵坐标不变，
它的值为3.………………………………………………………………3分
(3)①判断：结论“点 落在 轴上，则点 落在第一象限内.”错误.
反例如图所示：
…………………………………………………………………………………………… 5分
② .…………………………………………………………… 7
方法一：
可证:C点坐标(b+a,b)A、B、C三点共圆，圆心为AC中点Q点，若C点落在⊙T上，又b>0,则⊙T所在极限位置为⊙T1与⊙T2(⊙T2与直线相切)所在位置。
T1(3，0)
a=4时，C(4+b,b)，
△ABB1≌△B1HC1
C1H=B1B=b
CH=BH-BC=b
∴C1H= CH
设C点所在直线y=mx+n
∴m=1
过点C(4+b,b)
∴y=x-4
⊙T2与直线相切
∴CT2=√2
∴T2(4+√2，0)
∵b>0 ∴
初三年级数学上册期末试卷
一、选择题(本题共 16 分，每小题 2 分)
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只.有.一个
1.已知∠A 为锐角，且 sin A=
2 ，那么∠A 等于
A.15° B.30° C.45° D.60° 2.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A = 50?，则∠BOC 的大小为
A.40° B.30° C.80° D.100° 3.已知△ ABC ∽△ A'B'C'，如果它们的相似比为 2∶3，那么它们的面积比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是
5.正方形 ABCD 内接于 O ，若 O 的半径是 2 ，则正方形的边长是
A.1 B. 2 C. 2 D. 2 2
6.如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC.若 BC ?3，DE ?1.5，AD ?2，
则 AB 的长为
A.2 B.3 C.4 D.5
第 6 题图 第 8 题图
第 2 题图 第 4 题图 第5题图
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7.若要得到函数 ? ?
2
y ? x ?1 +2 的图象，只需将函数
2
y ? x 的图象
A.先向右平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
B.先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度
C.先向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
D.先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度
8. 如图，一条抛物线与 x 轴相交于 M，N 两点(点 M 在点 N 的左侧)，其顶点 P 在线段 AB 上移动，点 A，B 的坐
标分别为(-2，-3)，(1，-3)，点 N 的横坐标的最大值为 4，则点 M 的横坐标的最小值为
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)
9.二次函数
2
y ?-2x ? 4x ?1图象的开口方向是__________.
10.Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 tanA 的值为 .
11. 如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为 2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落
在地面的同一点. 此时竹竿与这一点距离相距 6m ，与树相距 15 m ，那么这棵树的高度为 .
12.已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形的弧长是 . 13.如图所示的网格是正方形网格，则 sin∠BAC 与 sin∠DAE 的大小关系
是 . 14.写出抛物线 y=2(x-1)
2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标
可以是 和 . 15.如图，为测量河内小岛 B 到河边公路l 的距离，在l 上顺次取 A，C，D 三点，在 A 点测得∠BAD=30°，在 C 点测
得∠BCD=60°，又测得 AC=50 米，则小岛 B 到公路l 的距离为 米.
16.在平面直角坐标系 xOy 内有三点：(0，-2)，(1，-1)，(2.17，0.37).则过这三个点 (填“能”或“不能”)
画一个圆，理由是 . 三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分)解答应
写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17.已知：
. 18.计算： 2cos30?-4sin 45?+ 8 .
11 题图 13 题图
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19.已知二次函数 y = x
2-2x-3. (1)将 y = x
2-2x-3 化成 y = a (x-h)
2 + k 的形式;
(2)求该二次函数图象的顶点坐标.
20.如图，在△ABC 中，∠B 为锐角， AB ? 3 2 ，BC ?7，sin
2
2
B ? ，求 AC 的长.
21. 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，点 E 在 AB 上，AD=1，AE=2，
BC=3，BE=1.5. 求证：∠DEC=90°.
22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构
成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程. 已知: △ABC. 求作: 在 BC 边上求作一点 P, 使得△PAC∽△ABC. 作法:如图，
①作线段 AC 的垂直平分线 GH;
②作线段 AB 的垂直平分线 EF,交 GH 于点 O;
③以点 O 为圆心，以 OA 为半径作圆;
④以点 C 为圆心，CA 为半径画弧，交⊙O 于点 D(与点 A 不重合);
⑤连接线段 AD 交 BC 于点 P. 所以点 P 就是所求作的点.
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根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明. 证明: ∵CD=AC，
∴CD = . ∴∠ =∠ . 又∵∠ =∠ ，
∴△PAC∽△ABC ( )(填推理的依据). 23.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+2
与双曲线
k
y
x ? 相交于点 A(m，3). (1)求反比例函数的表达式;
(2)画出直线和双曲线的示意图;
(3)若 P 是坐标轴上一点，当 OA=PA 时. 直接写出点 P 的坐标.
24. 如图，AB 是 O 的直径，过点 B 作 O 的切线 BM，点 A，C，D 分别为 O 的三等分点，连接 AC，AD，DC，
延长 AD 交 BM 于点 E， CD 交 AB 于点 F. (1)求证：CD / /BM ;
(2) 连接 OE，若 DE=m，求△OBE 的周长.
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25. 在如图所示的半圆中，P 是直径 AB 上一动点，过点 P 作 PC⊥AB 于点 P，交半圆于点 C，连接 AC.已知 AB=6cm，
设 A，P 两点间的距离为 xcm，P，C 两点间的距离为 y1cm，A，C 两点间的距离为 y2cm. 小聪根据学习函数的经验，分别对函数 y1，y2随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小聪的探究过程，请补充完整:
(1)按照下表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1，y2与 x 的几组对应值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，
(x，y2)，并画出函数 y1，y2的图象;
(3)结合函数图象，解决问题：当△APC 有一个角是 30°时，AP 的长度约为 cm.
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26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 y ? ax ? 2ax ? c(其中 a 、c 为常数，且 a <0)与 x 轴交于点 A ??3,0?，与
y 轴交于点 B，此抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求 ?CAB 的正切值;
(3)如果点 P 是 x 轴上的一点，且 ?ABP ? ?CAO ，直接写出点 P 的坐标.
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27. 在菱形 ABCD 中，∠ADC=60°，BD 是一条对角线，点 P 在边 CD 上(与点 C，D 不重合)，连接 AP，平移 ?ADP ，
使点 D 移动到点 C，得到 ?BCQ ，在 BD 上取一点 H，使 HQ=HD，连接 HQ，AH，PH. (1) 依题意补全图 1;
(2)判断 AH 与 PH 的数量关系及∠AHP 的度数，并加以证明;
(3)若 ?AHQ ?141? ，菱形 ABCD 的边长为 1，请写出求 DP 长的思路. (可.以.不.写.出.计.算.结.果.)
图 1 备用图
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28. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(x，0)，B(x，y)，若线段 AB 上存在一点 Q 满足
? ，则称点 Q 是线段
AB 的“倍分点”.
(1)若点 A(1，0)，AB=3，点 Q 是线段 AB 的“倍分点”.
①求点 Q 的坐标;
②若点 A 关于直线 y= x 的对称点为 A′，当点 B 在第一象限时，求 QA' QB
;
(2)⊙T 的圆心 T(0， t)，半径为 2，点 Q 在直线
3
3
y ? x 上，⊙T 上存在点 B，使点 Q 是线段 AB 的“倍分点”，
直接写出 t 的取值范围.
数学试卷评分标准
一、选择题(本题共 16 分，每小题 2 分)
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只.有.一个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)
9.下 10. 3
4
11. 7m 12. 3
2?
13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15. 25 3 16.能，因为这三点不在一条直线上. 三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27，28 题，每小题 7 分)
17.解：∵
18.解：原式 ? ? ………………………3 分 = 3-2 2+2 2 ………………………4 分 = 3 ………………………5 分
19.解：(1)y=x
2-2x-3 =x
2-2x+1-1-3……………………………2 分
=(x-1)
2-4.……………………3 分
(2)∵y=(x-1)
2-4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是(1，-4).………………………5 分
20.解：作 AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵sin
2
2
B ? ，
∴∠B=∠BAD=45°.………………2 分
∵AB ? 3 2 ，
∴AD=BD=3.…………………………3 分
∵BC ?7，∴DC=4. ∴在 Rt△ACD 中，
2 2 AC ? AD ? DC ? 5.…………………………5 分
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21.(1)证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
∵AD∥BC，∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2 分
∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，
∴
1 2
1.5 3 ? .∴
AD AE
BE BC
?
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3 分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5 分
22.(1)补全图形如图所示:………………2 分
(2) AC ,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，
有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5 分
23.解：(1)∵直线 y=x+2 与双曲线
k
y
x ? 相交于点 A(m，3)
∴3=m+2，解得 m=1. ∴A(1，3)……………………………………1 分
把 A(1，3)代入
k
y
x ? 解得 k=3， ? 3
y
x ? ……………………………………2 分
(2)如图……………………………………4 分
(3)P(0，6)或 P(2，0) ……………………………………6 分
24.证明：(1)∵点 A、C、D 为 O 的三等分点， ∴ AD ? DC ? AC , ∴AD=DC=AC. ∵AB 是 O 的直径， ∴AB⊥CD. ∵过点 B 作 O 的切线 BM， ∴BE⊥AB. ∴CD / /BM .…………………………3 分
(2) 连接 DB. ?由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在 Rt△DBE 中，由 DE=m，解得 BE=2m，DB= 3 m. ?在 Rt△ADB 中利用 30°角，解得 AB=2 3 m，OB= 3 m.…………………4 分
?在 Rt△OBE 中，由勾股定理得出 OE= 7 m.………………………………5 分
④计算出△OBE 周长为 2m+ 3 m+ 7 m.………………………………6 分
25.(1)3.00…………………………………1 分
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(2)…………………………………………4 分
(3)1.50 或 4.50……………………………2 分
26.解：(1)由题意得，抛物线 2 y ? ax ? 2ax ? c 的对称轴是直线
∵a<0，抛物线开口向下，又与 x 轴有交点，∴抛物线的顶点 C 在 x 轴的上方. 由于抛物线顶点 C 到 x 轴的距离为 4，因此顶点 C 的坐标是??1,4? . 可设此抛物线的表达式是 ? ?
2 y ? a x ?1 ? 4，
由于此抛物线与 x 轴的交点 A 的坐标是??3,0? ，可得 a ? ?1. 因此，抛物线的表达式是 2 y ? ?x ? 2x ? 3.………………………2 分
(2)点 B 的坐标是?0,3? . 联结 BC .∵ 2 AB ?18 ， 2 BC ? 2 ， 2 AC ? 20 ，得 2 2 2 AB ? BC ? AC . ∴△ ABC 为直角三角形， ?ABC ? 90
AB
? ? ? . 即?CAB 的正切值等于
1
3
.………………4 分
(3)点 p 的坐标是(1，0).………………6 分
27.(1)补全图形，如图所示.………………2 分
(2)AH 与 PH 的数量关系：AH=PH，∠AHP=120°. 证明：如图，由平移可知，PQ=DC. ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ADC=60°，
∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ. ∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°. ∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP. ∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5 分
(3)求解思路如下：
第 12 页 共 12 页
由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°. a.在△ABH 中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°. b.在△AHP 中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°. c.在△ADB 中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°. 由 a、b、c 可得∠DAP=21°. 在△DAP 中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，
从而求得 DP 长.…………………………………7 分
28.解：(1)∵A(1，0)，AB=3
∴B(1，3)或 B(1，-3)
∵
1
2
QA
QB
? ∴Q(1，1)或 Q(1，-1)………………3 分
(2)点 A(1，0)关于直线 y= x 的对称点为 A′(0，1)
∴QA =QA′
∴ QB
QA? 2
1 ?
………………5 分
(3)-4≤t≤4………………7 分
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