初三九年级数学上学期期末试卷
我们在学习的时候大家要多做数学题，今天小编就给大家来分享一下九年级数学，仅供参考哦
关于九年级数学上学期期末试卷
一、选择题(本大题共10题，每小题3分，满分30分)
1.方程 的解是 ( ▲ )
A. B. C. 或 D. 或
2.如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC=36°，则∠BOC的度数为 ( ▲ )
A.75° B.72°
C.64° D.54°
3.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数(cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( ▲ )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.下列调查中，不适合采用抽样调查的是 ( ▲ )
A.了解全国中小学生的睡眠时间 B.了解无锡市初中生的兴趣爱好
C.了解江苏省中学教师的健康状况 D.了解航天飞机各零部件的质量
5.若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( ▲ )
A.k≠0 B.k>4 C. k<4 D. k<4且k≠0
6.已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是 ( ▲ )
A.10πcm2 B.14πcm2 C.20πcm2 D.28πcm2
7.已知正六边形的边长为2，则它的内切圆半径为 ( ▲ )
A.1 B. C.2 D.2
8.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE、AC，分别交BD于M、N，则BM：DN等于 ( ▲ )
A.1:2 B.1:3 C.2:3 D.3:4
9.如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是( ▲ )
A.π B. C.2 D.
10.已知二次函数 与x轴最多有一个交点，现有以下三个结论：①该抛物线的对称轴在y轴左侧;②关于x的方程 无实数根;③ ≥0.其中，正确结论的个数为 ( ▲ )
A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题(本大题共8小题，共8空，每空2分，共16分.)
11.抛物线y=(x+2) 2﹣5的顶点坐标是 ▲ .
12.用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4=0时，可变形为 的形式，则 的值为 ▲ .
13.已知 ，则代数式 的值为 ▲ .
14.某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元.则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为 ▲ .
15.已知△ABC∽△DEF，其相似比为1:4，则△ABC与△DEF的面积比为 ▲ .
16.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为45°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走4米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i=1：2.4，那么大树CD的高度为 ▲ .
17.如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(∠O)为120°，A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是 ▲ .
18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=15，DA=5 ，则BD的长为 ▲ .
三、解答题(本大题共84分)
19.(本题共有2小题，每小题4分，共8分)
(1)计算： ; (2)化简： .
20.解方程或不等式组(本题共有2小题，每小题4分，共8分)
(1)解方程： ; (2)解不等式组：
21.(本题满分8分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(4，0)，C(4，-4).
(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△ ;
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的 ，得到△ ，请在y轴右侧画出△ ，并求出∠ 的正弦值.
22.(本题满分8分)快乐的寒假来临啦!小明和小丽计划在假期间去无锡旅游.他们选取鼋头渚(记为A)、梅园(记为B)、锡惠公园(记为C)等三个景点为游玩目标.如果他们各自在三个景点中任选一个作为游玩的第一站(每个景点被选为第一站的可能性相同)，那么他们都选择鼋头渚(记为A)景点为第一站的概率是多少?(请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程)
23.(本题满分8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E.
(1)求证：AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10，CD= ，求图中阴影部分的面积.
24.(本题满分8分)在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标，如图，O(0，0)、B(6，0)、C(6，8)，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.
(1)某时刻海面上出现一渔船A，在观测点O测得A位于北偏东45°，同时在观测点B测得A位于北偏东30°，求观测点B到A船的距离.( )
(2)若渔船A由(1)中位置向正西方向航行，是否会进入海洋生物保护区?通过计算回答.
25.(本题满分9分)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如表：
产品 每件售价(万元) 每件成本(万元) 每年其他费用(万元) 每年最大产销量(件)
甲 8 a 20 200
乙 20 10 30+0.05x2 90
其中a为常数，且5≤a≤7
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为 万元、 万元，直接写出 、 与x的函数关系式;(注：年利润=总售价﹣总成本﹣每年其他费用)
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由.
26.(本题满分8分)
【定义】如图1，点P为∠MON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，如果∠APB绕点P旋转时始终满足 ，我们就把∠APB叫做∠MON的智慧角.请利用“智慧角”的定义解决下列两个问题：
【运用】如图2，已知∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM，ON交于A，B两点，且∠APB=120°.求证：∠APB是∠MON的智慧角.
【探究】如图3，已知∠MON= (0°< <90°)，OP=4，若∠APB是∠MON的智慧角，连接AB，试用含 的代数式分别表示∠APB的度数和△AOB的面积.
27.(本题满分9分)一次函数y= x的图像如图所示，它与二次函数y=ax2+2ax+c的图像交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图像的对称轴交于点C.
(1)求点C的坐标;
(2)设二次函数图像的顶点为D.若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于 ，求此二次函数的关系式.
28.(本题满分10分)已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm.点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s;同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F;当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF，设运动时间为t(s)(0
(1)当t为何值时，四边形APFD是平行四边形?
(2)设四边形APFE的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式;
(3)是否存在某一时刻t，使S四边形APFE∶S菱形ABCD=17∶40?若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离;若不存在，请说明理由.
初三数学期末考试参考答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.D 2. B 3.A 4. D 5. C
6. A 7. B 8. C 9. B 10.D
二、填空题(每小题2分，共16分)
11. (-2，-5) 12. 5 13. -2019 14. 10%
15. 1：16 16.11 17. 18.
三、解答题(共84分)
19. (1)原式=1+ …………………………………………………3分
= ………………………………………………4分
(2)原式= …………………………………………………………3分
= …………………………………………………………4分
20. (1)解：(x-3)(x-3-2)=0 ………………………………………………………2分
x-3=0，x-5=0 ………………………………………………………………3分
， ……………………………………………………………4分
(2)解：由①得： ………………………………………………………1分
由②得： ………………………………………………………3分
∴原不等式组的解集 …………………………………………4分
21.
正确作出△ (正确作出一个点给1分)…………………………………3分
正确作出△ (正确作出一个点给1分)…………………………………6分
求得∠ 的正弦值为 .…………………………………………………8分
22. (1)列表得：
小丽 小明 A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
……………………………………………………………………………………………………4分
一共有9种等可能的情况，都选择A为第一站的有1种情况，……………………………6分
所以P(都选择鼋头渚为第一站)=19.………………………………………………………8分
(画树状图参考给分)
23. (1) (1)证明：连接OD，如图，
∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，
…………………………………………………………………………………………………2分
∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，∴AC是⊙O的切线;…………………………………4分
(2)过O作OG⊥BC，连接OE，
则四边形ODCG为矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD= ，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=5，
∴BE=10，则△OBE是等边三角形，………………………………………………………6分
∴阴影部分面积为 .………………………8分
24. (1)过点A作AD⊥ 轴于点D，依题意，得∠BAD=30°，
在Rt△ABD中，设BD= ，则AB=2 ，
由勾股定理得，AD= ，
由题意知：OD=OB+BD=6+ ，在Rt△AOD中，OD=AD，6+ = …………2分
∴ =3( +1)，……………………………………………………………………3分
∴AB=2 =6( +1)≈16.2……………………4分
即：观测点B到A船的距离为16.2.
(3)连接CB，CO，则CB∥y轴，
∴∠CBO=90°，
设O′为由O、B、C三点所确定圆的圆心.
则OC为⊙O′的直径.
由已知得OB=6，CB=8，由勾股定理得OC=
∴半径OO′=5………………………………………………………………………5分
过点A作AG⊥y轴于点G.
过点O′作O′E⊥OB于点E，并延长EO′交AG于点F.
由垂径定理得，OE=BE=3.
∴在Rt△OO′E中，由勾股定理得，O′E=4………………………………………6分
∵四边形FEDA为矩形.
∴EF=DA，而AD= =9+3
∴O′F=9+3 -4=5+3 …………………………………………………………7分
∵5+3 >5，即O′F>r
∴直线AG与⊙O′相离，A船不会进入海洋生物保护区.…………………………8分
25. (1) 解：(1)y1=(8-a)x-20，(0
= .(0
(2)对于y1=(8-a)x-20，∵8-a>0，
∴x=200时，y1的值最大=(1580-200a)万元.……………………………………………4分
对于 ，
∵0
∴x=90时， 最大值=465万元.…………………………………………………………6分
(3)①(1580-200a)=465，解得a=5.575，
②(1580-200a)>465，解得a<5.575，
③(1580-200a)<465，解得a>5.575，
∵5≤a≤7，
∴当a=5.575时，生产甲乙两种产品的利润相同.
当5≤a<5.575时，生产甲产品利润比较高.
当5.575
26. 【运用】证明：∵∠MON=120°，点P为∠MON的平分线上一点，
∴ .
∵ ，∴ .
∵ ，∴ .∴ .……………2分
∴ ……………………………………………………………3分
.∴ ，即 .
∴∠APB是∠MON的智慧角. ……………………………………………………4分
【探究】∵∠APB是∠MON的智慧角，
∴ ，即 .
∵点P为∠MON的平分线上一点，
∴ .
∴ .∴ .
∴ .…………………………6分
如图，过点A作AH⊥OB于点H，
∴ .
∵OP=4，∴ .…………………………8分
27.解：(1)∵抛物线的对称轴为x= =-1，……………………………2分
∵将x=-1代入y= x得：y= ，
∴点C的坐标为(-1， ).………………………………………………4分
(2)①∵点D与点C关于x轴对称，
∴点D的坐标为(-1，- ).………………………………………………5分
∴CD= .
设△ACD的CD边上的高为h，则 h= ，解得h=4
∴点A的横坐标为-4-1=-5，则点A的纵坐标为 .
即A(-5， )………………………………………………………………6分
设抛物线的解析式为 ，……………………………………7分
将A(-5， )代入得： = .
解得： .…………………………………………………………………8分
∴抛物线的解析式为 .………………………………………9分
28. 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，OA=OC= AC=6，OB=OD= BD=8.
在Rt△AOB中，AB= =10.
∵EF⊥BD，
∴∠FQD=∠COD=90°.
又∵∠FDQ =∠CDO，
∴△DFQ∽△DCO.
∴ = .
即 = ，
∴DF= t.………………………………………………………………1分
∵四边形APFD是平行四边形，
∴AP=DF.
即10-t= t，……………………………………………………………2分
解这个方程，得t= .
答：当t= s时，四边形APFD是平行四边形.……………………3分
(2)过点C作CG⊥AB于点G，
∵S菱形ABCD=AB•CG= AC•BD，
即10•CG= ×12×16，
∴CG= .
∴S梯形APFD= (AP+DF)•CG
= (10-t+ t)• = t+48.…………………………4分
∵△DFQ∽△DCO，
∴ = .
即 = ，
∴QF= t.
同理，EQ= t.
∴EF=QF+EQ= t.
∴S△EFD= EF•QD= × t×t= t2.………………………………5分
∴y=( t+48)- t2=- t2+ t+48.………………………………6分
(3)若S四边形APFE∶S菱形ABCD=17∶40，
则- t2+ t+48= ×96，
即5t2-8t-48=0，
解这个方程，得t1=4，t2=- (舍去)………………………………8分
过点P作PM⊥EF于点M，PN⊥BD于点N，
当t=4时，
∵△PBN∽△ABO，∴ = = ，即 = = .
∴PN= ，BN= .
∴EM=EQ-MQ= = .
PM=BD-BN-DQ= = .
在Rt△PME中，
PE= = = (cm). …………………10分
说明：第27题的答案不完整，补充如下：
注：1.最后：直线y=- 43x与抛物线y=- 16(x+1)2- 43相切于点A，仍不合题意，应舍去;
2.建议抛物线的解析式最后用一般式，因为题目中出现的是一般式.(补充完毕#)
九年级数学上学期期末试卷
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1. 二次函数 的顶点坐标是
A.(1，-3) B.(-1，-3) C.(1，3) D.(-1，3)
2.如图，在△ABC中，M，N分别为AC，BC的中点.则△CMN与△CAB的面积之比是
A.1:2 B. 1:3 C.1:4 D.1:9
3.如图，在⊙O中，A，B，D为⊙O上的点，∠AOB=52°，则∠ADB的度数
是
A.104° B.52° C.38° D.26°
4. 如图，在 中，DE∥BC，若 ,AE=1,则EC等于
A.1 B. 2 C.3 D.4
5. 如图，点P在反比例函数 的图象上，PA⊥x轴于点A，
则△PAO的面积为
A.1 B.2 C.4 D.6
6. 如图，在△ABC中， ，若AD=2,BD=3,则AC长为
A. B. C. D.
7. 抛物线 与x轴有两个交点，则 的取值范围为
A. B. C. D.
8. 已知二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=kx+n(k≠0)的图象如图所示，
下面有四个推断:
①二次函数y1有最大值
②二次函数y1的图象关于直线 对称
③当 时，二次函数y1的值大于0
④过动点P(m，0)且垂直于x轴的直线与y1，y2的图象的交点分别
为C，D，当点C位于点D上方时，m的取值范围是m<-3或m>-1.
?其中正确的是
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9. 已知点A(1，a)在反比例函数 的图象上，则a的值为 .
10.请写出一个开口向上，并且与y轴交点在y轴负半轴的抛物线的表达式：_______.
11. 如图，在⊙O中，AB为弦，半径OC⊥AB于E，如果AB=8，CE=2，
那么⊙O的半径为 .
12. 把二次函数 化为 的形式，那么 =_____.
13. 如图，∠DAB=∠CAE，请你再添加一个条件____________，
使得△ABC∽△ADE.
14. 若一个扇形的圆心角为45°，面积为6π，则这个扇形的半径为 .
15. 为测量学校旗杆的高度，小明的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板DEF的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上. 测得DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米.按此方法，请计算旗杆的高度为 米.
16.如图1，将一个量角器与一张等边三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形，CD⊥AB,垂足为D，半圆(量角器)的圆心与点D重合，此时，测得顶点C到量角器最高点的距离CE=2cm，将量角器沿DC方向平移1cm，半圆(量角器)恰与△ABC的边AC，BC相切，如图2,则AB的长为 cm.
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)
17.计算： .
18. 下面是小西“过直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.
已知：直线l及直线l外一点P.
求作：直线PQ，使得PQ⊥l.
做法：如图，
①在直线l的异侧取一点K，以点P为圆心，PK长为半径画弧，交直线l于点A，B;
②分别以点A，B为圆心，大于 AB的同样长为半径画弧，两弧交于点Q(与P点不重合);
③作直线PQ，则直线PQ就是所求作的直线.
根据小西设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明：∵PA= ，QA= ,
∴PQ⊥l( )(填推理的依据).
19.如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A1B1C1，要求：A1，B1，C1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A1B1C1的面积.
20. 如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AD=BC. 已知A(﹣2，0)，B(6，0)，D(0，3)，函数 的图象G经过点C.
(1)求点C的坐标和函数 的表达式;
(2)将四边形ABCD向上平移2个单位得到四边形 ，问点 是否落在图象G上?
21. 小磊要制作一个三角形的模型，已知在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条
边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积为S(单位：cm2).
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?[来
22. 如图，在△ABC中，∠ACB= ，D为AC上一点，DE⊥AB于点E，AC=12，BC=5.
(1)求 的值;
(2)当 时，求 的长.
23. 如图，反比例函数 的图象与一次函数 的图象
分别交于M，N两点，已知点M(-2，m).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标.
24. 如图， ， 是⊙ 的两条切线， ， 为切点，连接 并延长交AB于点D，交⊙ 于点E，连接 ，连接 .
(1)求证： ∥ ;
(2)若 ，tan∠ = ，求 的长.
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，连接CD，过点B作CD的垂线，交CD延长线于点E. 已知AC=30，cosA= .
(1)求线段CD的长;
(2)求sin∠DBE的值.
26. 在平面直角坐标系 中，点 ，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.
(1)直接写出点B的坐标;
(2)若抛物线 经过点A,B，求抛物线的表达式;
(3)若抛物线 的顶点在直线 上移动，当抛物线与线段 有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标 的取值范围.
27. 如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC， 作AD的垂直平分线EF交AD于点E，交BC的延长线于点F，交AB于点G，交AC于点H.
(1)依题意补全图形;
(2)求证：∠BAD=∠BFG;
(3)试猜想AB，FB和FD之间的数量关系并进行证明.
28. 如图，在平面直角坐标系 中，已知点A(1，2)，B(3，2)，连接AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“临近点”.
(1)在点C(0，2)，D(2， )，E(4，1)中，线段AB的“临近点”是__________;
(2)若点M(m，n)在直线 上，且是线段AB的“临近点”，求m的取值范围;
(3)若直线 上存在线段AB的“临近点”，求b的取值范围.
答案
一.选择题(本题共16分，每小题2分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D B A C C D
二.填空题(本题共16分，每小题2分)
9. -12 10.略 11. 5 12. 3 13.略 14. 15. 11.5 16.
三. 解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)
17.
……………………4分
. ……………………………………5分
18. (1)如图所示 ………………………………………1分
(2)PA=PB，QA=QB …………………………………3分
依据：①到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上;
②两点确定一条直线. ………………………………………5分
19. 画图略 …………………………………………………3分
面积略 ……………………………………………………5分
20. (1)C(4，3)， ……………………………………………1分
反比例函数的解析式y= ; ………………………3分
(2)点B′恰好落在双曲线上. …………………………5分
21.(1) …………………………2分
(2)∵ <0，∴S有最大值， …………………………3分
当 时，S有最大值为
∴当x为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm2. …………………………5分
22. 解:如图，(1)∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°.
∴∠A+∠ADE=90°.
∵∠ACB= ，
∴∠A+∠B=90°.
∴∠ADE=∠B. ………………………………1分
在Rt△ABC中，∵AC=12，BC=5，
∴AB=13.
∴ .
∴ . ………………………………2分
(2)由(1)得 ，
设 为 ，则 . ………………………………3分
∵ ，
∴ . .………………………………4分
解得 .
∴ . ……………………………5分
23. (1)∵点M(-2，m)在一次函数 的图象上，
∴ .
∴M(-2，1). ……………………………2分
∵反比例函数 的图象经过点M(-2，1)，
∴k=-2×1=-2.
∴反比例函数的表达式为 . ……………………………4分
(2)点P的坐标为(0， )或(0， )……………………………6分
24. (1) 证明：连结 ,
∵ ， 是⊙ 的两条切线， ， 为切点，
∴ , ………………………………1分
∴OA⊥BC.
∵CE是⊙ 的直径,
∴∠CBE=90°，
∴ OA∥BE. ………………………………2分
(2)∵OA∥BE,
∴∠BEO=∠AOC.
∵tan∠BEO= ,
∴tan∠AOC= .………………………………3分
在Rt△AOC中,设OC=r,则AC= r, OA= r ………………………4分
∴在Rt△CEB中,EB= r.
∵BE∥OA,
∴△DBE∽△DAO
∴ , ………………………………………………………………5分
,
∴DO=3. ………………………………6分
25. ⑴∵∠ACB=90°，AC=30，cosA= ，
∴BC=40，AB=50. ……………………2分
∵D是AB的中点，
∴CD= AB=25. …………………………3分
(2)∵CD=DB,
∴∠DCB=∠DBC. ………………………4分
∴cos∠DCB=cos∠DBC= .
∵BC=40,
∴CE=32， ……………………5分
∴DE=CE CD=7,
∴sin∠DBE= . ……………………6分
26. (1) ……………………2分
(2) 抛物线 过点 ，
∴ , 解得
∴抛物线表达式为 ………………………4分
(3) 抛物线 顶点在直线 上
∴抛物线顶点坐标为
∴抛物线表达式可化为 .
把 代入表达式可得
解得 .
∴ .
把 代入表达式可得 .
解得
∴ .
综上可知 的取值范围时 或 . …………………6分
27. (1)补全图形如图; ……………………………2分
(2)证明:∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD
∵FE⊥AD, ∠ACF=90°, ∠AHE=∠CHF
∴∠CFH=∠CAD
∴∠BAD=∠CFH, 即∠BAD=∠BFG ……………4分
(3)猜想:
证明：连接AF，
∵EF为AD的垂直平分线，
∴ AF=FD，∠ DAF=∠ ADF，……………………5分
∴ ∠ DAC+∠ CAF=∠ B+∠ BAD，
∵ AD是角平分线，
∴ ∠ BAD=∠ CAD
∴ ∠ CAF=∠ B，
∴ ∠ BAF=∠ BAC+∠ CAF
=∠ BAC+∠ B=90°………………………6分
∴
∴ ………………………………7分
28.(1)C、D ………………………………………2分
(2)如图，设 与y轴交于M，与A2B2交于N，
易知M(0,2)，∴m≥0，
易知N的纵坐标为1，代入 ，可求横坐标为 ，
∴m≤
∴0≤m≤ . …………………………………………4分
(3)当直线 与半圆A相切时， …………5分
当直线 与半圆B相切时， . …………6分
∴ ……………………………………………7分
九年级数学上学期期末试题及答案
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1.已知∠A为锐角，且sinA= ，那么∠A等于
A.15° B.30° C.45° D.60°
2.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A= ，则∠BOC的大小为
A.40° B.30° C.80°D.100°
3.已知△ ∽△ ，如果它们的相似比为2∶3，那么它们的面积比是
A.3:2 B. 2:3 C.4:9 D.9:4
4.下面是一个反比例函数的图象，它的表达式可能是
A. B. C. D.
5.正方形ABCD内接于 ，若 的半径是 ，则正方形的边长是
A. B. C. D.
6.如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC.若BC 3，DE 1.5，AD 2，
则AB的长为
A.2 B.3 C.4 D.5
7.若要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
8.如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点(点M在点N的左侧)，其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为(-2，-3)，(1，-3)，点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为
A.-1 B.-3 C.-5 D.-7
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9.二次函数 图象的开口方向是__________.
10.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tanA的值为 .
11.如图，为了测量某棵树的高度，小颖用长为2 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时竹竿与这一点距离相距6 ，与树相距15 ，那么这棵树的高度为.
12.已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的弧长是.
13.如图所示的网格是正方形网格，则sin∠BAC与sin∠DAE的大小关系是.
14.写出抛物线y=2(x-1)2图象上一对对称点的坐标，这对对称点的坐标
可以是和.
15.如图，为测量河内小岛B到河边公路 的距离，在 上顺次取A，C，D三点，在A点测得∠BAD=30°，在C点测得∠BCD=60°，又测得AC=50米，则小岛B到公路 的距离为米.
16.在平面直角坐标系xOy内有三点：(0，-2)，(1，-1)，(2.17，0.37).则过这三个点(填“能”或“不能”)画一个圆，理由是.
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.已知： .求： .
18.计算： .
19.已知二次函数y=x2-2x-3.
(1)将y=x2-2x-3化成y=a (x-h)2+k的形式;
(2)求该二次函数图象的顶点坐标.
20.如图，在△ABC中，∠B为锐角， AB ，BC 7， ，求AC的长.
21.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5.
求证：∠DEC=90°.
22.下面是小东设计的“在三角形一边上求作一个点，使这点和三角形的两个顶点构成的三角形与原三角形相似”的尺规作图过程.
已知:△ABC.
求作:在BC边上求作一点P,使得△PAC∽△ABC.
作法:如图，
①作线段AC的垂直平分线GH;
②作线段AB的垂直平分线EF,交GH于点O;
③以点O为圆心，以OA为半径作圆;
④以点C为圆心，CA为半径画弧，交⊙O于点D(与点A不重合);
⑤连接线段AD交BC于点P.
所以点P就是所求作的点.
根据小东设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明: ∵CD=AC，
∴ =.
∴∠=∠.
又∵∠=∠，
∴△PAC∽△ABC ()(填推理的依据).
23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2
与双曲线 相交于点A(m，3).
(1)求反比例函数的表达式;
(2)画出直线和双曲线的示意图;
(3)若P是坐标轴上一点，当OA=PA时.
直接写出点P的坐标.
24.如图，AB是 的直径，过点B作 的切线BM，点A，C，D分别为 的三等分点，连接AC，AD，DC，延长AD交BM于点E，CD交AB于点F.
(1)求证： ;
(2)连接OE，若DE=m，求△OBE的周长.
25.在如图所示的半圆中， P是直径AB上一动点，过点P作PC⊥AB于点P，交半圆于点C，连接AC.已知AB=6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A，C两点间的距离为y2cm.
小聪根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小聪的探究过程，请补充完整:
(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值;
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y1/cm 0 2.24 2.83 2.83 2.24 0
y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 5.48 6
(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x，y1)，
(x，y2)，并画出函数y1，y2的图象;
(3)结合函数图象，解决问题：当△APC有一个角是30°时，AP的长度约为cm.
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 (其中 、 为常数，且 <0)与x轴交于点A ，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求 的正切值;
(3)如果点 是x轴上的一点，且 ，直接写出点P的坐标.
27.在菱形ABCD中，∠ADC=60°，BD是一条对角线，点P在边CD上(与点C，D不重合)，连接AP，平移 ，使点D移动到点C，得到 ，在BD上取一点H，使HQ=HD，连接HQ，AH，PH.
(1)依题意补全图1;
(2)判断AH与PH的数量关系及∠AHP的度数，并加以证明;
(3)若 ，菱形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路. (可以不写出计算结果)
28.在平面直角坐标系xOy中，点A(x，0)，B(x，y)，若线段AB上存在一点Q满足 ，则称点Q是线段AB的“倍分点”.
(1)若点A(1，0)，AB=3，点Q是线段AB的“倍分点”.
①求点Q的坐标;
②若点A关于直线y= x的对称点为A′，当点B在第一象限时，求 ;
(2)⊙T的圆心T(0， t)，半径为2，点Q在直线 上，⊙T上存在点B，使点Q是线段AB的“倍分点”，直接写出t的取值范围.
数学试卷评分标准
一、选择题(本题共16分，每小题2分)
下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C B B C A C
二、填空题(本题共16分，每小题2分)
9.下10. 11. 12. 13.sin∠BAC>sin∠DAE
14.(2，2)，(0，2)(答案不唯一)15. 16.能，因为这三点不在一条直线上.
三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)
17.解：∵ ，∴ = +1= .………………………5分
………………………3分
………………………4分
………………………5分
19.解：(1)y=x2-2x-3
=x2-2x+1-1-3……………………………2分
=(x-1)2-4.……………………3分
(2)∵y=(x-1)2-4，
∴该二次函数图象的顶点坐标是(1，-4).………………………5分
20.解：作AD⊥BC于点D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵ ，
∴∠B=∠BAD=45°.………………2分
∵AB ，
∴AD=BD=3.…………………………3分
∵BC 7，∴DC=4.
∴在Rt△ACD中，
.…………………………5分
21.(1)证明：∵AB⊥BC，∴∠B=90°.
∵AD∥BC，∴∠A=90°.∴∠A=∠B.………………2分
∵AD=1，AE=2，BC=3，BE=1.5，
∴ .∴
∴△ADE∽△BEC.∴∠3=∠2.………………3分
∵∠1+∠3=90°,∴∠1+∠2=90°.
∴∠DEC=90°.………………5分
22.(1)补全图形如图所示:………………2分
(2) ,∠CAP=∠B，∠ACP=∠ACB，
有两组角对应相等的两个三角形相似.………………5分
23.解：(1)∵直线y=x+2与双曲线 相交于点A(m，3).
∴3=m+2，解得m=1.
∴A(1，3)……………………………………1分
把A(1，3)代入 解得k=3，
……………………………………2分
(2)如图……………………………………4分
(3)P(0，6)或P(2，0) ……………………………………6分
24.证明：(1)∵点A、C、D为 的三等分点，
∴ , ∴AD=DC=AC.
∵AB是 的直径，
∴AB⊥CD.
∵过点B作 的切线BM，
∴BE⊥AB.
∴ .…………………………3分
(2) 连接DB.
由双垂直图形容易得出∠DBE=30°，在Rt△DBE中，由DE=m，解得BE=2m，DB= m.
在Rt△ADB中利用30°角，解得AB=2 m，OB= m.…………………4分
在Rt△OBE中，由勾股定理得出OE= m.………………………………5分
④计算出△OBE周长为2m+ m+ m.………………………………6分
25.(1)3.00…………………………………1分
(2)…………………………………………4分
(3)1.50或4.50……………………………2分
26.解：(1)由题意得，抛物线 的对称轴是直线 .………1分
∵a<0，抛物线开口向下，又与 轴有交点，∴抛物线的顶点C在x轴的上方.
由于抛物线顶点C到x轴的距离为4，因此顶点C的坐标是 .
可设此抛物线的表达式是 ，
由于此抛物线与 轴的交点 的坐标是 ，可得 .
因此，抛物线的表达式是 .………………………2分
(2)点B的坐标是 .
联结 .∵ ， ， ，得 .
∴△ 为直角三角形， .
所以 .
即 的正切值等于 .………………4分
(3)点p的坐标是(1，0).………………6分
27.(1)补全图形，如图所示.………………2分
(2)AH与PH的数量关系：AH=PH，∠AHP=120°.
证明：如图，由平移可知，PQ=DC.
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AD=DC，∠ADB=∠BDQ=30°.∴AD=PQ.
∵HQ=HD，∴∠HQD=∠HDQ=30°.∴∠ADB=∠DQH，∠DHQ=120°.
∴△ADH≌△PQH.∴AH=PH，∠AHD=∠PHQ.∴∠AHD+∠DHP =∠PHQ+∠DHP.
∴∠AHP=∠DHQ. ∵∠DHQ=120°，∴∠AHP=120°.………………5分
(3)求解思路如下：
由∠AHQ=141°，∠BHQ=60°解得∠AHB=81°.
a.在△ABH中，由∠AHB=81°，∠ABD=30°，解得∠BAH=69°.
b.在△AHP中，由∠AHP=120°，AH=PH，解得∠PAH=30°.
c.在△ADB中，由∠ADB=∠ABD= 30°，解得∠BAD=120°.
由a、b、c可得∠DAP=21°.
在△DAP中，由∠ADP= 60°，∠DAP=21°，AD=1，可解△DAP，
从而求得DP长.…………………………………7分
28.解：(1)∵A(1，0)，AB=3
∴B(1，3)或B(1，-3)
∵
∴Q(1，1)或Q(1，-1)………………3分
(2)点A(1，0)关于直线y= x的对称点为A′(0，1)
∴QA =QA′
∴ ………………5分
(3)-4≤t≤4………………7分
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