九年级数学上学期期末试卷题
在数学的学习时候只要我们找到方法很快就可以学习会了，今天小编就给大家来分享一下九年级数学，仅供借鉴
九年级数学上期末试卷参考
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中)
1.如图所示的几何体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
2.一元二次方程x2+4x=5配方后可变形为( )
A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21
3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R的函数表达式为( )
A.I= B.I= C.I= D.I=
4.如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距( )米.
A.1 B.2 C.3 D.5
5.一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab<0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分，共18分)
7.若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则k的值为 .
8.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 .
9.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为 .
10.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足 .
11.如图，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积32，则k的值为 .
12.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是 .(填序号即可)
①△BEF∽△CHE
②AG=1
③EH=
④S△BEF=3S△AGH
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共计30分)
13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.
14.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形.
15.如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图.
(1)在图1中，作AD的中点P;
(2)在图2中，作AB的中点Q.
16.已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.
(1)求证：无论k取何值，原方程总有实数根;
(2)若原方程的两实根都小于4，且k为正整数，直接写出k的值.
17.小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、肉包各1个，萝卜包2个，这些包子除馅外无其他差别.
(1)小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少?
(2)请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率.
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18.如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点.
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置;
(2)求路灯OC的高.
19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x轴于点P.
(1)∠ACB的度数为 ;
(2)P点坐标为 ;
(3)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，请在图中画出所有符合条件的三角形.
20.某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x(元∕件) … 30 40 50 60 …
每天销售量y(件) … 500 400 300 200 …
(1)研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式;
(2)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元?
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21.如图，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF与BE交于点G，∠AGB=60°.
(1)求证：AF=DE;
(2)若AB=6，BC=8，求AF.
22.如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B.
(1)填空：n的值为 ，k的值为 ;
(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标;
(3)观察反比例函数y=的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围.
六、解答题(本大题共12分)
23.阅读下列材料，并按要求解答.
【模型介绍】
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图.
【性质探究】
性质1：如图①，若EC=FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1.
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2，AB=5.求BD.
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF.交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点.
(1)请你完成性质1的证明过程;
(2)请分别解答应用1，应用2提出的问题.
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。每小题只有一个正确选项，请将这个正确的选项填在下面的表格中)
1.如图所示的几何体的俯视图是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据俯视图的作法即可得出结论.
【解答】解：从上往下看该几何体的俯视图是D.
故选：D.
【点评】本题考查的是简单几何体的三视图，熟知俯视图的作法是解答此题的关键.
2.一元二次方程x2+4x=5配方后可变形为( )
A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=9 C.(x﹣2)2=9 D.(x﹣2)2=21
【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得.
【解答】解：∵x2+4x=5，
∴x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9，
故选：B.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键.
3.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则I与R的函数表达式为( )
A.I= B.I= C.I= D.I=
【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，再把(6，2)代入可得k的值，进而可得函数解析式.
【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，
∵过(6，2)，
∴k=6×2=12，
∴I=，
故选：A.
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式.
4.如图，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子DA恰好与甲影子CA在同一条直线上，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙两同学相距( )米.
A.1 B.2 C.3 D.5
【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答.
【解答】解：设两个同学相距x米，
∵△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得：x=1.
故选：A.
【点评】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答.
5.一次函数y=ax+b与反比例函数y=，其中ab<0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab<0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置.
【解答】解：A、由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a﹣b>0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项不正确;
B、由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴正半轴，则b>0，
满足ab<0，
∴a﹣b<0，
∴反比例函数y=的图象过二、四象限，
所以此选项不正确;
C、由一次函数图象过一、三象限，得a>0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab<0，
∴a﹣b>0，
∴反比例函数y=的图象过一、三象限，
所以此选项正确;
D、由一次函数图象过二、四象限，得a<0，交y轴负半轴，则b<0，
满足ab>0，与已知相矛盾
所以此选项不正确;
故选：C.
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键.
6.如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点，BE交AC于点F，DF的长为( )
A. B. C. D.
【分析】先在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE=，再证明△AFE∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例得出BF=BE=，然后证明△ADF≌△ABF，即可得出DF=BF=.
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AB=2，E是AD中点，
∴∠BAE=90°，AE=AD=AB=1，
∴BE==.
∵AE∥BC，
∴△AFE∽△CFB，
∴==，
∴BF=2EF，
∵BF+EF=BE，
∴BF=BE=.
在△ADF与△ABF中，
，
∴△ADF≌△ABF，
∴DF=BF=.
故选：C.
【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形、全等三角形的判定与性质，勾股定理，求出BF=BE=是解题的关键.
二、填空题(每小题3分，共18分)
7.若关于x的方程x2+3x+k=0的一个根是1，则k的值为 ﹣4 .
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.把x=1代入原方程就可以得到一个关于k的方程，解这个方程即可求出k的值.
【解答】解：把x=1代入方程x2+3x+k=0得到1+3+k=0，解得k=﹣4.
故本题答案为k=﹣4.
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义.
8.某几何体的三视图如图所示，则组成该几何体的小正方体的个数是 5 .
【分析】根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行3列，故可得出该几何体的小正方体的个数.
【解答】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有4个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为4+1=5个;
故答案为：5.
【点评】本题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.
9.某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同，则该商品每次降价的百分率为 10% .
【分析】设该商品每次降价的百分率为x，根据该商品的标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中小于1的值即可得出结论.
【解答】解：设该商品每次降价的百分率为x，
根据题意得：400(1﹣x)2=324，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去).
答：该商品每次降价的百分率为10%.
故答案为：10%.
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
10.关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足 a≥1 .
【分析】由于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：(1)当a﹣5=0时，方程一定有实数根;(2)当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围.
【解答】解：(1)当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根;
(2)当a﹣5≠0即a≠5时，
∵关于x的方程(a﹣5)x2﹣4x﹣1=0有实数根
∴16+4(a﹣5)≥0，
∴a≥1.
所以a的取值范围为a≥1.
故答案为：a≥1.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.
11.如图，反比例函数y=(k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积32，则k的值为 8 .
【分析】过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，由矩形的性质可知：S△AOC=S矩形OABC=16，从而可求出△ODE的面积，利用反比例函数中k的几何意义即可求出k的值.
【解答】解：过点D作DE⊥OA于点E，连接OD，
由矩形的性质可知：S△AOC=S矩形OABC=16，
又∵ED是△ACO的中位线，
∴ED=CO，
∴S△ODE=S△ACO=4
∴|k|=4，
∵k>0
∴k=8，
故答案为：8
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是求出△ODE的面积，本题属于中等题型.
12.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，BC=6，E为BC中点，F是AB上一点，G为AD上一点，且BF=2，∠FEG=60°，EG交AC于点H，下列结论正确的是 ①②③ .(填序号即可)
①△BEF∽△CHE
②AG=1
③EH=
④S△BEF=3S△AGH
【分析】依据∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE，即可得到△BEF∽△CHE;依据△AGH∽△CEH，可得，即可得出AG=CE=1;过F作FP⊥BC于P，依据EF=，，即可得到EH=EF=;依据S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，可得9S△AGH=S△BEF，进而得到S△BEF=4S△AGH.
【解答】解：∵菱形ABCD中，∠B=60°，∠FEG=60°，
∴∠B=∠ECH=60°，∠BEF=CHE=120°﹣∠CEH，
∴△BEF∽△CHE，故①正确;
∴=，
又∵BC=6，E为BC中点，BF=2，
∴，即CH=4.5，
又∵AC=BC=6，
∴AH=1.5，
∵AG∥CE，
∴△AGH∽△CEH，
∴，
∴AG=CE=1，故②正确;
如图，过F作FP⊥BC于P，则∠BFP=30°，
∴BP=BF=1，PE=3﹣1=2，PF=，
∴Rt△EFP中，EF==，
又∵，
∴EH=EF=，故③正确;
∵AG=CE，BF=CE，△△BEF∽△CHE，△AGH∽△CEH，
∴S△CEH=9S△AGH，S△CEH=S△BEF，
∴9S△AGH=S△BEF，
∴S△BEF=4S△AGH，故④错误;
故答案为：①②③.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质的综合运用.在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.
三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共计30分)
13.用公式法解一元二次方程：2x2﹣7x+6=0.
【分析】方程利用公式法求出解即可.
【解答】解：方程2x2﹣7x+6=0，
这里a=2，b=﹣7，c=6，
∵△=49﹣48=1，
∴x=，
则x1=2，x2=1.5.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键.
14.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB的中点，AE∥CD，AC∥ED，求证：四边形ACDE是菱形.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质和等边三角形的判定定理推知△ACD为等边三角形，则平行四边形ACDE是菱形.
【解答】证明：∵AE∥CD，AC∥ED，
∴四边形ACDE是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=AD，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=CD，
∴平行四边形ACDE是菱形.
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质;熟练掌握菱形的判定与性质，证明四边形ACDE是平行四边形是解决问题的关键.
15.如图，在矩形ABCD中，M是BC中点，请你仅用无刻度直尺按要求作图.
(1)在图1中，作AD的中点P;
(2)在图2中，作AB的中点Q.
【分析】(1)连接AC、BD交于点O，作直线OM交AD于点P，点P即为所求;
(2)在(1)的基础上，连接PB交AC与K，作直线DK交AB于点Q，点Q即为所求;
【解答】解：(1)如图点P即为所求;
(2)如图点Q即为所求;
【点评】本题考查作图﹣基本作图，矩形的性质，三角形的中线交于一点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
16.已知关于x的一元二次方程x2﹣(k+2)x+2k=0.
(1)求证：无论k取何值，原方程总有实数根;
(2)若原方程的两实根都小于4，且k为正整数，直接写出k的值.
【分析】(1)利用根的判别式证明即可;
(2)利用因式分解法求出两个解，然后根据k为正整数写出k的值即可.
【解答】(1)证明：△=b2﹣4ac，
=(k+2)2﹣4×1×2k，
=k2+4k+4﹣8k，
=k2﹣4k+4，
=(k﹣2)2，
∵无论k取何值，(k﹣2)2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取何值，原方程总有实数根;
(2)解：因式分解得，(x﹣2)(x﹣k)=0，
于是得，x﹣2=0，x﹣k=0，
x1=2，x2=k，
∵原方程的两实根都小于4，
∴k<4，
∵k为正整数，
∴k=1、2、3.
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，难点在于(2)求出方程的两个根.
17.小乐放学回家看到桌上有一盘包子，其中有豆沙包、肉包各1个，萝卜包2个，这些包子除馅外无其他差别.
(1)小乐随机地从盘子中取出一个包子，取出的是肉包的概率是多少?
(2)请用树状图或表格表示小乐随机地从盘中取出两个包子的所有可能结果，并求取出的两个包子都是萝卜包的概率.
【分析】(1)直接利用概率公式求出取出的是肉包的概率;
(2)直接列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案.
【解答】解：(1)∵有豆沙包、肉包各1个，蜜枣包2个，
∴随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉包的概率是：;
(2)如图所示：
，
一共有12种可能，取出的两个都是萝卜包的有2种，
故取出的两个都是萝卜包概率为：=.
【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键.
四、解答题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)
18.如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点.
(1)请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置;
(2)求路灯OC的高.
【分析】(1)作射线PE，AF交于点O，点O即为所求;
(2)设OC=x.由AE∥OC，可得=，推出PC=x，AC=x﹣1.5，再由BF∥OC，可得=，由此构建方程即可解决问题;
【解答】解：(1)光源O的位置如图所示;
(2)设OC=x.
∵AE∥OC，
∴=，
∴=，
∴PC=x，
∴AC=x﹣1.5，
∵BF∥OC，
∴=，
∴=，
∴x=4.5，
答：路灯OC的高为4.5米.
【点评】本题考查相似三角形的应用、中心投影、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.
19.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2，2)，B(3，0)，C(1，﹣1)，AC交x轴于点P.
(1)∠ACB的度数为 45° ;
(2)P点坐标为 (，0) ;
(3)以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，请在图中画出所有符合条件的三角形.
【分析】(1)由题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，即可确定出所求角度数;
(2)利用待定系数法求出直线AC解析式，即可确定出P坐标;
(3)以为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍，画出相应图形，如图所示.
【解答】解：(1)∵∠ABC=90°，AB=CB=，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°;
故答案为：45°;
(2)由题意得：A(2，2)，C(1，﹣1)，
设直线AC解析式为y=kx+b，
把A与C坐标代入得：，
解得：，即直线AC解析式为y=3x﹣4，
令y=0，得到x=，
则P的坐标为(，0);
故答案为：(，0);
(3)如图所示：△A1B1C1和△A2B2C2为所求三角形.
【点评】此题考查了作图﹣位似变换，待定系数法求一次函数解析式，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键.
20.某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过调查，得到如下数据：
销售单价x(元∕件) … 30 40 50 60 …
每天销售量y(件) … 500 400 300 200 …
(1)研究发现，每天销售量y与单价x满足一次函数关系，求出y与x的关系式;
(2)当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元?
【分析】(1)利用待定系数法求解可得;
(2)根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得.
【解答】解：(1)设y=kx+b，
根据题意可得，
解得：，
则y=﹣10x+800;
(2)根据题意，得：(x﹣20)(﹣10x+800)=8000，
整理，得：x2﹣100x+2400=0，
解得：x1=40，x2=60，
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x=40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元.
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系.
五、解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)
21.如图，已知矩形ABCD和▱BCEF，AF=BE，AF与BE交于点G，∠AGB=60°.
(1)求证：AF=DE;
(2)若AB=6，BC=8，求AF.
【分析】(1)欲证明AF=DE，只要证明四边形ADEF是平行四边形即可;
(2)连接BD.利用勾股定理求出BD，再证明△BDE是等边三角形即可;
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴BC∥EF，BC=EF，
∴AD=EF，AD∥EF，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴AF=DE.
(2)连接BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=6，
∵BC=8，
∴BD==10，
∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AF∥DE，
∴∠AGB=∠BED=60°，
∵AF=DE=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴AF=BE=BD=10.
【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
22.如图，已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B.
(1)填空：n的值为 3 ，k的值为 12 ;
(2)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标;
(3)观察反比例函数y=的图象，当y≥﹣3时，请直接写出自变量x的取值范围.
【分析】(1)把点A(4，n)代入一次函数y=x﹣3，得到n的值为3;再把点A(4，3)代入反比例函数y=，得到k的值为12;
(2)根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为(2，0)，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，根据勾股定理得到AB=，根据AAS可得△ABE≌△DCF，根据菱形的性质和全等三角形的性质可得点D的坐标;
(3)根据反比例函数的性质即可得到当y≥﹣3时，自变量x的取值范围.
【解答】解：(1)把点A(4，n)代入一次函数y=x﹣3，
可得n=×4﹣3=3;
把点A(4，3)代入反比例函数y=，
可得3=，
解得k=12.
故答案为：3，12.
(2)∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B，
∴x﹣3=0，
解得x=2，
∴点B的坐标为(2，0)，
如图，过点A作AE⊥x轴，垂足为E，
过点D作DF⊥x轴，垂足为F，
∵A(4，3)，B(2，0)，
∴OE=4，AE=3，OB=2，
∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2，
在Rt△ABE中，
AB===，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD=BC=，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCF，
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴∠AEB=∠DFC=90°，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF(ASA)，
∴CF=BE=2，DF=AE=3，
∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+，
∴点D的坐标为(4+，3).
(3)当y=﹣3时，﹣3=，
解得x=﹣4.
故当y≥﹣3时，自变量x的取值范围是x≤﹣4或x>0.
【点评】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质和全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解即可.
六、解答题(本大题共12分)
23.阅读下列材料，并按要求解答.
【模型介绍】
如图①，C是线段A、B上一点E、F在AB同侧，且∠A=∠B=∠ECF=90°，看上去像一个“K“，我们称图①为“K”型图.
【性质探究】
性质1：如图①，若EC=FC，△ACE≌△BFC
性质2：如图①，若EC≠FC，△ACE～△BFC且相似比不为1.
【模型应用】
应用1：如图②，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD=1，CD=2，BC=2，AB=5.求BD.
应用2：如图③，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作正方形ABGF、正方形ACDE，AH⊥BC，连接EF.交AH的反向延长线于点K，证明：K为EF中点.
(1)请你完成性质1的证明过程;
(2)请分别解答应用1，应用2提出的问题.
【分析】(1)根据AAS即可证明;
(2)①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H.首先证明符合“k模型”，利用性质2根据相似三角形的性质即可解决问题;
②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，推出FM=AH，AH=EN，推出FM=EN，再证明△FKN≌△EKN即可解决问题;
【解答】解：(1)如图①中，
∵∠A=∠ECF=∠B=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，∠BCF+∠F=90°，
∴∠ACE=∠F，∵EC=CF，
∴△ACE≌△BFC.
(2)①应用1：如图2中，连接AC，作BH⊥DC交DC的延长线与H.
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=1，CD=2，
∴AC==，
∵AC2+BC2=5+20=25，AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB=∠CHB=90°，
∴符合“K”型图，
∴△ACD∽△CBH，
∴==，
∴==，
∵CH=2，BH=4，
∴DH=4，
在Rt△BDH中，BD==4.
②应用2：如图③中，作FM⊥KH于M，EN⊥HN于N.
由性质1可知：△ABH≌△FAM，△AHC≌△ENA，
∴FM=AH，AH=EN，
∴FM=EN，
∵∠FKM=∠EKN，∠M=∠ENK=90°，
∴△FKN≌△EKN，
∴FK=KE，
∴K为EF中点.
【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造模型解决问题，属于中考压轴题.
第一学期九年级数学期末试卷
一.选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A.0 B.2 C.0和2 D.0和﹣2
2.如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
4.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
5.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( )
A.(﹣2，3) B.(2，﹣3)
C.(3，﹣2)或(﹣2，3) D.(﹣2，3)或(2，﹣3)
6.如图，反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A(﹣1，2)，若y1>y2，则x的取值范围是( )
A.﹣1
C.x<﹣1或0
7.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E.若AB=3，则△AEC的面积为( )
A.3 B.1.5 C. D.
8.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
从上表可知，下列说法正确的个数是( )
①抛物线与x轴的一个交点为(﹣2，0);
②抛物线与y轴的交点为(0，﹣2);
③抛物线的对称轴是：x=1;
④在对称轴左侧，y随x增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= .
10.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 个.
11.某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为 .
12.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2HB，BC=5HB，则的值为 .
13.如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则tan∠EGB等于 .
14.墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制)，但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 个小正方体.
三.作图题(本题满分4分)
15.用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作围痕迹.
如图，已知∠α，线段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC=∠α，边BC=b.
四.解答题(本大题满分74分，共有9道小题)
16.(8分)解下列方程：
(1)x2﹣5x+2=0
(2)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
17.(6分)小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看.可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去;如果和为奇数，则哥哥去.
(1)请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率;
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗?若公平，请说明理由;若不公平，请你设计一种公平的游戏规则.
18.(6分)如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为∠α=48°，∠β=65°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m.计算该信号发射塔顶端到地面的高度FG(结果精确到1m).
(参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)
19.(6分)一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长.
20.(8分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式;
(2)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
21.(8分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF.
(1)求证：△ADE≌△CFE;
(2)若∠AFB=90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明.
22.(10分)某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱，为了促销，该水果店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱.已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱.
(1)求y与x之间的函数关系式：
(2)当销售量不低于400箱时，每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?
23.(10分)[归纳探究]
把长为n (n为正整数) 个单位的线段，切成长为1个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次?
我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.
不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系.
如图，当n=1时，最少需要切0次，即m=0.
如图，当n=2时，从线段中间最少需要切1，即m=1.
如图，当n=3时，第一次切1个单位长的线段，第二次继续切剩余线段1个单位长即可，最少需要切2次，即m=2.
如图，当n=4时，第一次切成两根2个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切2次，即m=2.
如图，当n=5时，第一次切成2个单位长和3个单位长的线段.将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切3次，即m=3.
仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当n=16时，所需最少切制次数的方法，
如此操作实验，可获得如下表格中的数据：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
当n=1时，m=0.
当1
当2
当4
当8
…
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：
当n=1180时，m=
[类比探究]
由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法解决如下问题.
把边长n (n为正整数) 个单位的大正方形，切成边长为1个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次?
不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系.
通过实验观察：
当n=1时，从行的角度分析，最少需要切0次，从列的角度分析，最少需要切0次.最少共切0，即m=0.
当n=2时，从行的角度分析，最少需要切1次，从列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，当1
当n=3时，从行的角度分析，最少需要切2次，从列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，当2
…
当n=8时，从行的角度分析，最少需要切3次，从列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，当4
当8
…
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：
[拓广探究]
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问题.
问题(1)：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次.
问题(2)：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次，
问题(3)：把棱长为n (n 为正整数) 个单位长的大正方体，切成边长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 次.
请用m的代数式表示线段n的取值范围： .
24.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.动点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动;动点Q在线段DC上从点D出发沿DC 的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点P作PE⊥BC.交线段AB于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时，QE∥BC?
(2)设△PQE的面积为S，求出S与t的函数关系式：
(3)是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积S最大?若存在，求出此时t的值; 若不存在，请说明理由.
(4)是否存在某一时刻t，使得点Q在线段EP的垂直平分线上?若存在，求出此时t的值;若不存在，请说明理由.
参考答案与试题解析
一.选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)
1.一元二次方程x2=2x的根是( )
A.0 B.2 C.0和2 D.0和﹣2
【分析】根据一元二次方程的特点，用提公因式法解答.
【解答】解：移项得，x2﹣2x=0，
因式分解得，x(x﹣2)=0，
解得，x1=0，x2=2，
故选：C.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.
2.如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断.
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形;
B、不是轴对称图形，是中心对称图形;
C、是轴对称图形，不是中心对称图形;
D、不是轴对称图形，是中心对称图形.
故选：A.
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.
3.若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>﹣1 B.k>﹣1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可.
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k>﹣1且k≠0.
故选：B.
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键.
4.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是( )
A.y=(x+2)2+2 B.y=(x+2)2﹣2 C.y=x2+2 D.y=x2﹣2
【分析】先写出平移前的抛物线的顶点坐标，然后根据向下平移纵坐标减，向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可.
【解答】解：抛物线y=(x+1)2的顶点坐标为(﹣1，0)，
∵向下平移2个单位，
∴纵坐标变为﹣2，
∵向右平移1个单位，
∴横坐标变为﹣1+1=0，
∴平移后的抛物线顶点坐标为(0，﹣2)，
∴所得到的抛物线是y=x2﹣2.
故选：D.
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数图象的变化求解更加简便，且容易理解.
5.如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是( )
A.(﹣2，3) B.(2，﹣3)
C.(3，﹣2)或(﹣2，3) D.(﹣2，3)或(2，﹣3)
【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为(﹣4，6)，即可求得答案.
【解答】解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为(﹣4，6)，
∴点B′的坐标是：(﹣2，3)或(2，﹣3).
故选：D.
【点评】此题考查了位似图形的性质.此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用.
6.如图，反比例函数和正比例函数y2=k2x的图象都经过点A(﹣1，2)，若y1>y2，则x的取值范围是( )
A.﹣1
C.x<﹣1或0
【分析】易得两个交点坐标关于原点对称，可求得正比例函数和反比例函数的另一交点，进而判断在交点的哪侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值即可.
【解答】解：根据反比例函数与正比例函数交点规律：两个交点坐标关于原点对称，可得另一交点坐标为(1，﹣2)，
由图象可得在点A的右侧，y轴的左侧以及另一交点的右侧相同横坐标时反比例函数的值都大于正比例函数的值;
∴﹣1
【点评】用到的知识点为：正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称;求自变量的取值范围应该从交点入手思考.
7.如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形A′B′C′D′的位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E.若AB=3，则△AEC的面积为( )
A.3 B.1.5 C. D.
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积.
【解答】解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有DE=DC﹣EC=AB﹣EC=3﹣x，
AD=BC=AB•tan30°=×3=，
根据勾股定理得：x2=(3﹣x)2+()2，
解得：x=2，
∴EC=2，
则S△AEC=EC•AD=，
故选：D.
【点评】此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键.
8.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 …
y … ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣2 ﹣ 0 …
从上表可知，下列说法正确的个数是( )
①抛物线与x轴的一个交点为(﹣2，0);
②抛物线与y轴的交点为(0，﹣2);
③抛物线的对称轴是：x=1;
④在对称轴左侧，y随x增大而增大.
A.1 B.2 C.3 D.4
【分析】③由点(﹣1，﹣2)、(0，﹣2)在抛物线y=ax2+bx+c上结合抛物线的对称性，即可得出抛物线的对称轴为直线x=﹣，结论③错误;①由抛物线的对称轴及抛物线与x轴一个交点的坐标，即可得出抛物线与x轴的另一交点为(﹣2，0)，结论①正确;②根据表格中数据，即可找出抛物线与y轴的交点为(0，﹣2)，结论②正确;④根据表格中数据结合抛物线的对称轴为直线x=﹣，即可得出在对称轴左侧，y随x增大而减小，结论④错误.综上即可得出结论.
【解答】解：③∵点(﹣1，﹣2)、(0，﹣2)在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣，结论③错误;
①∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，
∴当x=﹣2和x=1时，y值相同，
∴抛物线与x轴的一个交点为(﹣2，0)，结论①正确;
②∵点(0，﹣2)在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴抛物线与y轴的交点为(0，﹣2)，结论②正确;
④∵﹣>﹣2>﹣，抛物线的对称轴为直线x=﹣，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，结论④错误.
故选：B.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键.
二.填空题(本题满分18分，共有6道小题，每小题3分)
9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanA= .
【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一直角边的长，运用三角函数的定义解答.
【解答】解：由sinA==知，可设a=3x，则c=5x，b=4x.
∴tanA===.
【点评】求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.
10.一个不透明的盒子中装有10个黑球和若干个白球，它们除颜色不同外，其余均相同，从盒子中随机摸出一球记下其颜色，再把它放回盒子中摇匀，重复上述过程，共试验400次，其中有240次摸到白球，由此估计盒子中的白球大约有 15 个.
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解.
【解答】解：∵共试验400次，其中有240次摸到白球，
∴白球所占的比例为=0.6，
设盒子中共有白球x个，则=0.6，
解得：x=15，
故答案为：15.
【点评】本题考查利用频率估计概率.大量反复试验下频率稳定值即概率.关键是根据白球的频率得到相应的等量关系.
11.某厂一月份生产产品50台，计划二、三月份共生产产品120台，设二、三月份平均每月增长率为x，根据题意，可列出方程为 50(1+x)+50(1+x)2=120 .
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产120台”，即可列出方程.
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：50(1+x)，
三月份生产机器为：50(1+x)2;
又知二、三月份共生产120台;
所以，可列方程：50(1+x)+50(1+x)2=120.
故答案是：50(1+x)+50(1+x)2=120.
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，可根据增长率的一般规律找到关键描述语，列出方程;平均增长率问题，一般形式为a(1+x)2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量.
12.如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交l1、l2、l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2HB，BC=5HB，则的值为 .
【分析】求出AB：BC，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果.
【解答】解：设BH=a，则AH=2a，BC=5a，AB=AH+BH=3a，
∴AB：BC=3a：5a=3：5，
∵l1∥l2∥l3，
∴==，
故答案为.
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理;熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键.
13.如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则tan∠EGB等于 .
【分析】根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG，然后根据解直角三角形列式计算即可得解.
【解答】解：由翻折的性质得，DF=EF，
设EF=x，则AF=6﹣x，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=×6=3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，
即32+(6﹣x)2=x2，
解得x=，
∴AF=6﹣=，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEG，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BGE，
∴=，
即=，
解得BG=4，
∴tan∠EGB=.
故答案为：.
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质，求出△EBG的各边的长是解题的关键.
14.墙角处有若千大小相同的小正方体堆成如图所示实体的立体图形，如果打算搬走其中部分小正方体(不考虑操作技术的限制)，但希望搬完后的实体的三种视围分别保持不变，那么最多可以搬走 27 个小正方体.
【分析】留下靠墙的正方体，以及墙角处向外的一列正方体，依次数出搬走的小正方体的个数相加即可.
【解答】解：第1列最多可以搬走9个小正方体;
第2列最多可以搬走8个小正方体;
第3列最多可以搬走3个小正方体;
第4列最多可以搬走5个小正方体;
第5列最多可以搬走2个小正方体.
9+8+3+5+2=27个.
故最多可以搬走27个小正方体.
故答案为：27.
【点评】本题考查了组合体的三视图，解题的关键是依次得出每列可以搬走小正方体最多的个数，难度较大.
三.作图题(本题满分4分)
15.用圆规、直尺作围，不写作法，但要保留作围痕迹.
如图，已知∠α，线段b，求作：菱形ABCD，使∠ABC=∠α，边BC=b.
【分析】先作∠MBN=∠α，再在BM和BN上分别截取BA=b，BC=b，然后分别一点A、C为圆心，b为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABCD满足条件.
【解答】解：如图，菱形ABCD为所作.
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.
四.解答题(本大题满分74分，共有9道小题)
16.(8分)解下列方程：
(1)x2﹣5x+2=0
(2)2(x﹣3)2=x(x﹣3)
【分析】(1)公式法求解可得;
(2)因式分解法求解可得.
【解答】解：(1)∵a=1、b=﹣5，c=2，
∴△=25﹣4×1×2=17>0，
则x=;
(2)∵2(x﹣3)2﹣x(x﹣3)=0，
∴(x﹣3)(x﹣6)=0，
则x﹣3=0或x﹣6=0，
解得：x=3或x=6.
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键
17.(6分)小敏的爸爸买了某项体育比赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看.可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2，3，5，9的四张牌给小敏，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小敏和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小敏去;如果和为奇数，则哥哥去.
(1)请用画树形图或列表的方法求小敏去看比赛的概率;
(2)哥哥设计的游戏规则公平吗?若公平，请说明理由;若不公平，请你设计一种公平的游戏规则.
【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.
【解答】解：(1)根据题意，我们可以画出如下的树形图：
或者：根据题意，我们也可以列出下表：
小敏
哥哥 2 3 5 9
4 (4，2) (4，3) (4，5) (4，9)
6 (6，2) (6，3) (6，5) (6，9)
7 (7，2) (7，3) (7，5) (7，9)
8 (8，2) (8，3) (8，5) (8，9)
从树形图(表)中可以看出，所有可能出现的结果共有16个，这些结果出现的可能性相等.而和为偶数的结果共有6个，所以小敏看比赛的概率P(和为偶数)==.
(2)哥哥去看比赛的概率P(和为奇数)=1﹣=，因为<，所以哥哥设计的游戏规则不公平;
如果规定点数之和小于等于10时则小敏(哥哥)去，点数之和大于等于11时则哥哥(小敏)去.则两人去看比赛的概率都为，那么游戏规则就是公平的.
或者：如果将8张牌中的2、3、4、5四张牌给小敏，而余下的6、7、8、9四张牌给哥哥，则和为偶数或奇数的概率都为，那么游戏规则也是公平的.(只要满足两人手中点数为偶数(或奇数)的牌的张数相等即可.)
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
18.(6分)如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点处测得该塔顶端F的仰角分别为∠α=48°，∠β=65°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m.计算该信号发射塔顶端到地面的高度FG(结果精确到1m).
(参考数据：sin48°≈0.7，cos48°≈0.7，tan48°≈1.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)
【分析】将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三角形的知识求得线段FG的长即可.
【解答】解：如图，延长AD交FG于点E.(1分)
在Rt△FCG中，tanβ=，∴CG=.
在Rt△FAE中，tanα=，∴AE=.
∵AE﹣CG=AE﹣DE=AD，
∴﹣=AD.
即﹣=AD.
∴FG==115.5≈116.
答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m.
【点评】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形.
19.(6分)一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长.
【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可.
【解答】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC=CD=x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴=，即=，
解得：x=5.4.
经检验，x=5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米.
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形.
20.(8分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化.开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示(其中AB，BC分别为线段，CD为双曲线的一部分)：
(1)分别求出线段AB和曲线CD的函数关系式;
(2)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中?
(3)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?
【分析】(1)分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可;
(2)根据上题求出的AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断;
(3)分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能.
【解答】解：(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，
把B(10，40)代入得，k1=2，
∴y1=2x+20.
设C、D所在双曲线的解析式为y2=，
把C(25，40)代入得，k2=1000，
∴y2=.
(2)当x1=5时，y1=2×5+20=30，
当x2=30时，y2==，
∴y1
∴第30分钟注意力更集中.
(3)令y1=36，
∴36=2x+20，
∴x1=8
令y2=36，
∴36=，
∴x2=≈27.8
∵27.8﹣8=19.8>19，
∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.
【点评】本题考查了函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值.
21.(8分)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，BF.
(1)求证：△ADE≌△CFE;
(2)若∠AFB=90°，试判断四边形BCFD的形状，并加以证明.
【分析】(1)根据三角形的中位线和平行四边形的性质、全等三角形的判定可以证明结论成立;
(2)根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以证明结论成立.
【解答】证明：(1)∵在△ABC中，点D，E分别是边AB和AC的中点，
∴AD=DB，AE=CE，DE∥BC，
∵CF∥AB，DE=，DF=BC，
∴四边形BCFD是平行四边形，DE=DF，
∴BD=CF，DE=FE，
∴AD=CF，
在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE(SSS);
(2)四边形BCFD是菱形，
证明：连接CD，
由(1)知DE=FE，AE=CE，四边形BCFD是平行四边形，
在△AEF和△CED中，
，
∴△AEF≌△CED(SAS)，
∴∠AFE=∠CDE，
∴AF∥CD，
∴∠AFB=∠DOB，
∵∠AFB=90°，
∴∠DOB=90°，
即AF⊥CD，
∵四边形BCFD是平行四边形，
∴四边形BCFD是菱形.
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.
22.(10分)某水果店销售某种水果，原来每箱售价60元，每星期可卖200箱，为了促销，该水果店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖20箱.已知该水果每箱的进价是40元，设该水果每箱售价x元，每星期的销售量为y箱.
(1)求y与x之间的函数关系式：
(2)当销售量不低于400箱时，每箱售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元?
【分析】(1)根据售量y(件)与售价x(元/件)之间的函数关系即可得到结论.
(2)设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题.
【解答】解：(1)由题意可得：y=200+20(60﹣x)=﹣20x+1400(0
(2)设每星期利润为W元，
W=(x﹣40)(﹣20x+1400)=﹣20(x﹣55)2+4500，
∵﹣20x+1400≥400，
∴x≤50，
∵﹣20<0，抛物线开口向下，
∴x=50时，W最大值=4000.
∴每箱售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元.
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型.
23.(10分)[归纳探究]
把长为n (n为正整数) 个单位的线段，切成长为1个单位的线段，允许边切边调动，最少要切多少次?
我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比，最后归纳、猜测得出结论.
不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系.
如图，当n=1时，最少需要切0次，即m=0.
如图，当n=2时，从线段中间最少需要切1，即m=1.
如图，当n=3时，第一次切1个单位长的线段，第二次继续切剩余线段1个单位长即可，最少需要切2次，即m=2.
如图，当n=4时，第一次切成两根2个单位长的线段，再调动重叠切第二次即可，最少需要切2次，即m=2.
如图，当n=5时，第一次切成2个单位长和3个单位长的线段.将两根线段适当调动重叠，再切二次即可，最少需要切3次，即m=3.
仿照上述操作方法，请你用语言叙述，当n=16时，所需最少切制次数的方法，
如此操作实验，可获得如下表格中的数据：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
m 0 1 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4
当n=1时，m=0.
当1
当2
当4
当8
…
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围： 2m﹣1
当n=1180时，m= 11
[类比探究]
由一维的线段我们可以联想到二维的平面，类比上面问题解决的方法解决如下问题.
把边长n (n为正整数) 个单位的大正方形，切成边长为1个单位小正方形，允许边切边调动，最少要切多少次?
不妨假设最少能切m次，我们来探究m与n之间的关系.
通过实验观察：
当n=1时，从行的角度分析，最少需要切0次，从列的角度分析，最少需要切0次.最少共切0，即m=0.
当n=2时，从行的角度分析，最少需要切1次，从列的角度分析，最少需要切1次，最少共切2，当1
当n=3时，从行的角度分析，最少需要切2次，从列的角度分析，最少需要切2次，最少共切4，当2
…
当n=8时，从行的角度分析，最少需要切3次，从列的角度分析，最少需要切3次，最少共切6，当4
当8
…
根据探究请用m的代数式表示线段n的取值范围：
[拓广探究]
由二维的平面我们可以联想到三维的立体空间，类比上面问题解决的方法解决如下问题.
问题(1)：把棱长为4个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 6 次.
问题(2)：把棱长为8个单位长的大正方体，切成棱长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 9 次，
问题(3)：把棱长为n (n 为正整数) 个单位长的大正方体，切成边长为1个单位小正方体，允许边切边调动，最少要切 ，n≤ 次.
请用m的代数式表示线段n的取值范围：
【分析】解决此题的关键之一是熟悉截取线段的过程，得出n与m的数量关系，其次是截取二维平面图形，三维立体图形次数之间的关系.
【解答】解：由截取一维线段所得到的图标可知当8
故答案是：8.
然后观察左列n的值与右列m的值的关系可以得到2m﹣1
故答案是：2m﹣1
当n=1180时，通过计算可知符合条件的m的值等于11.
故答案是11.
熟悉了截取的过程很容易得到当n的值相等时，截取二维图形的次数是一维图形的次数的2倍，截取三维图形的次数是截取一维线段的次数的三倍.
当8
故答案是：8.
截取一维线段时用m的代数式表示线段n的取值范围：2m﹣1
所以，截取二维图片时，m的代数式表示线段n的取值范围是：
同理，截取三维立体图形时，n为4时，要切6次，故答案是：6.
n为8时，要切9次，故答案时9.
用m的代数式表示线段n的取值范围：
故答案是
【点评】熟悉截取线段的方法和截取过程，仔细观察线段长度和截取次数的关系，然后找到截取不同的图形，当边长相等时，截取次数的关系是解决问题的关键.
24.(12分)如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB=10.AC=6.动点P在线段BC上从点B出发沿BC方向以每秒1个单位长的速度匀速运动;动点Q在线段DC上从点D出发沿DC 的力向以每秒1个单位长的速度匀速运动，过点P作PE⊥BC.交线段AB于点E.若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之停止，设运动时间为t秒.
(1)当t为何值时，QE∥BC?
(2)设△PQE的面积为S，求出S与t的函数关系式：
(3)是否存在某一时刻t，使得△PQE的面积S最大?若存在，求出此时t的值; 若不存在，请说明理由.
(4)是否存在某一时刻t，使得点Q在线段EP的垂直平分线上?若存在，求出此时t的值;若不存在，请说明理由.
【分析】(1)先用勾股定理求出BC，进而得出CD=AB=10，利用锐角三角函数得出∠B的相关三角函数，再判断出△CGQ∽△CAD，利用得出的比例式建立方程即可得出结论;
(2)同(1)的方法，利用三角函数求出CH，QH，最后利用面积的差即可得出结论;
(3)借助(2)的结论即可得出结论;
(4)先由垂直平分线得出PM=t，再表示出CN，用PM=CN建立方程即可得出结论.
【解答】解：(1)如图1，记EQ与AC的交点为G，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，
根据勾股定理得，BC=8，
tanB==，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=10，AD=BC=8，
由运动知，BP=t，DQ=t，
∴PC=8﹣t，CQ=10﹣t，
∵PE⊥BC，
∴∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，sinB=，cosB=，tanB===，
∴PE=t，
∵EQ∥BC，
∴∠PEQ=∠BPE=90°，
∴四边形CPEG是矩形，
∴CG=PE=t，
∵EQ∥BC，
∴△CGQ∽△CAD，
∴，
∴.
∴t=;
(2)如图2，
过点Q作QH⊥BC交BC的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCH=∠B，
在Rt△CHQ中，sin∠QCH===，
∴QH=(10﹣t)，cos∠HCQ===，
∴CH=(10﹣t)，
∴PH=PC+CH=8﹣t+(10﹣t)=16﹣t，
∴S=S梯形QHPE﹣S△QPH= [(10﹣t)+t]×(16﹣t)﹣×(16﹣t)×(10﹣t)=﹣(t﹣)2+，
∵点E在线段AB上，
∴点P在线段BC上，
∴0
点Q在CD上，
∴0
∴0
即：S=﹣(t﹣)2+(0
(3)由(2)知，S=﹣(t﹣)2+(0
∴t=时，S最大=;
(4)如图3，
过点Q作QM⊥PE于M，交AC于N，
∵点Q在线段EP的垂直平分线上，
∴PM=PE=t，
同(2)的方法得，CN=(10﹣t)，
易知，四边形PCNM是矩形，
∴PM=CN，
∴t=(10﹣t)，
∴t=.
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，矩形的判定和性质，解本题的关键是用t表示出相关的线段.
关于九年级数学上册期末试卷题
一、单选题(共10题;共30分)
1.把标有1~10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥侧面积为10πcm2 ， 侧面展开图的圆心角为36º，圆锥的母线长为( )
A. 100cm B. 10cm C. cm D. cm
3.已知⊙O的半径是10cm， 是120°，那么弦AB的弦心距是( )
A. 5cm B. cm C. cm D. cm
4.某中学周末有40人去体育场观看足球赛，40张票分别为A区第2排1号到40号，小明同学从40张票中随机抽取一张，则他抽取的座位号为10号的概率是
A. B. C. D.
5.经过某十字路口的汽车，它可以继续直行，也可以向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是
A. B. C. D.
6.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，点D在AC上，且AD=2，如果要在AB上找一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为( )
A. B. C. 3 D. 或
7.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，∠APD=30°，则∠ADP的度数为( )
A. 45° B. 40° C. 35° D. 30°
8.四位同学在研究函数 (b，c是常数)时，甲发现当 时，函数有最小值;乙发现 是方程 的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当 时， .已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
9.若△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，则S△ABC：S△DEF=( )
A. 1：3 B. 1：9 C. 1： D. 1：1.5
10.已知如图，圆锥的母线长6cm，底面半径是3cm，在B处有一只蚂蚁，在AC中点P处有一颗米粒，蚂蚁从B爬到P处的最短距离是( )
A. 3 cm B. 3 cm C. 9cm D. 6cm
二、填空题(共10题;共30分)
11.将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得一新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是________.
12.质地均匀的正四面体骰子的四个面上分别写有数字：2，3，4，5.投掷这个正四面体两次，则第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的概率是________
13.若A( ， )，B( ， )，C(1， )为二次函数y= +4x﹣5的图象上的三点，则 、 、 的大小关系是________.
14.(2015•上海)在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点A在⊙B上，如果⊙D与⊙B相交，且点B在⊙D内，那么⊙D的半径长可以等于________ .(只需写出一个符合要求的数)
15.如图，在正方形ABCD中，边AD绕点A顺时针旋转角度m(0°
16.已知抛物线C1：y=﹣x2+4x﹣3，把抛物线C1先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线C2 ，
将抛物线C1和抛物线C2这两个图象在x轴及其上方的部分记作图象M.若直线y=kx+ 与图象M至少有2个不同
的交点，则k的取值范围是________.
17.如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A=50°，∠B=30°，则∠ADC的度数为________.
18.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么 的值等于________.
19.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C=________°.
20.如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE=45°，点F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G、H，∠CBE=∠BAD.有下列结论：①FD=FE;②AH=2CD;③BC•AD= AE2;④S△ABC=2S△ADF . 其中正确结论的序号是________.(把你认为正确结论的序号都填上)
三、解答题(共8题;共60分)
21.如图⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在这个三角形的高AD上，AB=10，BC=12，求⊙O的半径.
22.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.问如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?
23.一个口袋中有黑球10个，白球若干个，小明从袋中随机一次摸出10只球，记下其中黑球的数目，再把它们放回，搅均匀后重复上述过程20次，发现共有黑球18个，由此你能估计出袋中的白球是多少个吗?
24.已知一抛物线与抛物线y=- x2+3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(-5，0)，根据以上特点，试写出该抛物线的解析式.
25.如图，在△ABC中，EF∥CD ， DE∥BC . 求证：AF：FD=AD：DB .
26.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A(﹣2，0)，且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式.
27.如图,已知□ABCD的面积为S，点P、Q时是▱ABCD对角线BD的三等分点，延长AQ、AP，分别交BC，CD于点E，F，连结EF。甲，乙两位同学对条件进行分析后，甲得到结论①：“E是BC中点”.乙得到结论②：“四边形QEFP的面积为 S”。请判断甲乙两位同学的结论是否正确，并说明理由.
28.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】A
【考点】概率公式
【解析】【解答】∵所有机会均等，共有10种结果，而号码小于7的奇数有1，3，5共3种情况，
∴号码为小于7的奇数的概率为：.
故答案为：A.
【分析】根据概率公式即可求出答案.
2.【答案】B
【考点】扇形面积的计算，圆锥的计算
【解析】【分析】圆锥侧面是一个扇形，扇形的面积公式，代入求值即可。
【解答】设母线长为r，圆锥的侧面积 =10π，
∴R=10cm.
故选B.
【点评】本题利用了扇形的面积公式求解。
3.【答案】A
【考点】垂径定理，圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 和 中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性质可得OC=OA即可求解。
4.【答案】A
【考点】概率公式
【解析】【分析】小明同学从40张票中随机抽取一张为独立事件，故抽到任何一个号的概率都会.
【点评】本题难度较低，主要考查学生对随机概率和知识点的掌握,判断每个抽取为独立事件为解题关键.
5.【答案】A
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】
【分析】列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可.
【解答】列表得：
∴一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
∴两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是
， 故选A.
【点评】用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比
6.【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当 即 时，△AED∽△ABC，
解得：AE=;
当 即时，△ADE∽△ABC，
解得：AE= ，
∴AE的长为：或 .
故选D.
【分析】由∠A是公共角，分别从当 即 时，△AED∽△ABC与当 即时，△ADE∽△ABC，去分析求解即可求得答案.
7.【答案】D
【考点】圆周角定理，圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵⊙O的内接四边形ABCD，
∴∠DAB+∠BCD=180°，
∵∠BCD=120°，
∴∠DAB=60°，
∴∠PAD=120°，
又∵∠APD=30°，
∴∠ADP=180°﹣120°﹣30°=30°.
故答案为：D.
【分析】根据圆内接四边形的性质，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD=120°，得到∠DAB的值，再根据三角形内角和定理得到∠ADP的度数.
8.【答案】B
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值
【解析】【解答】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为:(1,3)且图像经过(2，4)
设抛物线的解析式为：y=a(x-1)2+3
∴a+3=4
解之：a=1
∴抛物线的解析式为：y=(x-1)2+3=x2-2x+4
当x=-1时，y=7，
∴乙说法错误
故答案为：B
【分析】根据甲和丙的说法，可知抛物线的顶点坐标，再根据丁的说法，可知抛物线经过点(2,4)，因此设函数解析式为顶点式，就可求出函数解析式，再对乙的说法作出判断，即可得出答案。
9.【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9.
故选B.
【分析】由△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：3，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案.
10.【答案】B
【考点】勾股定理，弧长的计算，圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形的圆心角为n，
则： = ×2×3π，其中r=3，
∴n=180°，如图所示：
由题意可知，AB⊥AC，且点P为AC的中点，
在Rt△ABP中，AB=6，AP=3，
∴BP= =3 cm，
故蚂蚁沿线段BP爬行，路程最短，最短的路程是3 cm.
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，根据弧长公式求出展开扇形的圆心角的度数，由题意可知AB⊥AC，且点P为AC的中点，在Rt△ABP中，运用勾股定理，求出BP的长，即可求出蚂蚁从B爬到P处的最短距离。
二、填空题
11.【答案】y=x2-1
【考点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=x2-2向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是，y=x2-2+1，即y=x2-1.【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减上加下减”即可求解。
12.【答案】
【考点】列表法与树状图法，概率公式
【解析】【解答】由树状图
可知共有4×4=16种可能，第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的有5种，所以概率是 .
故答案为： .
【分析】列表法与树状图法可以不重不漏的列出所有等可能结果是16种，再找出符合第一次底面上的数字能够整除第二次底面上的数字的结果有5种，概率=可能结果数比所有情况数，即是P=
13.【答案】 < <
【考点】二次函数的性质
【解析】【解答】将二次函数y= +4x﹣5配方得 ，所以抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，因为A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，所以 < < .
故答案为： < < .
【分析】先将抛物线配成顶点式，，然后根据抛物线的开口向上，对称轴判断出A、B、C三点中，B点离对称轴最近，C点离对称轴最远，从而得出 y2< y1< y3 .
14.【答案】14(答案不唯一)
【考点】点与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，
∴AC=BD=13，
∵点A在⊙B上，
∴⊙B的半径为5，
∵如果⊙D与⊙B相交，
∴⊙D的半径R满足8
∵点B在⊙D内，
∴R>13，
∴13
∴14符合要求，
故答案为：14(答案不唯一).
【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在⊙B上得到⊙B的半径为5，再根据⊙D与⊙B相交，得到⊙D的半径R满足8
15.【答案】30°或60°或150°或300°
【考点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图1，当m=30°时，
BP=BC，△BPC是等腰三角形;
如图2，当m=60°时，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
如图3，当m=150°时，
PB=BC，△BPC是等腰三角形;
如图4，当m=300°时，
PB=PC，△BPC是等腰三角形;
综上所述，m的值为30°或60°或150°或300°，
故答案为30°或60°或150°或300°.
【分析】分别画出m=30°或60°或150°或300°时的图形，根据图形即可得到答案.
16.【答案】0≤k<
【考点】二次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：y=﹣x2+4x﹣3=﹣(x﹣2)2+1，
∴顶点(2，1)
则将抛物线y=﹣x2+4x﹣3先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
得到的新的抛物线的解析式为：y=(x﹣5)2+4.
∴顶点(5，4)，
把(2，1)代入y=kx+ (k≥0)得，1=2k+ ，
解得k= ，
把(5，4)代入y=kx+ (k≥0)得，4=5k+ ，
解得k= ，
∴直线y=kx+ (k≥0)与图象M至少有2个不同的交点，则k的取值范围是0≤k< .
故答案为：0≤k< .
【分析】首先配方得出二次函数顶点式，求得抛物线C1的顶点坐标，进而利用二次函数平移规律得出抛物线C2 ， 求得顶点坐标，把两点顶点坐标代入即可求得.
17.【答案】110°
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠BOC=2∠A=100°，
∵∠B=30°，∠BOC=∠B+∠BDC，
∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°，
故答案为：110°.
【分析】先根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=100°，再由外角性质得∠BDC=70°，再邻补角的定义即可求得∠ADC的度数.
18.【答案】
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ ，故答案为： .【分析】根据平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例;计算即可.
19.【答案】58
【考点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰三角形，
∴∠OAB=∠OBA，
∵∠OAB=32°，
∴∠OAB=∠OBA=32°，
∴∠AOB=116°，
∴∠C=58°.
答案为58.
【分析】要运用圆周角定理，需构造出弧所对的圆心角，因此需连接半径OB，再利用等腰三角形的内角和，求出∠AOB，进而求出∠C=58°.
20.【答案】①②③
【考点】三角形的面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AD和BE是高，
∴∠ADB=∠AEB=∠CEB=90°，
∵点F是AB的中点，
∴FD= AB，
∵点F是AB的中点，
∴FE= AB，
∴FD=FE，①正确;
∵∠CBE=∠BAD，∠CBE+∠C=90°，∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠C，
∴AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BC=2CD，∠BAD=∠CAD=∠CBE，
∵∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE。
在△AEH和△BEC中，
∵∠AEH=∠CEB,
AE=BE,
∠EAH=∠CBE，
∴△AEH≌△BEC(ASA)，
∴AH=BC=2CD，②正确;
∵∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠CEB，
∴△ABD～△BCE，
∴ ，即BC·AD=AB·BE，
∵ AE2=AB·AE=AB·BE，
∴BC·AD= AE2;③正确;
∵F是AB的中点，BD=CD，∴
S△ABC=2S△ABD=4S△ADF . ④错误;
故答案为：①②③.
【分析】①△ABE和△ABD都是直角三角形，且点F是斜边AB上的中点，由斜边上的中线长是斜边的一半可知;
②要证明AH=2CD，则可猜想BC=2CD，AH=BC;要证明BC=2CD，结合AD⊥BC，则需要证明AB=AC;要证明AH=BC，则需要证明△AEH≌△BEC;
③由AE2=AB·AE=AB·BE，则BC·AD=AE2 ， 可转化为BC·AD=AB·BE，则 ， 那么只需证明△ABD～△BCE即可;
④由三角形的中线平分三角形的面积，依此推理即可。
三、解答题
21.【答案】解：如图，连接OB.
∵AD是△ABC的高.
∴BD= BC=6
在Rt△ABD中，AD= = =8.
设圆的半径是R.
则OD=8﹣R.
在Rt△OBD中，根据勾股定理可以得到：R2=36+(8﹣R)2
解得：R= .
【考点】勾股定理，垂径定理
【解析】【分析】连接OB，根据垂经定理求出BD的长，在Rt△ABD中由勾股定理求得AD=8，设圆的半径是R，则OD=8-R，在Rt△OBD中由勾股定理可求得R的值.解答此题的关键是作出辅助线OB.注意：垂径定理和勾股定理常常在一起中应用.
22.【答案】解：设销售单价为x元，销售利润为y元.
根据题意，得y=(x-20)[400-20(x-30)]=(x-20)(1000-20x)=-20x2+1400x-20000
当x= =35时，才能在半月内获得最大利润.
【考点】二次函数的应用
【解析】【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，根据总利润=每件日用品的利润×可卖出的件数，即可得到y与x的函数关系式，利用公式法可得二次函数的最值.
23.【答案】解：黑球概率近似等于频率，设白球有m个，则解得m=101.11
故袋中的白球大约有101个.
【考点】利用频率估计概率
【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据题中条件求出黑球的频率，再近似估计白球数量.
24.【答案】解：∵顶点坐标是(-5，0)，
∴可设函数解析式为y=a(x+5)2 ，
∵所求的抛物线与y=- x2+3形状相同，开口方向相反，
∴a= ，
∴所求抛物线解析式为y= (x+5)2
【考点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】根据顶点坐标设出抛物线的顶点式，再根据抛物线的图像与系数的关系，由抛物线与抛物线y=- x2+3形状相同，开口方向相反，故得出所求抛物线二次项系数的值，从而得出答案。
25.【答案】证明：∵EF∥CD， DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ，
即AF：FD=AD：DB.
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出 ， ，推出 即可.
26.【答案】解：∵点B在y轴上，且△AOB是等腰直角三角形，A(﹣2，0)， ∴点B的坐标为(0，2)或(0，﹣2)，
根据题意设平移后抛物线解析式为y=x2+bx+c，
将(﹣2，0)、(0，2)代入得：
，
解得： ，
∴此时抛物线解析式为y=x2+3x+2;
将(﹣2，0)、(0，﹣2)代入得：
，
解得： ，
∴此时抛物线解析式为y=x2+x﹣2，
综上，平移后抛物线解析式为y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换，等腰直角三角形
【解析】【分析】利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式.
27.【答案】解:甲和乙的结论都成立，理由如下：
①∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴△BEQ∽△DAQ，
又∵点P、Q是线段BD的三等分点，
∴BE：AD=BQ：DQ=1：2，
∵AD=BC，
∴BE：BC=1：2，
∴点E是BC的中点，即结论①正确;
②和①同理可得点F是CD的中点，
∴EF∥BD，EF= BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴S△CEF= S△CBD= S平行四边形ABCD= S，
∵S四边形AECF=S△ACE+S△ACF= S平行四边形ABCD= S，
∴S△AEF=S四边形AECF-S△CEF= S，
∵EF∥BD，
∴△AQP∽△AEF，
又∵EF= BD，PQ= BD，
∴QP：EF=2：3，
∴S△AQP= S△AEF= ，
∴S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP= S- = S，即结论②正确.
综上所述，甲、乙两位同学的结论都正确.
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 ① 利用平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，易证△BEQ∽△DAQ，再由点P、Q是线段BD的三等分点，可得BE：AD=BQ：DQ=1：2，继而可证得E是BC中点;易证F是CD的中点，利用三角形的中位线定理，可得出EF∥BD，EF= BD，再证明△CEF∽△CBD，利用相似三角形的性质，可推出S△CEF= S，S△AEF= S，然后再证明S△AQP= s，根据S四边形QEFP=S△AEF-S△AQP ， 可求出结果，可对 ②作出判断，即可得出结论。
28.【答案】解：∵PB=6﹣t，BE+EQ=6+t， ∴S= PB•BQ= PB•(BE+EQ)
= (6﹣t)(6+t)
=﹣ t2+18，
∴S=﹣ t2+18(0≤t<6)
【考点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【分析】△BPQ的面积= BP×BQ，把相关数值代入即可求解，注意得到的相关线段为非负数即可.
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