高中数学向量复习

　　向量是高考的一个亮点,它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。下面学习啦小编给你分享高中数学向量复习知识点，欢迎阅读。

　　向量复习之概念

　　在数学中，几何向量(也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的量。与之对应的只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称标量)

　　向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。

　　向量的记法：印刷体记作粗体的字母(如a、b、u、v)，书写时在字母顶上加一小箭头→。如果给定向量的起点(A)和终点(B)，可将向量记作AB(并于顶上加→)。给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

　　而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

　　几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

　　向量复习之运算

　　设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)。

　　加法

　　向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。OB+OA=OC。

　　a+b=( x+x1 ，y+y1 )。

　　a+0=0+a=a。

　　向量加法的运算律：

　　交换律：a+b=b+a;

　　结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

　　减法

　　如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0A-OB=BA.即“共同起点，指向被减”

　　a=(x1,y1)，b=(x2,y2) ，则a-b=(x1-x2,y1-y2).

　　如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。

　　加减变换律：a+(-b)=a-b

　　数乘

　　实数λ和向量a的叉乘乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣*∣a∣。[1]

　　当λ>0时，λa的方向与a的方向相同;当λ<0时，λa的方向与a的方向相反;当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。[1]

　　注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

　　实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

　　当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍

　　当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或××反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

　　实数p和向量a的点乘乘积是一个数。

　　数与向量的乘法满足下面的运算律

　　结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

　　向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

　　数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

　　数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

　　需要注意的是：向量的加减乘(向量没有除法)运算满足实数加减乘运算法则。

　　数量积

　　定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π

　　定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量(没有方向)，记作a·b。若a、b不共线，则 ;若a、b共线，则 。[1]

　　向量的数量积的坐标表示：a·b=x·x'+y·y'。

　　向量的数量积的运算律

　　a·b=b·a(交换律)

　　(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)

　　(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)

　　向量的数量积的性质

　　a·a=|a|的平方。

　　a⊥b〈=〉a·b=0。

　　|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)

　　向量的数量积与实数运算的主要不同点

　　1.向量的数量积不满足结合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c);例如：(a·b)²≠a²·b²。

　　2.向量的数量积不满足消去律，即：由a·b=a·c(a≠0)，推不出b=c。

　　3.|a·b|与|a|·|b|不等价

　　4.由 |a|=|b| ，不能推出a=b，也不能推出a=-b，但反过来则成立.

　　向量积

　　定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b(这里“×”并不是乘号，只是一种表示方法，与“·”不同，也可记做“∧”)。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b垂直，则∣a×b∣=|a|*|b|(此处与数量积不同，请注意)，若a×b=0，则a、b平行。向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量

　　向量复习之定理

　　共线定理

　　若b≠0，则a//b的充要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。

　　若设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有x1y2=x2y1。即与平行概念相同x1y2 - x2y1=0

　　零向量0平行于任何向量。

　　垂直定理

　　a⊥b的充要条件是a·b=0，即x1x2+y1y2=0。

　　分解定理

　　平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2我们把不平行向量e1、e2叫做这一平面内所有向量的一基底。

　　定比分点公式

　　定比分点公式(向量P1P=λ·向量PP2)

　　设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个任意实数 λ且λ不等于-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

　　若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有

　　OP=(OP1+λOP2)/(1+λ);(定比分点向量公式)

　　x=(x1+λx2)/(1+λ),

　　y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)

　　我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

　　三点共线定理

　　已知0是AB所在直线外一点,若OC=λOA+μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

　　证明：∵OC=λOA+(1-λ)OB=λOA-λOB+OB=λBA+OB

　　∴BO+OC=λBA 即BC=λBA

　　∴A、B、C三点共线

　　重心判断式

　　在△ABC中，若GA+GB+GC=O，则G为△ABC的重心。

　　垂心判断式

　　在△ABC中，若HA·HB=HB·HC=HC·HA，则H为△ABC的垂心。

　　内心判断式

　　在△ABC中，若aIA+bIB+cIC=0，且PI=(aPA+bPB+cPC)/(a+b+c)，则I为△ABC的内心。

　　外心判断式

　　在△ABC中，若|OA|=|OB|=|OC|，则O为△ABC的外心，

　　此时O满足(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=(OC+OA)·CA=0。