高中数学数列基础知识
高中数学数列基础知识
数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数，是一列有序的数。下面是学习啦小编为你整理的高中数学数列基础知识，一起来看看吧。
高中数学数列基础知识：等差数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列(arithmetic sequence)，这个常数叫做等差数列的公差(common difference)，公差通常用字母d表示，前n项和用Sn表示。等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。
通项公式
an=a1+(n-1)d
n=1时 a1=S1
n≥2时 an=Sn-Sn-1
an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。
有关系：A=(a+b)÷2
前n项和
倒序相加法推导前n项和公式：
Sn=a1+a2+a3 +·····+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)(n个)=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
性质
一、任意两项am，an的关系为：
an=am+(n-m)d
它可以看作等差数列广义的通项公式。
二、从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：
a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*
三、若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有
am+an=ap+aq
四、对任意的k∈N*，有
Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差数列。
高中数学数列基础知识：等比数列
定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列(geometric sequence)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q表示。
缩写
等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。
等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
通项公式
an=a1*q^(n-1) (其中首项是a1 ，公比是q)
an=Sn-S(n-1) (n≥2)
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-a1*q^n)/(1-q) (q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
前n项和与通项的关系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
性质
(1)若 m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;
(2)在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列。
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中项：q、r、p成等差数列，则aq·ap=ar²，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
(5) 等比数列前n项之和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
(6)任意两项am，an的关系为an=am·q^(n-m)
(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中a^n表示a的n次方。
高中数学数列基础知识：等和数列
定义
“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。
对一个数列，如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列
性质
必定是循环数列
证明：对任意正整数n，有an + an+1 + … + an+k-1 = an+1 + an+2 + … + an+k， 所以对任意正整数n，an = an+k，如果这个数列有n+k项的话。
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