浅谈高中数学零点问题
浅谈高中数学零点问题
函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是高中新课程标准新增内容之一，是函数的重要性质。接下来学习啦小编为你整理了浅谈高中数学零点问题，一起来看看吧。
浅谈高中数学零点问题篇一
一、求函数的零点
例1求函数y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零点。
解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1，
2x-1=0(x≥0)，解得x=。
所以原函数的零点为和-1和。
点评：求函数f(x)的零点，转化为方程f(x)=0，通过因式分解把方程转化为一(二)次方程求解。
二、判断函数零点个数
例2求f(x)=x-的零点个数。
解：函数的定义域(-∞，0)∪(0，+∞)。
令f(x)=0即x-=0，
解得：x=2或x=-2。
所以原函数有2个零点。
点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。
三、根据函数零点反求参数
例3若方程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。
析：方程ax-x-a=0转化为ax=x+a。
由题知，方程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。
(1)0此种情况不符合题意。
(2)a>1。
直线y=x+a 在y轴上的截距大于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。
所以a<0与0 点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。
四、用二分法近似求解零点
例4求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点(精确到0.1)。
解：(1)第一步确定零点所在的大致区间(a，b)，可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。
(2)列表如下：
零点所在区间中点函数值 区间长度
(1，2)f(1.5) >0 1
(1，1.5) f(1.25) <00.5
(1.25,1.5) f(1.375) <00.25
(1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125
(1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625
可知区间(1.375，1.438)长度小于0.1，故可在(1.375，1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值。
点评：用二分法求函数零点近似值的过程中，首先依据函数性质确定函数零点存在的一个区间，此区间选取应尽量小，并且易于计算，再不断取区间中点，把区间的范围逐步缩小，使得在缩小的区间内存在一零点。当达到精确度时，这个区间内的任何一个值均可作为函数的零点。
浅谈高中数学零点问题篇二
函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f(x)有零点?圳方程f(x)=0有实数根?圳函数y=f(x)的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与函数y2=g(x)的图像有交点.
围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：
类型一：函数零点的分布
解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)・f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.
例1：(2013高考数学重庆卷)若a A.(a，b)和(b，c)内
B.(-∞，a)和(a，b)内
C.(b，c)和(c，+∞)内
D.(-∞，a)和(c，+∞)内
解析：由题意a0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0.显然f(a)・f(b)<0，f(b)・f(c)<0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A.
变式：(高考广东卷、高考山东卷)若函数为f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=-lg(-x)+x+3，已知f(x)=0有一个根为x0，且x0∈(n，n+1)，n∈N*，则n的值为________.
解析：由题意，设x>0，则-x<0，f(-x)=-lgx-x+3=-f(x)，所以当x>0时，f(x)=lgx+x-3在(0，+∞)上是增函数，f(2)<0，f(3)>0，所以x0∈(2，3)，则n=2.
类型二：函数零点的个数
判断函数零点个数可利用定义法，即令f(x)=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数;也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.
例2：(2012高考数学湖北卷)函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
解析：定义法，令f(x)=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f(x)=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.
类型三：利用函数零点求参数
在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题(如求参数).要解决此类问题常根据函数y=F(x)=f(x)-g(x)有零点?圳方程组y■=f(x)y■=g(x)有实数根?圳函数y1=f(x)与y2=g(x)函数的图像有交点.
例3：(2009高考数学山东卷)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .
解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：
1.构造函数.设函数y=ax(a>0，且a≠1)和函数y=x+a，则函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点， 就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a有两个交点.
2.通过图像描绘题意――将数转化成形.
3.由图像得出结论――将形转化成数.
当时0 当时a>1(如图2)，因为函数y=ax(a>1)的图像过点(0，1)，而直线y=x+a所过的点(0，a)在点(0，1)的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F(x)=f(x)-g(x)的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f(x)、y=g(x)的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.