一元二次方程教案人教版_一元二次方程专题练习

　　只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。下面学习啦小编给你分享一元二次方程教案人教版，欢迎阅读。

　　一元二次方程教案人教版

　　学情分析：

　　学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.

　　教学目标

　　知识技能：

　　1、 理解一元二次方程的概念.

　　2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.

　　数学思考：

　　1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.

　　2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

　　3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.

　　解决问题：

　　在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.

　　情感态度：

　　1、培养学生自主自主学习、探究知识和合作交流的意识.

　　2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.

　　教学重点：

　　一元二次方程的概念及一般形式.

　　教学难点：

　　1、由实际问题向数学问题的转化过程.

　　2、正确识别一元二次方程一般形式中的“项”及“系数”.

　　教学互动设计：

　　一、自主学习 感受新知

　　【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少?

　　【分析】设长方形绿地的宽为x米，依题意列方程为：x(x+10)=900;

　　整理得： x2+10x-900=0 ①

　　【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。

　　【分析】设这两年的年平均增长率为x，依题列方程为：5(1+x)2=7.2;

　　整理得： 5 x2+10x-2.2=0 ②

　　【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?

　　【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它 (x-1)队各赛1场，全场比赛共场，依题意列方程得：;

　　整理得： x2-x-56=0 ③

　　(设计意图：在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的注意力，激发学生自主学习的兴趣和积极性。 同时通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。)

　　二、自主交流 探究新知

　　【探究】(1)上面三个方程左右两边是含未知数的 整式 (填 “整式”“分式”等);

　　(2)方程整理后含有 一 个未知数;

　　(3)按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是 二 次。

　　【归纳】

　　1、一元二次方程的定义

　　等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数(一元)，并且求知数的最高次数是 2 (二次)的方程，叫做一元二次方程。

　　2、一元二次方程的一般形式

　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

　　ax2+bx+c=0(a≠0)

　　这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

　　【强调】方程ax2+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。

　　(设计意图：由于学生已熟练掌握了整式、分式、一元一次方程等概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生归纳共同点是符合学生的认知基础的。学生的自主观察、比较、归纳是活动有效的保证，教学中应当让学生充分的探究和交流。同时，在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。)

　　【对应练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程?哪些不是?为什么?

　　(1)x3-2x2+5=0; (2)x2=1;

　　(3)5x2-2x-=x2-2x+; (4)2(x+1)2=3(x+1);

　　(5)x2-2x=x2+1; (6)ax2+bx+c=0

　　(设计意图：此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念，同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。)

　　三、自主应用 巩固新知

　　【例1】 已知方程(a-3)x|a-1|-2x+5=0，当 a=-1 时，此方程是一元二次方程，当a=0，2或3 时，此方程是一元一次方程。

　　(设计意图：通过例1的学习，一是使学生进一步巩固一元二次方程的概念，并注意其最基本的条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0;二是使学生了解一元二次方程与一元一次方程的联系与区别。在填第一个空时要让学生注意a值的取舍，填第二个空时要注意引导学生进行分类讨论。)

　　【例2】将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

　　【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).因此，方程3x(x-1)=5(x+2)必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.

　　解：去括号，得：

　　3x2-3x=5x+10

　　移项合并同类项，得：

　　3x2-8x-10=0

　　其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。

　　(设计意图：通过例2的学习，一是使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意强调二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号;二是使学生进一步了解方程的变形过程。)

　　四、自主总结 拓展新知

　　本节课你学了什么知识?从中得到了什么启示?

　　1、a≠0是ax2+bx+c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2+bx+c=0变为bx+c=0，就不是一元二次方程。

　　2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。

　　(设计意图：引导学生回顾本节课的学习内容，加强知识的形成。)

　　五、自主检测 反馈新知

　　1、下列方程，是一元二次方程的是 ①④⑤ 。

　　①3x2+x=20， ②2x2-3xy+4=0， ③， ④ x2=0， ⑤

　　2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x+10)=200，化为一般形式为x2+10x-200=0。

　　3、方程(m-2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则 m= -2 。

　　4、将方程(x+1)2+(x-2)(x+2)=1化成一元二次方程的一般形式为 2x2+2x-4=0 ，其中二次项是 2x2 ，二次项系数是 2 ，一次项是 2x ，一次项系数是 2 ，常数项是 -4 。

　　(设计意图：随堂检测学生对新知识的掌握情况，及时了解反馈和调整后续教学内容与教法。)

　　六、课后作业

　　教科书第28页 1 2 5 6 7

　　教学理念与反思

　　本节内容是九年级数学第二章的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的概念及一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)和二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项，是典型的概念教学课。

　　概念教学总是遵循这样的规律：引入概念、形成概念、巩固概念、运用概念和深化概念，在设计教学中也是遵循这一规律，通过学习、交流、应用、总结、检测这五个环节来完成教学任务。首先通过三个问题让学生建立一元二次方程顺利引入到新课;然后通过交流探究归纳出一元二次方程的概念，使学生体会到学习一元二次方程的必要性，探讨一元二次方程的一般形式及相关概念，并学会利用方程解决实际问题，从而获得本课的新知识;再次是通过两个例题达到巩固、运用概念的作用;最后通过总结与检测来深化学生所学知识，并运用到实际问题中去，使学生熟练掌握所学知识。

　　教学过程中，强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。

　　一元二次方程习题

　　1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的( )

　　A、(x-p)2=5 B、(x-p)2=9

　　C、(x-p+2)2=9 D、(x-p+2)2=5

　　2、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于( )

　　A、-1 B、0 C、1 D、2

　　3、若α、β是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为( )

　　A、2005 B、2003 C、-2005 D、4010

　　4、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是( )

　　A、k≤- B、k≥- 且k≠0

　　C、k≥- D、k>- 且k≠0

　　5、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是( )

　　A、 x2+3x-2=0 B、x2-3x+2=0

　　C、x2-2x+3=0 D、x2+3x+2=0

　　6、已知关于x的方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是( )

　　A、-2 B、-1 C、0 D、1

　　7、某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是( )

　　A、300(1+x)=363 B、300(1+x)2=363

　　C、300(1+2x)=363 D、363(1-x)2=300

　　8、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+ 和2- ，则原方程是( )

　　A、 x2+4x-15=0 B、x2-4x+15=0

　　C、x2+4x+15=0 D、x2-4x-15=0

　　十字相乘法解一元二次方程介绍

　　在解一元二次方程时，常常需要用到分解因式，但是教材中一般只介绍了提公因式法、平方差公式法和完全平方公式法.

　　本期我们将介绍一种在因式分解中起着重要作用的方法：十字相乘法.

　　先来看一个等式：

　　(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab.

　　把这个等式反过来写就是：

　　x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

　　此时我们可以发现，如果一个式子可以化成x²+(a+b)x+ab的形式，它就可以通过因式分解得到(x+a)(x+b).

　　而x²+(a+b)x+ab的特点是：二次项x²的系数是1，一次项的系数与常数项有联系，一个是a+b,一个是ab.

　　现在我们来看两个例题：

　　例1.解方程：x²+x-6=0.

　　分析：因为x的系数是1，所以我们要找两个相加等与1的数，而且这两个数乘积是-6. 于是我们找到了-2和3.

　　解：x²+x-6=(x+3)[x+(-2)]

　　=(x+3)(x-2)=0.

　　所以方程的解为：

　　x1=-3, x2=2.

　　例2：解方程：x²+5x+6=0.

　　分析：因为x的系数是5，我们就要找两个相加等与5的数，而且这两个数乘积是6. 于是我们找到了2和3.

　　解：x²+x-6=(x+3)(x+2)=0.

　　所以方程的解为：

　　x1=-3,x2=-2.

　　以下几道习题留给读者练习一下：

　　解下列方程：

　　x²+5x-6=0;

　　x²+7x+12=0;

　　x²+3x-10=0;

　　x²-5x+6=0;

　　x²-4x+3=0.

　　有的读者会问为什么叫十字相乘法，这与用这种方法解题的方式有关. 这要从这种方法的更一般的形式说起.

　　我们一起来看下面的等式：

　　(ax+b)(cx+d)

　　=acx²+(ad+bc)x+bd.

　　这个等式反过来写就是：

　　acx²+(ad+bc)x+bd

　　=(ax+b)(cx+d).

　　我们如果把二次项acx²的系数ac和常数项bd按下图的方式写在一个正方形的四个顶点处，那么，让同一条对角线上的两个数相乘之后，我们就得到两个乘积：ad和bc.

　　让这两个乘积相加，则有ad+bc，这正好是一次项(ad+bc)x的系数.

　　而在同一行，横着的两个数，让左边的数乘上x再加右边的数，就得到：ax+b和cx+d两个式子，这正是因式分解后得到的结果(ax+b)(cx+d)中的两个因式.

　　而上图中出现的那个“×”，像个斜放着的“十”字，所以我们称这种方法为：十字相乘法.

　　这个方法的应用如下：

　　例3. 解方程：6x²-2x-28=0.

　　分析：分别把6和-28进行分解，然后作十字相乘，找可以得到-2的结果.如图：

　　这里，6分解成2×3，-28分解成4×(-7)，作十字相乘，得到两个乘积：-14和12，让两个积相加，就得到一次项的系数-2. 每一行，横着的两个数，左边的数乘x再加上右边的数，得到：2x+4和3x-7.

　　所以6x²-2x-28

　　=(2x+4)(3x-7)=0

　　这个方程的解为：

　　以下是两道练习：

　　解下列方程：

　　6x²+12x-48=0;

　　5x²-25x+20=0.

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