八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷
八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷
只有脚踏实地做八年级数学测试题的人，才能够说：路，就在我的脚下。小编整理了关于八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷，希望对大家有帮助!
八年级数学上册线段、角的轴对称性试试题
一、选择题(共14小题)
1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=( )
A. B.2 C.3 D. +2
4.如图，在边长为 的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为( )
A. B. C. D.1
5.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
6.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是( )
A.2 B. C. D.
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD的长是( )
A.1 B. C. D.2
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.
其中正确的是( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
9.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于( )
A.BD：CD B.AD：CD C.BC：AD D.BC：AC
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC：S△ABC=1：3.
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF;
②AD垂直平分EF;
③ ;
④EF一定平行BC.
其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
12.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
13.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
14.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(共13小题)
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线.若AB=6，则点D到AB的距离是 .
16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 .
18.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE=3，则点P到AD的距离为 .
19.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 .
20.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是 .
21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3，则△ABD的面积为 .
22.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °.
23.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= .
24.已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 .
25.如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 cm.
26.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 .
27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长是 .
三、解答题(共3小题)
28.如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
29.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形.
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5，BC=12，求OE的长.
30.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷参考答案
一、选择题(共14小题)
1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点P( )
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.组成∠E的角平分线
D.组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线的性质分析，作∠E的平分线，点P到AB和CD的距离相等，即可得到S△PAB=S△PCD.
【解答】解：作∠E的平分线，
可得点P到AB和CD的距离相等，
因为AB=CD，
所以此时点P满足S△PAB=S△PCD.
故选D.
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据AB=CD和三角形等底作出等高即可.
2.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于( )
A.10 B.7 C.5 D.4
【考点】角平分线的性质.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可.
【解答】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE= BC•EF= ×5×2=5，
故选C.
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=( )
A. B.2 C.3 D. +2
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形.
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得.
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3.
故选C.
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键.
4.如图，在边长为 的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则点P到边AB所在直线的距离为( )
A. B. C. D.1
【考点】角平分线的性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【分析】根据△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，在Rt△PCB中， =1，即可解答.
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BP平分∠ABC，
∴∠PBC= =30°，
∵PC⊥BC，
∴∠PCB=90°，
在Rt△PCB中， =1，
∴点P到边AB所在直线的距离为1，
故选：D.
【点评】本题考查了等边三角形的性质、角平分线的性质、利用三角函数求值，解决本题的关键是等边三角形的性质.
5.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【考点】角平分线的性质.
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从而得解.
【解答】解：如图，
过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6.
故选：A.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键.
6.如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点，则DM的长是( )
A.2 B. C. D.
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.
【分析】由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长.
【解答】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE= CP=1，
∴PE= = ，
∴OP=2PE=2 ，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM= OP= .
故选：C.
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD的长是( )
A.1 B. C. D.2
【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，利用勾股定理列式求出AB，再根据△ABC的面积公式列出方程求解即可.
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE=CD，
由勾股定理得，AB= = =5，
S△ABC= AB•DE+ AC•CD= AC•BC，
即 ×5•CD+ ×3•CD= ×3×4，
解得CD= .
故选C.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记性质并根据三角形的面积列出方程是解题的关键.
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：
①OA=OD;
②AD⊥EF;
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形;
④AE+DF=AF+DE.
其中正确的是( )
A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的判定.
【专题】压轴题.
【分析】①如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，所以①不正确.
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD，AE=AF，DE=DF;然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AE0≌△AFO，即可判断出AD⊥EF.
③首先判断出当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，四边形AEDF是矩形，然后根据DE=DF，判断出四边形AEDF是正方形即可.
④根据△AED≌△AFD，判断出AE=AF，DE=DF，即可判断出AE+DF=AF+DE成立，据此解答即可.
【解答】解：如果OA=OD，则四边形AEDF是矩形，∠A=90°，不符合题意，
∴①不正确;
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD∠FAD，
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD(AAS)，
∴AE=AF，DE=DF，
∴AE+DF=AF+DE，
∴④正确;
在△AEO和△AFO中，
，
∴△AE0≌△AF0(SAS)，
∴EO=FO，
又∵AE=AF，
∴AO是EF的中垂线，
∴AD⊥EF，
∴②正确;
∵当∠A=90°时，四边形AEDF的四个角都是直角，
∴四边形AEDF是矩形，
又∵DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形，
∴③正确.
综上，可得
正确的是：②③④.
故选：D.
【点评】(1)此题主要考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及直角三角形的性质和应用，要熟练掌握.
(2)此题还考查了全等三角形的判定和应用，要熟练掌握.
(3)此题还考查了矩形、正方形的性质和应用，要熟练掌握.
9.如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于( )
A.BD：CD B.AD：CD C.BC：AD D.BC：AC
【考点】角平分线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有 = ，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证.
【解答】解：如图
过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，
∴△BDE∽△CDA，
∴ = ，
又∵AD是角平分线，
∴∠E=∠DAC=∠BAD，
∴BE=AB，
∴ = ，
∴AB：AC=BD：CD.
故选：A.
【点评】此题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论.关键是作平行线.
10.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是( )
①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC：S△ABC=1：3.
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;作图—基本作图.
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线;
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数;
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上;
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比.
【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.
故①正确;
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2= ∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.
故②正确;
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上.
故③正确;
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD= AD，
∴BC=CD+BD= AD+AD= AD，S△DAC= AC•CD= AC•AD.
∴S△ABC= AC•BC= AC• AD= AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC= AC•AD： AC•AD=1：3.
故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个.
故选D.
【点评】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图.解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质.
11.如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF;
②AD垂直平分EF;
③ ;
④EF一定平行BC.
其中正确的是( )
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质.
【分析】由三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，根据角平分线的性质，可得DE=DF，∠ADE=∠ADF，又由角平分线的性质，可得AF=AE，继而证得①∠AFE=∠AEF;又由线段垂直平分线的判定，可得②AD垂直平分EF;然后利用三角形的面积公式求解即可得③ .
【解答】解：①∵三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠ADE=∠ADF，DF=DE，
∴AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，故正确;
②∵DF=DE，AF=AE，
∴点D在EF的垂直平分线上，点A在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF，故正确;
③∵S△BFD= BF•DF，S△CDE= CE•DE，DF=DE，
∴ ;故正确;
④∵∠EFD不一定等于∠BDF，
∴EF不一定平行BC.故错误.
故选A.
【点评】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
12.如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是( )
A.3 B.4 C.6 D.5
【考点】角平分线的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
∴ ×4×2+ ×AC×2=7，
解得AC=3.
故选：A.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.
13.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是( )
A.∠BAC=70° B.∠DOC=90° C.∠BDC=35° D.∠DAC=55°
【考点】角平分线的性质;三角形内角和定理.
【专题】计算题.
【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC=70°，再根据角平分线的定义求出∠ABO，然后利用三角形的内角和定理求出∠AOB再根据对顶角相等可得∠DOC=∠AOB，根据邻补角的定义和角平分线的定义求出∠DCO，再利用三角形的内角和定理列式计算即可∠BDC，判断出AD为三角形的外角平分线，然后列式计算即可求出∠DAC.
【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，
故A选项正确，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABO= ∠ABC= ×50°=25°，
在△ABO中，
∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，
∴∠DOC=∠AOB=85°，
故B选项错误;
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD= (180°﹣60°)=60°，
∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，
故C选项正确;
∵BD、CD分别是∠ABC和∠ACE的平分线，
∴AD是△ABC的外角平分线，
∴∠DAC= (180°﹣70°)=55°，
故D选项正确.
故选：B.
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题的关键.
14.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为( )
A. B. C. D.
【考点】角平分线的性质;三角形的面积;勾股定理.
【专题】压轴题.
【分析】根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解.
【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC= = =5，
∴BC边上的高=3×4÷5= ，
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，
则S△ABC= ×3h+ ×4h= ×5× ，
解得h= ，
S△ABD= ×3× = BD• ，
解得BD= .
故选A.
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键.
二、填空题(共13小题)
15.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线.若AB=6，则点D到AB的距离是 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出.
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
∴BC= AB=3，
∴CD=BC•tan30°=3× = ，
∵BD是∠ABC的平分线，
又∵角平线上点到角两边距离相等，
∴点D到AB的距离=CD= ，
故答案为： .
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.
16.在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 4：3 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比.
【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，
∴h1=h2，
∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，
故答案为4：3.
【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键.
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是 3 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DC即可得解.
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵AD是∠CAB的角平分线，∠C=90°，
∴DE=DC，
∵DC=3，
∴DE=3，
即点D到AB的距离DE=3.
故答案为：3.
【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.
18.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E.若PE=3，则点P到AD的距离为 3 .
【考点】角平分线的性质;菱形的性质.
【专题】计算题.
【分析】作PF⊥AD于D，如图，根据菱形的性质得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质得PF=PE=3.
【解答】解：作PF⊥AD于D，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC平分∠BAD，
∵PE⊥AB，PF⊥AD，
∴PF=PE=3，
即点P到AD的距离为3.
故答案为：3.
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了菱形的性质.
19.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是 15 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE=3，根据三角形的面积求出即可.
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A=90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
∴△BDC的面积是 ×DE×BC= ×10×3=15，
故答案为：15.
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.
20.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，那么点D到BC的距离是 3 .
【考点】角平分线的性质;勾股定理.
【分析】首先过点D作DE⊥BC于E，由在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，根据角平分线的性质，即可得DE=AD，又由勾股定理求得AD的长，继而求得答案.
【解答】解：过点D作DE⊥BC于E，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，
即AD⊥BA，
∴DE=AD，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，
∴AD= =3，
∴DE=AD=3，
∴点D到BC的距离是3.
故答案为：3.
【点评】此题考查了角平分线的性质与勾股定理的应用.此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法.
21.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线.若CD=3，则△ABD的面积为 15 .
【考点】角平分线的性质.
【专题】几何图形问题.
【分析】要求△ABD的面积，现有AB=10可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E.根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解.
【解答】解：作DE⊥AB于E.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=CD=3.
∴△ABD的面积为 ×3×10=15.
故答案是：15.
【点评】此题主要考查角平分线的性质;熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键.
22.如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= 35 °.
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线，然后根据角平分线的定义解答即可.
【解答】解：∵QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，QC=QD，
∴OQ是∠AOB的平分线，
∵∠AOB=70°，
∴∠AOQ= ∠A0B= ×70°=35°.
故答案为：35.
【点评】本题考查了角平分线的判定以及角平分线的定义，根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断OQ是∠AOB的平分线是解题的关键.
23.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= 3 .
【考点】角平分线的性质;勾股定理.
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解.
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= = =10，
∵AD平分∠CAB，
∴CD=DE，
∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE= AC•BC，
即 ×6•CD+ ×10•CD= ×6×8，
解得CD=3.
故答案为：3.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键.
24.已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD=10，则PE的长度为 10 .
【考点】角平分线的性质.
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PD.
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE=PD=10.
故答案为：10.
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观.
25.如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，PE=4cm，则点P到边BC的距离为 4 cm.
【考点】角平分线的性质.
【分析】BD是∠ABC的平分线，再根据角平分线的性质即可得到点P到BC的距离.
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，PE⊥AB于点E，PE=4cm，
∴点P到BC的距离=PE=4cm.
故答案为4.
【点评】本题考查了角平分线的性质.由已知能够注意到P到BC的距离即为PE长是解决的关键.
26.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是 4 .
【考点】角平分线的性质.
【专题】压轴题.
【分析】首先根据CD平分∠ACB交AB于点D，可得∠DCE=∠DCF;再根据DE⊥AC，DF⊥BC，可得∠DEC=∠DFC=90°，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△CED≌△CFD，即可判断出DF=DE;最后根据三角形的面积=底×高÷2，求出△BCD的面积是多少即可.
【解答】解：∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCE=∠DCF，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC=∠DFC=90°，
在△DEC和△DFC中，
(AAS)
∴△DEC≌△DFC，
∴DF=DE=2，
∴S△BCD=BC×DF÷2
=4×2÷2
=4
答：△BCD的面积是4.
故答案为：4.
【点评】(1)此题主要考查了角平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
(2)此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及三角形的面积的求法，要熟练掌握.
27.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若AD=4，CD=2，则AB的长是 4 .
【考点】角平分线的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理.
【专题】计算题.
【分析】先求出∠CAD=30°，求出∠BAC=60°，∠B=30°，根据勾股定理求出AC，再求出AB=2AC，代入求出即可.
【解答】解：∵在Rt△ACD中，∠C=90°，CD=2，AD=4，
∴∠CAD=30°，
∴由勾股定理得：AC= =2 ，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=4 ，
故答案为：4 .
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，三角形内角和定理，勾股定理的应用，解此题的关键是求出AC长和求出∠B=30°，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
三、解答题(共3小题)
28.如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF.请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
【考点】角平分线的性质;三角形的面积.
【分析】分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，由AC为∠BAD的角平分线，得到CG=CH，根据等底等高的三角形的面积相等得到△ABC面积=△ACD面积，又由于AE=DF，得到△AEC面积=△CDF面积，于是△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，求出△BCE面积=△ACF面积，由四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，得到四边形AECF面积=△ABC面积，又由于四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，四边形ABCD面积=2△ABC面积，即可得到结果.
【解答】解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半.
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键.
29.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线.点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形.
(1)求证：点O在∠BAC的平分线上;
(2)若AC=5，BC=12，求OE的长.
【考点】角平分线的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
【分析】(1)过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上;
(2)由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果.
【解答】(1)证明：过点O作OM⊥AB，
∵BD是∠ABC的一条角平分线，
∴OE=OM，
∵四边形OECF是正方形，
∴OE=OF，
∴OF=OM，
∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上;
(2)解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB= = =13，
设CE=CF=x，BE=BM=y，AM=AF=z，
∴ ，
解得： ，
∴CE=2，
∴OE=2.
【点评】本题主要考查了正方形的性质，以及角平分线定理及性质，熟练掌握正方形的性质，运用方程思想是解本题的关键.
30.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
【考点】角平分线的性质;勾股定理.
【分析】(1)根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可;
(2)利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积.
【解答】解：(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵CD=3，
∴DE=3;
(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =10，
∴△ADB的面积为S△ADB= AB•DE= ×10×3=15.
【点评】本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.
看了“八年级数学上册线段、角的轴对称性试卷”的人还看了：