上学期高二年级数学考试试题
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高二数学上学期期中试卷阅读
可能用到的公式：球的体积公式 (其中R为球的半径)
一.选择题(共12题，每题5分，共60分，每小题只有一项是正确答案)
1. 设 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.已知空间的两条直线 及两个平面 ，β，下列四个命题中正确的是( )
①若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥ ;②若 ∥β， ， β，则 ∥ ;
③若 ∥ ， ∥ ，则 ∥ ;④若 ∥β， ∥ ， ⊥ ，则 ⊥β
A. ①③ B、②④ C、①④ D、②③
3.椭圆 的左右焦点分别为 ，点P在椭圆上，则 的周长为( )
A、20 B、18 C、16 D、14
4.已知三棱锥A-BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有( )
A、平面ABC⊥平面ADC B、平面ADC⊥平面BCD
C、平面ABC⊥平面BDC D、 平面ABC⊥平面ADB
5.正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线BD1与AC所成的角等于( )
A.60° B.45° C.30° D.90°
6. 如果执行下面的框图，输入N=5，则输出的数等于 ( )
A. B、 C. D.
7.“ ”是“ ”的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
8、椭圆 的左右焦点分别为 ，点P在椭圆上， 轴，且 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A、 B、 C、 D、
9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C . D.
10.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是( )
A. B.
C. 1 D.
11.已知方程 有两个不同的实数解，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知点P(1，1)及圆C： ，点M，N在圆C上，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二.填空题(共4题，每题5分，共20分)
13.已知向量 =(4，2)，向量 =( ，3)，且 // ,则 =
14. 已知正三棱锥S-ABC的侧棱长为2，底面边长为1，则侧棱SA与底面ABC所成角的余弦值等于
15.菱形ABCD的边长为2，且∠BAD=60°，将三角形ABD沿BD折起，得到三棱锥A-BCD，则三棱锥A-BCD体积的最大值为
16. 函数 的图像与函数 的图像所有交点的横坐标之和等于
三.解答题(共5题，70分)
17(12分)、已知A、B、C是 ABC的内角， 分别是角A，B，C的对边。
若
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若 ,求 ABC面积的最大值
18(14分). 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
O为AB的中点
(1)证明：AB⊥平面A1OC
(2)若AB=CB=2，平面ABC 平面A1ABB1，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
19(14分).在数列 中， ,
(I)设 ，求数列 及 的通项公式
(II)求数列 的前 项和
20(14分)、已知过点A(0，4)，且斜率为 的直线与圆C： ，相交于不同两点M、N.
(1)求实数 的取值范围;
(2)求证： 为定值;
(3)若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求 的值，若不存在，说明理由。
21.(16分)已知函数 ， .
(1)若函数 在 上是增函数，求实数 的取值范围;
(2)若存在实数 使得关于 的方程 有三个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
)参考答案
一.选择题答(每题5分)DCBBD，BADCA，CA
二 填空题答6; ;1;12(每题5分)
17解：(I)由正弦定理及
得 …………………2分
由余弦定理 …………………4分
又 ，则 …………………………………6分
(II)由(I)得 ，又 ， 得
又 可得
…8分
……10分
当 时取得等号 ……11分
所以的 ABC面积最大值为 ……12分
18解：(1)证明：连结A1B.，因为CA=CB，OA=OB，所OC⊥AB
因为AB=AA1，∠BAA1=60°，所三角形AA1B为等边三角形，
所以AA1=A1B，又OA=OB，所以OA1⊥AB，又 = ， 面A1OC
(2)由题可知， 与 是边长为2的等边三角形，得
平面ABC 平面A1ABB 平面ABC 平面A1ABB=AB，
由(1)OA1⊥AB， 平面A1ABB
面ABC
为三棱柱ABC-A1B1C1的高
=3
19【解析】(I)由已知有
则
( )
又 ，得
(II)由(I)知 ,
令
则
两式相减得
=
=
20解：(1)(一)设直线方程为 ，即 ，点C(2，3)到直线的距离为
,解得
(二)设直线方程为 ，联立圆C的方程得
,此方程有两个不同的实根
,解得
(2)设直线方程为 ，联立圆C的方程得
,设M ,
则
(2) 假设存在满足条件的直线，则有
得 ，从而得 ,此方程无实根
所以，不存在以MN为直径的圆过原点。
21.解：(1) ， ………………3分
当 时， 的对称轴为： ;
当 时， 的对称轴为： ;
∴当 时， 在R上是增函数，即 时，函数 在 上是增函数; ………………6分
(2)方程 的解即为方程 的解.
①当 时，函数 在 上是增函数，∴关于 的方程 不可能有三个不相等的实数根; ………………8分
②当 时，即 ，∴ 在 上单调增，在 上单调减，在 上单调增，∴当 时，关于 的 方程 有三个不相等的实数根;即 ，
∵ ∴ . ………………10分
设 ，∵存在 使得关于 的方程 有三个不相等的实数根， ∴ ，又可证 在 上单调增
∴ ∴ ;………………12分
③当 时，即 ，∴ 在 上单调增，在 上单调减，在 上单调增，………………13分
∴当 时，关 于 的方程 有三个不相等的实数根;
即 ，∵ ∴ ，设
∵存在 使得关于 的方程 有三个不相等的实数根，
∴ ，又可证 在 上单调减∴
∴ ; ………………15分
综上： . ………………16分
关于高二数学上学期期中试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.已知点 和 在直线 的两侧，则实数 的取值范围为( )
2.已知椭圆的标准方程为 ，则椭圆的焦点坐标为( )
3. 已知 ，且 ，则 有( )
最大值 最大值 最小值 最小值
4.如图，△A'B'C'是△ABC的直观图，其中 ， 轴， 轴，那么△ABC是( )
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
5.设实数 满足约束条件 ，则目标函数 的最大值为( )
6.过正方体 的棱 、 的中点 、 作一个截面，使截面与底面 所成二面角为 ，则此截面的形状为( )
三角形或五边形 三角形或四边形 正六边形 三角形或六边形
7.已知 、 为不同直线， 、 为不同平面，则下列说法正确的是( )
若 ， ， ，则 ; 若 ， ，则
若 ， ， 、 不平行，则 、 为异面直线;
若 ， ， ，则 .
8.异面直线 与 成 角，异面直线 与 成 角，则异面直线 与 所成角的取值范围是( )
9.已知椭圆 ，过椭圆右焦点 的直线 交椭圆于 两点，交 轴于点 ，设 ，则 ( )
10.如图，在底面为平行四边形的四棱锥 中， 分别是棱 上的动点，且满足 ，则线段 中点的轨迹是( )
一条线段 一个三角形
一段圆弧 椭圆的一部分
二、填空题(本大题7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分)
11. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的表面积为________，体积为________.
12. 双曲线 的实轴长为________， 渐近线方程是________ .
13. 与圆 外切，且与圆 内切的动圆圆心的轨迹方程为________.
14. 双曲线 的两个焦点分别为 ，点 在双曲线上，且满足 ，则 的周长为________，面积为________. .
15. 若 ，且 ，当且仅当________时， 取得最小值________. .
16. 已知 是球 表面上的点， 平面 ， ， ， ，则球 的体积等于________. .
17. 已知函数 ， ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围________. .
三、解答题(本大题5个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18. (1)若双曲线的一条渐近线方程为 ，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程.
(2)一组平行直线 与椭圆 相交，求弦的中点的轨迹方程.
19. 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 . ， 为 的中点， .
(1)求证： 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
20. 已知函数 ， .
(1)当 时，解不等式 ;
(2)当 时，若关于 的方程 在 上的解集为空集，求实数 的取值范围.
21.如图，在三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点.
(1)设棱 的中点为 ，证明： 平面 ;
(2)若 ， ， ，且平面 平面 ，求二面角 的余弦值.
22.已知椭圆 的两个顶点分别为 ，点 为椭圆上异于 的点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 .
(1)求椭圆 的离心率;
(2)若 ，设直线 与 轴交于点 ，与椭圆交于 两点，求 面积的最大值.
期中试卷
四、选择题(每小题3分，共30分)
1~10
五、填空题(本大题7个小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分)
11.
12.
13.
14.
15. 18
16.
17.
六、解答题(本大题5个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
18. 若焦点在 轴上，易得双曲线的标准方程为 .................2
若焦点在 轴上，双曲线的标准方程为 。....................4
设 与椭圆 的两交点 其中点
则 .........8
又 ，消去 得 。.....................9
所以弦的中点 的轨迹方程为 ………....10
19. 证明： 平面 ,又 平面 ，所以 ..........2
又底面 是菱形， ,得 为正三角形， 为 的中点，易得 ，所以 , ,故 平面 ...........................5
连接 ，易证 . 平面 ,又 平面 ,得面 面 ，且交线为 ，在平面 内，过 作 ,则 面 ，故 为 在平面 上的射影，即 为所求线面角。.............8
在 中易求 , , ...............10
其它解法酌情给分。
20. 解： 当 时， ，.......2
由 ，
当 时，由 解得 ;
当 时，由 解得 舍去 ;
当 时，由 解得 。
故原不等式的解集为 。.........................5
当 且 时， ， ， 。..........7
要使 在 上的解集为空集，即在 上无实根。记 ，为开口向上的抛物线。
当 时，须满足 解得 。
综上 ...................10
21. 证明： 为 上的中点，易证四边形 为平行四边形，连接 交 于点 则 为 的中点。连接 ,由中位线知 ,又 面 面 ,故 平面 ................5
易证 为正 ，又 为中点， 也为正 。面 面 ,且交线为 ,过 作 交于点 ，则 平面 .过 作 ,连结 则 ,则 为二面角 的平面角。........9
易求 , ， , ...............12
22. 解： 设 为椭圆 上的点
则 ， ........................................2
又
.............................................5
由 知 且 ..............................6
设直线 ，代入椭圆方程有
设 由韦达定理 .........................................8
.10
令 即有 代入上式得
当且仅当 即 时等号成立
面积最大值为 ......................................................................................12
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.数列 的通项公式为 ，则 的第 项是( )
A. B. C. D.
2.在 中， , , ,则 等于( )
A. B. C. D.
3. 等比数列 的前 项和 则 的值为( )
A . B. C . D.
4. 在 中， 分别是角 的对边，若 ，
则 的形状是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形
5.各项均为正数的等比数列 ，前 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠(chuí)，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤?”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为( )
A.6斤 B.9斤 C.9.5斤 D.12斤
7.若实数 满足 ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
8.设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 的最小值为( )
A. B. C. 或 D.
9.已知正数 的等差中项是 ，且 ，则 的最小值是( )
A. B. C. D.
10. 若不等式 对一切实数 都成立，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
11.如图，某景区欲在两山顶 之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高 ， ,在水平面上 处测得山顶 的仰角为 ，山顶 的仰角为 ， ,
则两山顶 之间的距离为( )
A. B. C. D.
12. 中，角 的对边长分别为 ，若 ，则 的最大值为 ( )
A.1 B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知 ，则 的最小值为_______________.
14.已知 中， ， ， ，则 面积为_______ __.
15. 在数列 中，已知 ， ，记 为数列 的前 项和，则 ________.
16.已知首项为2的正项数列 的前 项和为 ，且当 时， .若
恒成立，则实数 的取值范围为__________ _____.
三、解答题：(本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分).
设 是公比为正数的等比数列，若 ， 且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项公式;
(2)设 ，求证：数列 的前 项和 .
18.(本小题满分12分)
已知关于 的不等式 的解集为 .
(1)求 的值;
(2)解关于 的不等式 .
19.(本小题满分12分)
在 中，角 的对边分别为 ，若 .
(1)求角 ;
(2)若 的面积为 ， ，求 的值.
20.(本小题满分12分)
在 中，设角 , , 的对边分别为 , , ，已知
(1)求角 的大小;
(2)若 ，求 周长的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知数列 满足
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ， ，求 成立的正整数 的最小值.
22.(本小题满分12分)
某渔业公司年初用81万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为1万元，以后每年都增加2万元，每年捕鱼收益30万元.
(1)问第几年开始获利?
(2)若干年后，有两种处理方案：方案一：年平均获利最大时，以46万元出售该渔船;
方案二：总纯收入获利最大时，以10万元出售该渔船.问：哪一种方案合算?请说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共12小题，共60分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C B C A D A C B A D
二、填空题(每小题5分，共4小题，共20分)
13、 14、 15、 16、
三、解答题(第17题10分，18-22题每题12分，共70分)
17、解：(1)设等比数列 的公比为 ，
∵ ， ， 成等差数列
∴ 即 ，……………………………(2分)
即 ，解得 或 (舍去)，∴ .……………………………(4分)
所以 的通项为 ( ) ……………………………(5分)
(2)由上知 ∵ ，
∴ ， ……………………………(7分)
∴
……………………………(9分)
∴ ……………………………(10分)
即数列 的前 项和为 .
18、解：(1)由题意知： 且 和 是方程 的两根，……………………………(2分)
由根与系数的关系有 ，解得 ……………………………(6分)
(2)不等式 可化为 ，
即 . ……………………………(8分)
其对应方程的两根为
①当 即 时，原不等式的解集为 ;……………………………(9分)
②当 即 时，原不等式的解集为 ;……………………………(10分)
③当 即 时，原不等式的解集为 ; ……………………………(11分)
综上所述：当 时，原不等式的解集为 ;
当 时，原不等式的解集为 ;
当 时，原不等式的解集为 ;
……………………………(12分)
19、解：(1)(法一)：在 中，由正弦定理得
∴ ……………………………(2分)
又 ，∴ ，
∴ ……………………………(4分)
∴ ……………………………(5分)
， 故 ……………………………(6分)
(法二)由余弦定理得 ………………………(2分)
∴ ……………………………(3分)
∴ , ……………………………(5分)
, 故 . ……………………………(6分)
(2) ，所以 . ……………………………(7分)
又
∴由余弦定理得
∴ ……………………………(9分)
又由正弦定理知 ……………………………(10分)
∴ 即
∴ ……………………………(12分)
20、(1)由题意知 ……………………………(1分)
即 ……………………………(2分)
由正弦定理得 ……………………………(3分)
由余弦定理得 …………………………… (4分)
又 ， 故 …………………………… (5分)
(2)(法一)：由上知 ，
∴由余弦定理有 ，……………………………(6分)
又 ，∴ ， ……………………………(7分)
又∵
∴ ，(当且仅当 时取等号) ……………………………(8分)
∴ ， 即
解得 ，(当且仅当 时取等号) ……………………………(10分)
又∵三角形两边之和大于第三边,即
∴ ……………………………(11分)
∴ ……………………………(12分)
所以 的周长的范围为
(法二)由正弦定理知
∴ , ……………………………(6分)
又
则 的周长
…………………………(8分)
∵ ∴ ∴ ……………………………(10分)
∴ ，
所以 的周长的范围为 .……………………………(12分)
21、解：(1)由 ………①
当 时， ………② ……………………………(2分)
①–②得 即 ……………………………(3分)
当 时， 也满足上式 ……………………………(4分)
∴ ……………………………(5分)
(2)由(1)得, , ……………………………(6分)
所以 ………①
∴ ………② ……………………………(7分)
①-②，得
……………………………(9分)
依题意 ，即 即 成立， ……………………………(10分)
又当 时, ,
当 时, . ……………………………(11分)
故使 成立的正整数 的最小值为5. ……………………………(12分)
22、解：(1)设第n年开始获利，获利为y万元，
由题意知，n年共收益30n万元，每年的费用是以1为首项，2为公差的等差数列，
故n年的总费用为 . ……………………………(2分)
∴获利为 ……………………………(4分)
由 即 解得 ……………………………(5分)
∵n∈N*，∴n=4时，即第4年开始获利. ……………………………(6分)
(2)方案一：n年内年平均获利为 .
由于 ，当且仅当n=9时取“=”号.
∴ (万元).
即前9年年平均收益最大，此时总收益为12×9+46=154(万元).……………………………(9分)
方案二：总纯收入获利 .
∴ 当n=15时， 取最大值144，此时总收益为144+10=154(万元).
……………………………(11分)
∵两种方案获利相等，但方案一中n=9，所需的时间短，
∴方案一较合算. ……………………………(12分)
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