理科高二年级数学期中考试试题
大家要学习好数学的话就必须要多做题，多看，今天小编就给大家分享一下高二数学，需要的来阅读哦
理科高二数学上学期期中试卷
一、单选题
1.命题“若 ,则 且 ”的逆否命题是( D )
A. 若 ,则 且 B. 若 ,则 或
C. 若 且 ,则 D. 若 或 ,则
2已知抛物线方程为 ，则该抛物线的焦点坐标为( C )
A. B. C. D.
3.下列命题错误的是(B )
A. 命题“ ， ”的否定是“ ， ”;
B. 若 是假命题，则 ， 都是假命题
C. 双曲线 的焦距为
D. 设 ， 是互不垂直的两条异面直线，则存在平面 ，使得 ，且
4.与椭园 共焦点且渐近线方程为 的双曲线的标准方程为( D )
A. B. C. D.
5.已知 .若“ ”是真命题，则实数a的取值范围是( C )
A. (1，+∞) B. (-∞，3) C. (1，3) D.
6.直线 截圆 所得弦的长度为4，则实数 的值是( A)
A. -3 B. -4 C. -6 D.
7.方程 表示的曲线是( D )
A. 两条直线 B. 两条射线 C. 两条线段 D. 一条直线和一条射线
8.已知 、 是椭圆 ： 的两个焦点， 为椭圆 上一点，且 ，若 的面积为9，则 的值为( C )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.如图，空间四面体 的每条边都等于1，点 ， 分别是 ， 的中点，则 等于(A )
A. B. C. D.
10.已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上的动点，则
的最小值为(B )
A. B. C. D.
11.如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱ABC—A1B1C1 中，D,E 分别为BB1,A1C1 的中点，则异面直线AD,CE 所成角的余弦值为(C)
A. B. C. D.
12. 为双曲线 上一点， 分别为 的左、右焦点， ，若 外接圆半径与其内切圆半径之比为 ，则 的离心率为(D)
A. B. 2 C. 或 D. 2或3
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C B D C A D C A B C D
二、填空题
13.已知O为空间任意一点，A,B,C,D四点满足任意三点不共线，但四点共面，
且 ,则 __________;
【答案】-1
14.有下列几个命题:
①“若 ,则 ”的否命题;②“若 ,则 , 互为相反数”的逆命题;
③“若 ,则 ”的逆否命题;④ “若 ,则 有实根”的逆否命题;
其中真命题的序号是_____.
【答案】②③④
15.15.已知点 在椭圆 上，则 的最大值为___________;
【答案】4
16.已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点 为其右焦点，若 ,设 ,且 ，则椭圆的离心率 的取值范围为______________
【答案】
三、解答题
17.已知 ，已知命题 ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆;命题 ：“函数 在 上为单调增函数.若“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，求实数 的取值范围.
【答案】 或
【试题解析】
若 为真命题，则 解得 若 为真命题，则 即 ,
若“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，则 一真一假.
当 时，由 得 ,当 时，由 得
综上，实数 的取值范围是 或
18.已知向量 ， ，若向量 同时满足下列三个条件：
① ;② ;③ 与 垂直.
(1)求向量 的坐标;
(2)若向量 与向量 共线，求向量 与 夹角的余弦值.
【答案】(1) 或 ;(2) .
(1)设 ，则由题可知 解得 或
所以 或 .
(2)因为向量 与向量 共线，所以 .
又 ， ，所以 ， ，
所以 ，且 ， ，
所以 与 夹角的余弦值为 .
19.如图，设 是圆 上的动点，点 是 在 轴上的投影， 为 上一点，且 .
(1)当 在圆上运动时，求点 的轨迹 的方程;
(2)求过点 且斜率为 的直线被 所截线段的长度.
【答案】(1) .(2) .
(1)设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，由已知得 .∵ 在圆上， ，
即 ，整理得 ，即 的方程为 .
(2)过点 且斜率为 的直线方程为 ，
设直线与 的交点为 ， ，将直线方程 代入 的方程，
得 ，即 .∴x1+x2=3，x1•x2=-8∴线段 的长度为
.
∴直线被 所截线段的长度为 .
20.如图所示，四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ， ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ;
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析; (2) .
【解析】
(1)证明：因为 ， ， ，所以 ， ，
在 中， ， ， ，由余弦定理可得： 解得： 所以 ，所以 是直角三角形，又 为 的中点，所以 又 ，所以 为等边三角形，所以 ，所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
(2)解：由(1)可知 ，以点 为原点，以 , ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ， .
所以 ， ， .
设 为平面 的法向量，则 ，即
设 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 ，
所以 ,所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
21.已知 为双曲线 的左、右焦点，过 作垂直于 轴的直线，并在 轴上方交双曲线于点 ，且 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过圆 上任意一点 作切线 交双曲线 于 两个不同点， 中点为 ，
若 ，求实数
【答案】(1) ;(2) ;(3)见解析
【解析】：(1)根据已知条件 得 ，∴焦点坐标为 ，
∵ 轴，∴ 在直角三角形 中， ，解得 ，
于是所求双曲线方程为 .
(2)①当直线 的斜率不存在时，则 ，于是 ，此时 ，
②当直线 的斜率存在时，设 的方程为 切线 与 的交点坐标为 ，
于是有 消去 化成关于 的二次为 .
∵ 为 的中点，∴ 即 坐标为
则 ， 又点 到直线 的距离为 ， .代入得： ， ，故 .
22.已知抛物线 ： ( )与椭圆 ： 相交所得的弦长为
(Ⅰ)求抛物线 的标准方程;
(Ⅱ)设 ， 是 上异于原点 的两个不同点，直线 和 的倾斜角分别为 和 ，当 ， 变化且 为定值 ( )时，证明：直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)直线 恒过定点 .
【解析】(Ⅰ)设抛物线 与椭圆 交于 ， 两点.由椭圆的对称性可知， ， ， 将点 代入抛物线 中，得 ，
再将点 代入椭圆 中，得 ，解得 .故抛物线 的标准方程为 .
(Ⅱ)设点 ， ，由题意得 (否则 ，不满足 )，且 ， ，
设直线 ， 的方程分别为 ， ， 联立 ，解得 ， ，联立 ，解得 ， ; 则由两点式得，直线 的方程为 .
化简得 .①因为 ，由 ，得 ，得 ，②将②代入①，化简得 ，得 .
得 ，得 ，得 ，
即 .令 ，不管 取何值，都有 .所以直线 恒过定点 .
考点：(1)轨迹方程;(2)直线过定点;(3)直线与圆的位置关系.
第一学期高二数学试卷题目
选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.不等式 的解集为 ( )
A. B.
C. D.
2.在 中，若 ，则角A是( )
A.钝角 B.直角 C.锐角 D.不能确定
3.对于任意实数 ，不等式 恒成立，则实数 取值范围( )
A. B. C. D.
4.设 ，给出下列三个结论：① ;② ;
③ .其中所有的正确结论的序号是 ( )
A.①③ B.①② C.②③ D.①②③
5.若变量x，y满足约束条件 则z=2x+y的最大值为( )
A.0 B.5 C.-3 D.-2
6.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+4r，则 r=( )
A. B. C. D.
7.已知满足条件 ， ， 的 的个数有两个，则x的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
8.设 是等差数列,下列结论中一定成立的是( )
A.若 ，则 B.若 ，则
C .若 ，则 D.若 ，则
9.等比数列 的各项均为正数，且 ，则 ( )
A.60 B.50 C.40 D.20+log2 5
10.如图， 一艘船上午10：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午11：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距9 n mile,则此船的航速是( )
A.16 n mile/h B.18 n mile/h
C.32 n mile/h D.36 n mile/h
11.等差数列{an}中， ， ,且 < ， 为其前n项之和 ，则使 的最大正整数 是( )
A.198 B. 199 C.200 D.201
12. 中，三个内角 的对边分别为 ，若 成等差数列，且 ，则 ( )
A. B. C. 2 D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13.公差为2的等差数列 中， 成等比数列，则 的前 项和为 .
14.∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 若 的面积为 ，则角B= ,
15.设 ，若关于 的不等式 在 恒成立， 则 的取值范围为 .
16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记 此数列为 ，则 。
三、解答题(本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)在△ 中，角 所对的边分别为 ，已知 ， ， .
(1) 求 的值; (2) 求 的值.
18.(本小题满分12分)设函数 ，其中 。
(1)若不等式 的解集为 ，求实数 值。
(2)当 时，解关于x的不等式 。
19.(本小题满分12分)已知数列 是 等比数列， ， 是 和 的等差中项.
(1)求数列 的前n项和 ;
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
20.(本小题满分12分)如图，已知圆内接四边形ABCD中，AB=3,AD=2,∠BCD=1200
(1)求线段BD的长与圆的面积。
(2)求四边形ABCD的周长的最大值。
21.(本小题满分12分)闽越水镇是闽侯县打造闽都水乡文化特色小镇核心区，该小镇有一块1800平方米的矩形地块，开发商准备在中间挖出三个矩形池塘养闽侯特色金鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植柳树，形成柳中观鱼特色景观。假设池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为 平方米.
(1)试用 表示a及 ;
(2)当 取何值时，才能使得 最大?并求出 的最大值.
22.定义 为n个正数 的“均倒数”。已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为 。
(1)求 数列{an}的通项公式。
(2)设数列 的前n项和为 ，若4 < 对一切 恒成立试求实数m的取值范围。
(3)令 ，问：是否存在正整数k使得 对一切 恒成立，如存在求出k值，否则说明理由。
高中二年 数学 科
参考答案及评分参考
1.C 2.C 3.D 4.B 5.B
6.A 7. B 8. D. 9.B 10 D
11. B .12. C.
13.170 14. 15. 16. 2
17.解：(I)由余弦定理， ，
得 ， ……3分
. ……5分
(II)方法1：由余弦定理，得 ， ……8分
∵ 是 的内角， ……9分
∴ . …10分
方法2：∵ ，且 是 的内角，
∴ . ……6分[
根据正弦定理， ，
. …… 10分
18.解：(1)由于不等式 的解集为 ，所以1与5为方程 的两根，
即 ……………………2分
a=3,k= ………………………4分
(用韦达定理计算同样得分)
(2)a=3时， ，解方程 得 …………………5分
由于1- = 所以
当 时， 此时不等式 的解集为 ………7分
当 时， 此时不等式 的解集为 ………9分
当 时， 此时不等式 的解集为 ………11分
综上
当 时，不等式 解集为
当 时，不等式 解集为
当 时，不等式 解集为 ………12分
(如果误用第一结论，结果正确，可酌情给2分)
19.解：(Ⅰ)设数列 的公比为 ，
因为 ，所以 ， .…………………………………………1分
因为 是 和 的等差中项，所以 .……………………2分
即 ，化简得 .
因为公比 ，所以 .………………………………………………………4分
所以 ,所以数列 的前n项和 = …6分
(Ⅱ)因为 ，所以 .
所以 .…………………8分
则 ， ①
②………………9分
①- ②得
=
= ……………11分
所以 …………12分
20.解：(1)由于四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠BCD+∠BAD=1800
由题设知∠BCD=1200，所以∠BAD=600……………1分
在 中由余弦定理得
= =7
……………4分
由正弦定理得 ………6分
(2)解法一：设∠CBD=θ，那么00<θ<600……………7分
在 中有正弦定理得
……………8分
……………9分
四边形ABCD的周长=5+
= …………11分
由于00<θ<600，所以600<θ+600<1200
所以θ+600=900即所以θ=300时四边形ABCD的周长取得最大值5+ ……………12分
解法二：
设 ， ，在 中由余弦定理得 …7分
…………8分
………9分
四边形ABCD的周长 ………11分
当且仅当 时上式取等号， 四边形ABCD的周长最大值为
……12分
(没有取等条件扣一分)
21.(1)由题图形知，3a+6=x，∴a=x-63.………2分
则总面积S=1 800x-4•a+2a1 800x-6………4分
=a5 400x-16=x-635 400x-16
=1 832-10 800x+16x3，
即S=1 832-10 800x+16x3(x>0).……… 6分
(定义域没写扣一分)
(2)由S=1 832-10 800x+16x3，
得S≤1 832-2 10 800x•16x3……… 8分
=1 832-2×240=1 352(平方米).……… 9分
当且仅当10 800x=16x3，此时，x=45. ………11分
即当x为45米时，S最 大，且S最大值为1 352平方米.……… 12分
22.解：(1)设数列 的前n项和为 ，
由于数列{an}的前n项的“均倒数”为 ，所以
= ……2分
当
当
(对当 成立)
……4分
(2) = = ……5分
= = ……6分
< 对一切 恒成立
解之得
即m 的取值范围是 …8分
(3)解法一： = ……9分
由于
= ……10分
时 ， 时
时 取得最大值，即存在正整数k=10使得 对一切 恒成立
……12分
解法二： = ……9分
假设存在正整数k使得 则 为数列 中的最大项
由 得 …10分
…11分 又 k=10即存在正整数k=10使得 对一切 恒成立…12分
高二数学上学期期中试卷阅读
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合M={x|2x 1}，N={x|﹣2 x 2}，则 RM∩N=( )
A.[﹣2，1] B.[0，2] C.(0，2] D.[﹣2，2]
2.“x 2”是“x2+x﹣6 0”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知a=log20.3，b=20.3，c=0.32，则a，b，c三者的大小关系是( )
A.b c a B.b a c C.a b c D.c b a
4.2路公共汽车每5分钟发车一次，小明到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过两分钟的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知高一(1)班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是( )
A.16 B.22 C.29 D.33
6.直线2x+3y﹣9=0与直线6x+my+12=0平行，则两直线间的距离为( )
A. B. C.21 D.13
7.某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方
格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体
积为( )
A. B.
C. D.
8.在△ABC中， 则( )
A. B.
C. D.
9.已知m，n R，且m﹣2n+6=0，则 的最小值为( )
A. B.4 C. D.3
10.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能
是( )
A.求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和
B.求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和
C.求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和
D.求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和
11.已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底
面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥面ABCD，
若四棱锥的体积为 ，则该球的体积为( )
A.64 π B.8 π
C.24π D.6π
12.定义在R上的函数f(x)满足：f(x﹣2)的对称轴为x=2，f(x+1)= (f(x)≠0)，且f(x)在区间(1，2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )
A.f(sinα) f(cosβ) B.f(sinα) f(cosβ)
C.f(sinα)=f(cosβ) D.以上情况均有可能
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13.在等比数列{an}中，已知 =8，则 =__________
14. 已知变量x,y满足约束条件 ，则目标函数z=2x-y的最大值是________
15.将函数f(x)=sin( 2x)的图象向左平移 个长度单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递减区间是__________
16.由直线x+2y﹣7=0上一点P引圆x2+y2﹣2x+4y+2=0的一条切线，切点为A，则|PA|的最小值为__________
二.解答题(共6小题)
17.(本小题满分10分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB.
(1)求角C的大小;
(2)若c= ，a2+b2=10，求△ABC的面积.
18.(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
分组 频数 频率
[10，15) 10 0.25
[15，20) 25 n
[20，25) m p
[25，30) 2 0.05
合计 M 1
(1)求出表中M，p及图中a的值;
(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15，20)内的人数;
(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，请列举出所有基本事件，并求至多1人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率.
19.(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1= AB=1，点E在棱AB上移动.
(1)证明： B1C⊥平面D1EA;
(2)若BE= ，求二面
角D1﹣EC﹣D的大小.
20.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=nan﹣2n(n﹣1)，首项 =1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列 的前n项和为Mn，求证： Mn .
21.(本小题满分12分)已知圆C经过原点O(0，0)且与直线y=2x﹣8相切于点P(4，0).
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过点(4, 5)，且与圆C相交于M，N两点，若|MN|=2，求出直线l的方程.
22.(本小题满分12分)已知函数 (k R)，且满足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线 没有交点，求a的取值范围;
(3)若函数 ，x [0，log23]，是否存在实数m使得h(x)最小值为0，若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.
理科数学试卷答案
一. 选择题(共12小题)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B A A C B B C A C B A
二、填空题
13. 4 14.2
15. 16.
二.解答题(共6小题)
17.【解答】解：(1)∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2acosC=bcosC+ccosB，
∴2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，
∵A+B+C=π，∴2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，
∴cosC= ，∵0
(2)∵c= ，a2+b2=10， ，
∴由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
即7=10﹣ab，解得ab=3，
∴△ABC的面积S= = = .(5分)
18. 【解答】(1)由分组[10，15)内的频数是10，频率是0.25知， ，所以M=40.
因为频数之和为40，所以 .
因为a是对应分组[15，20)的频率与组距的商，所以 .(4分)
(2)因为该校高三学生有360人，分组[15，20)内的频率是0.625，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.625=225人.(7分)
(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+2=5人
设在区间[20，25)内的人为{a1，a2，a3}，在区间[25，30)内的人为{b1，b2}.
则任选2人共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)10种情况，(9分)
而两人都在[20，25)内共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)3种情况，
至多一人参加社区服务次数在区间[20，25)内的概率为 .(12分)
19.
(6分)
(6分)
20.【解答】解：(1)Sn=nan﹣2n(n﹣1)，
当n≥2时，Sn﹣1=(n﹣1)an﹣1﹣2(n﹣1)(n﹣2)，
相减可得an=nan﹣2n(n﹣1)﹣(n﹣1)an﹣1+2(n﹣1)(n﹣2)，
化为an=an﹣1+4，
则{an}为首项为1，公差为4的等差数列，
即有an=1+4(n﹣1)=4n﹣3;(6分)
(2)证明： = = ( ﹣ )，
前n项和为Mn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= (1﹣ )，
由 (1﹣ )在自然数集上递增，可得n=1时取得最小值 ，
且 (1﹣ )< ，
则 ≤Mn< .(6分)
21.【解答】解：(1)由已知，得圆心在经过点P(4，0)且与y=2x﹣8垂直的直线 上，它又在线段OP的中垂线x=2上，
所以求得圆心C(2，1)，半径为 .
所以圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.(6分)
(2)①当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为 ，即 .
因为|MN|=2，圆C的半径为 ，所以圆心到直线的距离d=2
,解得 ，所以直线 ,
②当斜率不存在时，即直线l:x=4，符合题意
综上直线l为 或x=4(12分)
22.已知函数 (k R)，且满足f(﹣1)=f(1).
(1)求k的值;
(2)若函数y=f(x)的图象与直线 没有交点，求a的取值范围;
(3)若函数 ，x [0，log23]，是否存在实数m使得h(x)最小值为0，若存在，求出m的值;若不存在，请说明理由.
【解答】解：(1)∵f(﹣1)=f(1)，
即 ∴ (3分)
(2)由题意知方程 即方程 无解，
令 ，则函数y=g(x)的图象与直线y=a无交点
∵
任取x1、x2 R，且x1
∴ .∴ ，
∴g(x)在(﹣∞，+∞)上是单调减函数.
∵ ，∴ .
∴a的取值范围是(﹣∞，0].(7分)
注意：如果从复合函数角度分析出单调性，给全分. …9分
(3)由题意h(x)=4x+m×2x，x [0，log23]，
令t=2x [1，3]，φ(t)=t2+mt，t [1，3]，
∵开口向上，对称轴 .
当 ， ，m=﹣1
当 ， ，m=0(舍去)
当 ，即m<﹣6，φ(t)min=φ(3)=9+3m=0，m=﹣3(舍去)
∴存在m=﹣1得h(x)最小值为0(12分)
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