第二学期高二级数学期中考试试题
有很多同学都说数学学习不好，那么我们大家有尝试去做数学题吗，今天小编就给大家来分享一下高二数学，需要的来一起参考吧
数学第二学期高二年级期中题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.
1.命题“ ”的否定为
A. B.
C. D.
2.已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
A. B. C. D.
3.已知平面 的法向量为 ，点 不在 内，则直线 与平面的位置关系为
A. B.
C. 与 相交不垂直 D.
4.为防止某种疾病，今研制一种新的预防药.任选取100只小白鼠作试验，得到如下的列联表：
经计算得 ,则在犯错误的概率不超过( )的前提下认为“药物对防止某种疾病有效”。
A.0.025 B.0.10 C . 0.01 D. 0.05
参考数据：
气温(℃) 18 13 10 -1
销售量个) 24 34 38 64
5.某咖啡厂为了了解热饮的销售量 (个)与气温 (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：
由表中数据，得线性回归方程为y^= x ，，当气温为-4℃时，预测销售量约为
A.68 B.66 C.72 D.70
6.抛掷两枚骰子，当至少有一枚5点或6点出现时，就说试验成功，则在30次独立重复试验中成功的次数X的数学期望是
A. B. C.10 D.20
7.下列选项中，说法正确的是
A.若命题“ ”为真命题，则命题 和命题 均为真命题
B. 是 的必要不充分条件
C. 是 的充要条件
D.命题“若 构成空间的一个基底，则 构成空间的一个基底”的否命题为真命题
8.已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆 有公共点 ，且圆在 点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为
A. B. C. 或 D.以上都不对
9.某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选物理，现物理选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有
A.72种 B.54种 C.36种 D.18种
10.已知函数 有平行于 轴的切线且切点在 轴右侧，则 的范围为
A. B. C. D.
11.抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是抛物线上的两个动点，且满足 .设线段 的中点 在 上的投影为 ，则 的最大值是
A. B. C. D.
12.在棱长为 的正方体 中， 是 的中点，点 在侧面 上运动.现有下列命题：
①若点 总保持 ，则动点 的轨迹所在的曲线是直线;
②若点 到点 的距离为 ，则动点 的轨迹所在的曲线是圆;
③若 满足 ，则动点 的轨迹所在的曲线是椭圆;
④若 到直线 与直线 的距离比为 ，则动点 的轨迹所在的曲线是双曲线;
⑤若 到直线 与直线 的距离相等，则动点 的轨迹所在的曲线是抛物线.
其中真命题的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.假定一个家庭有两个小 孩，生男、生女是等可能的，在已知有一个是女孩的前提下，则另一个小孩是男孩的概率是 .
14.已知空间四点 共面，则 =
15.已知 是圆 ( 为圆心)上一动点，线段 的垂直平分线交直线 于 ，则动点 的轨迹方程为 .
16.把长度 和宽 分别为 和2的长方形 沿对角线 折成 的二面角，则 等于 .
三、解答题：本大题 共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分10分)
已知 恒成立， 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，若命题“ 且 ”为假，求实数 的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知 展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大256;
(Ⅰ)求展开式中的所有无理项的系数和;
(Ⅱ)求展开式中系数最大的项.
19.(本小题满分12分)
已知点M到点 的距离比到点M到直线 的距离小4;
(Ⅰ)求点M的轨 迹 的方程;
(Ⅱ)若曲线C上存在两点A，B关于直线l: 对称，求直线AB的方程.
20.(本小题满分12分)
医生的专业能力参数 可有效衡量医生的综合能力， 越大，综合能力越强，并规定: 能力参数 不少于30称为合格，不少于50称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力 的频率分布直方图:
(Ⅰ)求出这个样本的合格率、优秀率;
(Ⅱ)现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名.
①求这2名医生的能力参数 为同一组的概率;
②设这2名医生中能力参数 为优秀的人数为 ,求随机变量 的分布列和期望.
21.(本小题满分12分)
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点， PA=PD=4，BC=12AD=2，CD= .
(Ⅰ)求证：PA⊥CD;
(Ⅱ) 若M是棱PC的中点，求直线PB与平面BEM所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱PC上是否存在点N，使二面角N-EB-C 的余弦值为 ，若存在，确定点N的位置;若不存在，请说明理由.
22.(本小题满分12分)
已知椭圆 的左、右焦点分别是 ，离心率为 ，过 且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的线段长为 ;
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)若P为椭圆C在第一象限内的任意一点，过点P且斜率为 的直线与椭圆相切，设 的斜率分别为 ，试证明 为定值，并求出此定值;
(Ⅲ)若直线 与椭圆 交于不同的两点 ，且原点O到直线l的距离为1，设 ，当 时，求 的面积 的取值范围.
高二数学(理科)参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
答案 C C D B A B D B B A C C
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17. 解：由题意：若 为真，则有 对 恒成立
取“=” …………4分
若 为真，则有 ，即 或 ………8分
由 且 为假，则 、 中至少一个为假
若 、 均为真，则
且 为假，实数 的取值范围是 …………10分
18.解：由条件得 ，则 ，则 的第 项为
…………4分
(1)由通项公式易知当 时， 为无理项
故无理项的系数和为 …………8分
(2) 当 时，系数为 ;当 时，系数为
当 时，系数最大，故系数最大的项为 ……12分
19.解：(1)结合图形知，点M不可能在 轴的左侧，即M到点 的距离等于M到直线 的距离 M的轨迹是抛物线， 为焦点， 为准线 M的轨迹方程是： (或由 化简得 )……6分
(2)设 则 相减得
又 的斜率为-4则
中点的坐标为 ， 即
经检验，此时， 与抛物线有两个不同的交点，满足题意. …………12分
20. 解：(1)合格率是：
优秀率是： …………3分
(2)由题意知，这20名医生中，[20，30]有4人，[30，40]有6人，[40，50]有4人，[50，60]有3 人，[60，70]有2人，[70，80]有1人
① …………7分
②优秀的人数为：3+2+1=6人
，
的分布列是：
0 1 2
故 的期望是 …………12分
21.解：(1) 面 面
等腰 中， 为 的中点， 面
又 在面 内的射影是 ，
由三垂线定理知： …………4分
(2)以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，由 得
又 则 ， 又
设平面 的一个法向量为
则
令 则 又
设直线 与平面 所成角为
则 …………8分
(3)假设在棱 上存在点 ，使二面角 的余弦值为
设 ，则
又 ，设平面 的一个法向量为
则
令
又 为平面 的一个法向量
则 解得 (负值舍)
故存在点 为棱 的靠近 的三分点符合条件. …………12分
22.解：(Ⅰ)椭圆方程为 …………3分
(Ⅱ)设点 的坐标为
则 ，又由 得
则 ，又
，故 ……7分
(Ⅱ)方法二：设 与 相切于点
则 即
又 即 (同上)
(Ⅲ)设
联立
则 则
又 点 到直线 的距离为1， 即
则 ，
令 ，则 ，
又 ，由 得
故当 时， ;当 时， ， 的范围是 ……12分
高二下学期数学理期中联考试题
一 、选择题 (本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.命题“存在实数 ，使 >1”的否定是( )
A.对任意实数 ，都有 >1 B.不存在实数 ，使 ≤1
C.对任意实数 ，都有 ≤1 D.存在实数 ，使 ≤1
2.已知向量a=(1，0，-1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A.(-1，1，0) B.(1，-1，0)
C.(0，-1，1) D.(-1，0，1)
3. 是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知点 及抛物线 上一动点 ，则 的最小值是( )
A. 2 B.3 C.4 D.
5.已知 ， ，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
6. 在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，点E、F分别是A1B1、A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BE与AF所成的角的余弦值是( )
A. 3010 B. 12 C. 3015 D. 1510
7.已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，-5)，点P(x，-1，3)在平面ABC内，则x的值为( )
A.-4 B.1 C.10 D.11
8.已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2+y2b2=1，双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为( )
A. x±2y=0 B. 2x±y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0
9.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为( )
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1 C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
10.双曲线C： 的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[-4，-2]，那么直线PA1斜率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)。
11.在空间中，
(1)若四点不共面，则这四点中任三个点都不共线;
(2)若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.
以上两个命题中，逆命题为真命题的是_____________(只填序号)
12.已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB，AC.M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且 ，现用基向量 表示向量 ，并设 ，则 ______.
13.已知P是抛物线C： 上一点，则点P到直线 的最短距离为______.
14.已知 直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足.点B∈β，BD⊥l，D为垂足.若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 ________.
15.已知椭圆E: 与双曲线D: (a>0，b>0)，直线 ： 与双曲线D的两条渐近线分别交于点A，B.若椭圆E的右焦点F在以线段AB为直径的圆内，则椭圆的离心率 的取值范围是________.
三、解答题(本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明证明过程或演算步骤).
16.(本小题满分12分)
已知命题P: 表示双曲线;命题q： ( ),若 是 的充分非必要条件，试求实数 的取值范围.
17.(本小题满分12分)
如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.x
(1)求证：EF⊥CF;
(2)求 与 所成角的余弦值.
18.(本小题满分12分)
设命题p：“直线x+y-m=0与圆 不相交”，命题q：“ 有一正根和一负根。”如果p q为真且p q为假，求m的取值范围.
19.(本小题满分12分)
已知抛物线C: ，过点K( ,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D，且直线BD与x轴相交于点P(m,0),求m的值.
20. (本小题满分13分)
已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC = AD = CD = DE = 2， AB = 1，F为CD的中点.
(Ⅰ)求证：AF⊥平面CDE;
(Ⅱ)求直线AC与平面CBE所成角正弦值;
(Ⅲ)求面ACD和面BCE所成锐二面角的大小.
21. (本小题满分14分)
已知椭圆C： 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线 与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设 为椭圆上一点，若过点 的直线 与椭圆 相交于不同的两点 和 ,且满足 (O为坐标原点)，求实数 的取值范围.
参考答案
一、选择题
1、C 2、B 3、B 4、A 5、D 6、A 7、D 8、A 9、D 10、C
二、填空题
11、(2) 12、 13、 14、 15.
三 、解答题(若不同于参考答案，可根据步骤酌情给分)
16. 解：由命题P得 ∴ 4分
由命题q得∴ 5分
由题意及逆否命题的等价性可知 ，即 7分
∴由 (不同时取等号)及 得 11分
∴所求m的取值范围为 12分
17.(1)证明：建立如图所示的空间直有坐标系D-xyz， 1分
则D(0，0，0)，E(0，0， )，C(0，1，0)，F( ， ，0)，G(1，1， ) 3分
所以 =( ， ，- )， =( ，- ，0)， =(1，0， )，
=(0，-1， ).4分 因为 ，5分
所以 ，即EF⊥CF. 6分
(2)解：因为 ， 8分
，
. 10分
所以 12分
18.解：对命题P：
由x+y-m=0和 得
则 ，∴
∴P为真时 3分
对命题q：则有题意得 得
∴q为真时 6分
由题意可知P与q有且只有一个命题为真命题 7分
若P假q真时， ∩ = 9分
若P真q假时， ∩ = 11分
综述： 12分
19. 设A D ， 的方程为
将 代入 中整理得 4分
从而 5分
∴直线BD方程为 即 8分
令y=0,得 =2，10分 即P(2，0) ∴m=2 12分
20. 解：(Ⅰ)∵DE⊥平面ACD，AF 平面ACD，∴DE⊥AF.
又∵AC=AD，F为CD中点，∴AF⊥CD，
因CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE. ……………… 4分
(Ⅱ)取CE的中点Q，连接FQ，因为F为CD的中点，则FQ∥DE，故DE⊥平面ACD
∴FQ⊥平面ACD，又由(Ⅰ)可知FD，FQ，FA两两垂直，以O为坐标原点，
如图建立空间直角坐标系F—xyz,
∴直线AC与平面CBE所成角的正弦值为
(Ⅲ)平面ACD的一个法向量为 ，则
∴面ACD和面BCE所成锐二面角的大小为45°.………………13分
21. 解： (1)由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 ,
∴圆心到直线 的距离
∵椭圆 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得b=c=1 ∴
故所求椭圆方程为 5分
(Ⅱ)由题意知直线 的斜率存在，设直线 方程为 ，设
将直线方程代入椭圆方程得： ………… 6分
∴
∴ 7分
设 , 则 ………………8分
当t=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0， 成立，故，t=0符合题意。
当 时
得
∴ …………… 10分
将上式代入椭圆方程得：
整理得： 12分
由 知
综上所以t∈(-2，2)…………… 14分
高二数学下学期期中试题理科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 ，则 在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二 象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用 表示，那么 的取值为
A.0，1 B.1，2 C.0，1，2 D.0，1，2，3
3.计算
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在曲线 上切线的斜率为3的点是
A.(0，0) B.(1，1) C.(-1，-1) D.(1，1)或(-1，-1)
5.某射击运动员射击一次，命中目标的概率为0. 8，问他连续射击两次都没命中的概率为
A.0.8 B.0.64 C.0.16 D.0.04
6.下列函数 中，满足“对任意 ，当 时，都有 ”的是
A. B. C. D.
7.复数 的共轭复数是
A. B. C. D.
8.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
9.函数 的单调递增区间为
A. 与 B. C.(0，1) D.(1，+∞)
10.
A. B. C. D.
11.在 的展开式中，记 项的系数为 ，则
A.210 B.120 C.60 D.54
12.已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则实数a的取值范围是
A.(1，+∞) B.(2，+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，-2)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 的展开式中常数项为 ▲ .
14.从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数 组成复数 ，其中虚数有 ▲ 个(用数字作答).
15.设随机变量 ，且 ， ，则 ▲ .
16.数列 满足 ， ，则 ▲ .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在 平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，曲线C的参数方程为 ( 为 参数).
(1)求直线 和曲线C的普通方程;
(2)求直线 和曲线C的公共点的坐标.
18.(本小题满分12分)
某产品的广告费用支出 与销售额 (单位：百万元)之间有如下的对应数据：
/百万元
2 4 5 6 8
/百万元
30 40 60 50 70
(1)求 与 之间的回归直线方程;(参考数据： ， )
(2)试预测广告费用支出为1千万元时，销售额是多少?
19.(本小题满分12分)
随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下 列联表：
读营养说明 不读营养说明 合计
男 16 4 20
女 8 12 20
合计 24 16 40
(1)根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“性别与是否读营养说明之间有关系”?
(2)从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数 的分布列及其数学期望.
20.(本小题满分12分)
如图，在四面体 中， 平面 ， . 是 的中点， 是 的中点，点 在线段 上，且 .
(1)证明：BC⊥CM;
(2)证明： 平面 .
2 1.(本小题满分12分)
已知函数 ( )， 是 的导函数.
(1)当 时，对于任意的 ， ，求 的最小值;
(2) 若存在 ，使 ，求 的取值范围.
22.(本小题满分12分)
已知函数 ( ).
(1)讨论 的单调性;
(2)设 ， ，证明： .
2014—2015学年第二学期统一检测题
高二数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C A D D A B C C D B D
二、填空题
13.6 14.25 15. 16.
三、解答题
17.(本小题满分10分)
解：(1)由直线 的参数方程为 ( 为参数)，得 ，代入 ，得直线 的普通方程为 . (3分)
由曲线C的参数方程为 ( 为参数)，得 ，代入 ，得曲线C的普通方程 . (6分)
(2)由题意，得 解得 或 . (8分)
故直线 和曲线C的公共点的坐标为 . (10分)
18.(本小题满分12分)
解：(1) ， (1分)
， (2分)
， (3分)
， (4分)
， (6分)
， (8分)
所以回归直线方程为 . (9分)
(2)当x=10时， (百万元)，即当广告费用支出为1千万元时，销售额是8.25千万元. (12分)
19.(本小题满分12分)
解：(1)因为 ， (3分)
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“性别与是否读营养说明之间有关系”.
(5分)
(2)由题意 的取值为0，1，2. (6分)
因为 ， ， ，
所以 的分布列为：
0 1 2
(9分)
所以 的数学期望为 . (12分)
20.(本小题满分12分)
证明：(1)因为AD⊥平面BCD，BC平面BCD，
所以BCAD. (1分)
又BC⊥CD，且CD、AD平面ACD，CD∩AD=D，新课 标第 一 网
所以BC平面ACD. (2分)
又CM平面ACD， (3分)
所以平面BCCM. (4分)
(2)取BD的中点E，在线段CD上取点F，使得DF=3FC，连接PE，EF，QF. (5分)
因为P、E分别是BM、BD的中点，所以PE为△BDM的中位线， (6分)
所以PE//DM，且 ，即PE//AD，且 . (7分)
在△CAD中，AQ=3QC，DF=3FC，
所以QF//AD，且 . (9分)
所以PE//QF，且PE=QF，故四边形EFQP为平行四边形. (10分)
所以PQ//EF. (11分)
又EF平面BCD，PQ平面BCD，所以PQ//平面BCD. (12分)
21.(本小题满分12分)
解：(1)当 时， ， . (1分)
令 ，得 . (2分)
当 时， ，所以 在(-1，0)上单调递减;
当 时， ，所以 在(0，1)上单调递增;
所以对于 ， 的最小值为 . (3分)
因为 的开口向下，且对称轴为 ，所以对于 ， 的最小值为 . (4分)
故 的最小值为-11. (5分)
(2) . (6分)
①若 ，当 时， ，所以 在 上单调递减，又 ，则当 时， . 所以当 时，不存在 ，使 . (8分)
②若 ，当 时， ，所以 在 上单调递增;当 时， ，所以 在 上单调递减;
故当 时， . (10分)
依题意 ，解得 . (11分)
综上， 的取值范围是 . (12分)
22.(本小题满分12分)
解：(1) 的定义域为(-1，+∞).
. (1分)
①当 时，xkb1
若 ，则 ，所以 在 上单调递增;
若 ，则 ，所以 在 上单调递减;
若 ，则 ，所以 在 上单调递增. (3分)
②当 时， ，所以 在 上单调递增. (4分)
③当 时，
若 ，则 ，所以 在 上单调递增;
若 ，则 ，所以 在 上单调递减;
若 ，则 ，所以 在 上单调递增. (6分)
(2)由(1)知，当 时， 在 上单调递增，所以当 时， ，即 . (7分)
又由(1)知，当 时， 在 上单调递减，所以当 ， ，即 . (8分)
下面用数学归纳法证明： .
①当 时，由已知 ，故结论成立; (9分)
②假设当 时结论成立，即 ，
当 时， . (10分)
， (11分)
即当 时，有 成立.
根据①、②知对任何 结 论成立. (12分)
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4.高一数学竞赛试题