数学导数公式证明大全

数学导数公式证明大全

　　导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df/dx(x0)。

　　导数的定义：f'(x)=lim Δy/Δx Δx→0(下面就不再标明Δx→0了)

　　用定义求导数公式

　　(1)f(x)=x^n

　　证法一：(n为自然数)

　　f'(x)

　　=lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx

　　=lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx

　　=lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]

　　=x^(n-1)+x*x^(n-2)+x^2*x^(n-3)+ ...x^(n-2)*x+x^(n-1)

　　=nx^(n-1)

　　证法二：(n为任意实数)

　　f(x)=x^n

　　lnf(x)=nlnx

　　(lnf(x))'=(nlnx)'

　　f'(x)/f(x)=n/x

　　f'(x)=n/x*f(x)

　　f'(x)=n/x*x^n

　　f'(x)=nx^(n-1)

　　(2)f(x)=sinx

　　f'(x)

　　=lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx

　　=lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

　　=lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx

　　=lim cosxsinΔx/Δx

　　=cosx

　　(3)f(x)=cosx

　　f'(x)

　　=lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx

　　=lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx

　　=lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx

　　=lim -sinxsinΔx/Δx

　　=-sinx

　　(4)f(x)=a^x

　　证法一：

　　f'(x)

　　=lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx

　　=lim a^x*(a^Δx-1)/Δx

　　(设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1))

　　=lim a^x*m/loga^(m+1)

　　=lim a^x*m/[ln(m+1)/lna]

　　=lim a^x*lna*m/ln(m+1)

　　=lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)]

　　=lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)]

　　=lim a^x*lna/lne

　　=a^x*lna

　　证法二：

　　f(x)=a^x

　　lnf(x)=xlna

　　[lnf(x)] '=[xlna] '

　　f' (x)/f(x)=lna

　　f' (x)=f(x)lna

　　f' (x)=a^xlna

　　若a=e，原函数f(x)=e^x

　　则f'(x)=e^x*lne=e^x

　　(5)f(x)=loga^x

　　f'(x)

　　=lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx

　　=lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx

　　=lim loga^(1+Δx/x)/Δx

　　=lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx)

　　=lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx)

　　=lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna)

　　=lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna)

　　=lim lne/(x*lna)

　　=1/(x*lna)

　　若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx

　　则f'(x)=1/(x*lne)=1/x

　　(6)f(x)=tanx

　　f'(x)

　　=lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx

　　=lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx

　　=lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx))

　　=1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2

　　(7)f(x)=cotx

　　f'(x)

　　=lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx

　　=lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx

　　=lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx))

　　=-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2

　　(8)f(x)=secx