高一数学线性回归分析知识点
高一数学线性回归分析知识点
数学线性回归分析的知识点并不算难，只要学生熟记公式并加以运用就可以了，下面是学习啦小编给大家带来的有关于高一关于线性回归分析的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。
高一数学线性回归分析知识点分析
重点难点讲解：
1.回归分析：
就是对具有相关关系的两个变量之间的关系形式进行测定，确定一个相关的数学表达式，以便进行估计预测的统计分析方法。根据回归分析方法得出的数学表达式称为回归方程，它可能是直线，也可能是曲线。
2.线性回归方程
设x与y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点(xi, yi)(i=1,......,n)大致分布在一条直线的附近，则回归直线的方程为。
其中 。
3.线性相关性检验
线性相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的办法。
①在课本附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2(n为观测值组数)相应的相关系数临界值r0.05。
②由公式，计算r的值。
③检验所得结果
如果|r|≤r0.05，可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，接受统计假设。
如果|r|>r0.05，可以认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，即y与x之间具有线性相关关系。
典型例题讲解：
例1.从某班50名学生中随机抽取10名，测得其数学考试成绩与物理考试成绩资料如表：序号12345678910数学成绩54666876788285879094，物理成绩61806286847685828896试建立该10名学生的物理成绩对数学成绩的线性回归模型。
解：设数学成绩为x，物理成绩为，则可设所求线性回归模型为，
计算，代入公式得
∴ 所求线性回归模型为=0.74x+22.28。
说明：将自变量x的值分别代入上述回归模型中，即可得到相应的因变量的估计值，由回归模型知：数学成绩每增加1分，物理成绩平均增加0.74分。大家可以在老师的帮助下对自己班的数学、化学成绩进行分析。
例2.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：x23456y2.23.85.56.57.0
若由资料可知y对x成线性相关关系。试求：
(1)线性回归方程; (2)估计使用年限为10年时，维修费用是多少?
分析：本题为了降低难度，告诉了y与x间成线性相关关系，目的是训练公式的使用。
解：(1)列表如下：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.049162536 于是b=, 。 ∴线性回归方程为：=bx+a=1.23x+0.08。
(2)当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38(万元) 即估计使用10年时维修费用是12.38万元。
说明：本题若没有告诉我们y与x间是线性相关的，应首先进行相关性检验。如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的。
例3.某省七年的国民生产总值及社会商品零售总额如下表所示：已知国民生产总值与社会商品的零售总额之间存在线性关系，请建立回归模型。年份国民生产总值(亿元)
社会商品零售总额(亿元)1985396.26205.821986442.04227.951987517.77268.661988625.10337.521989700.83366.001990792.54375.111991858.47413.18合计4333.012194.24
解：设国民生产总值为x，社会商品零售总额为y, 设线性回归模型为。
依上表计算有关数据后代入的表达式得： ∴ 所求线性回归模型为y=0.445957x+37.4148, 表明国民生产总值每增加1亿元，社会商品零售总额将平均增加4459.57万元。
例4.已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜每年平均产量yt之间的关系有如下数据：年份19851986198719881989199019911992x(kg)7074807885929095y(t)5.16.06.87.89.010.210.012.0年份19931994199519961997199871999x(kg)92108115123130138145y(t)11.511.011.812.212.512.813.0 (1)求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关;
(2)若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。
分析：(1)使用样本相关系数计算公式来完成;(2)查表得出显著水平0.05与自由度15-2相应的相关系数临界值r0.05比较，若r>r0.05，则线性相关，否则不线性相关。
解：(1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：i123456789101112131415xi707480788592909592108115123130138145yi5.16.06.87.89.010.210.012.011.511.011.812.212.512.813.0xiyi357444544608.4765938.490011401058118813571500.616251766.41885 ,. 故蔬菜产量与施用氮肥量的相关系数： r= 由于n=15，故自由度15-2=13。由相关系数检验的临界值表查出与显著水平0.05及自由度13相关系数临界值r0.05=0.514，则r>r0.05，从而说明蔬菜产量与氮肥量之间存在着线性相关关系。
(2)设所求的回归直线方程为=bx+a，则 ∴ 回归直线方程为=0.0931x+0.7102。
当x=150时，y的估值=0.0931×150+0.7102=14.675(t)。
说明：求解两个变量的相关系数及它们的回归直线方程的计算量较大，需要细心谨慎计算，如果会使用含统计的科学计算器，能简单得到，这些量，也就无需有制表这一步，直接算出结果就行了。另外，利用计算机中有关应用程序也可以对这些数据进行处理。
问题提出
1.函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一定时，另一个变量的取值被惟一确定，则这两个变量之间的关系就是一个函数关系.
2.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量,那么这两个变量之间的关系是函数关系吗?
3.我们不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定其物理成绩能达到多少,学习兴趣、学习时间、教学水平等,也是影响物理成绩的一些因素,但这两个变量是有一定关系的,它们之间是一种不确定性的关系.类似于这样的两个变量之间的关系,有必要从理论上作些探讨,如果能通过数学成绩对物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义.
知识探究(一)：变量之间的相关关系
思考1:考察下列问题中两个变量之间的关系:
(1)商品销售收入与广告支出经费;
(2)粮食产量与施肥量;
(3)人体内的脂肪含量与年龄.
这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗?
思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗?你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗?
思考3:上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系,称之为相关关系,那么相关关系的含义如何?
自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系.
高一数学上册期中试卷分析
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)
1.设全集 ，集合 ，则右图中的阴影部分表示的集合为 ( )
A. B. C. D.
2.下列函数中与 具有相同图象的一个函数是( )
A. B. C. D.
3.已 知函数 是函数 的反函数，则 ( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是奇函数又在 上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.下列式子中成立的是( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知 为奇函数，当 时， ，则 在 上是( )
A.增函数，最小值为 B.增函数，最大值为
C.减函数，最小值为 D.减函数，最大值为
8. 在 ， ， 这三 个函数中，当 时，都有
成立的函数个数是( )
A. 0 B.1 C.2 D.3
9. 已知映射 ,其中 ，对应法则 .若对实数 ,
在集合 中存在元素与之对应，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10. 函数 的图象大致是( )
A. B. C. D.
11. 函数 在 上为减函数，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. 设函数 ， ，若实数 满足 ， ，
则( )
A. B. C. D.
第Ⅱ 卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡相应位置.)
13. 已知全集 ， ，则集合 的子集的个数是 .
14. 已知函数 且 恒过定点 ，若点 也在幂 函数 的图象上，则 .
15. 若函数 ( 且 )的值域是 ，则实数的取值范围是 .
16.定义实数集 的子集 的特征函数为 .若 ，对任意 ，有如下判断：
①若 ，则 ;② ; ③ ;④ .
其中正确的是 .(填上所有满足条件的序号)
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤.)
17.(本小题满分10分)计算下列各式：
(1) ;
(2) .
18.(本小题满分12分)已知全集为 ，集合 ，
(1)当 时，求 ;
(2)若 ，求实数 的取值范围.
19.(本小题满分12分)已知 是定义在
上的偶函数，且当 时， .
(1)求 的解析式;
(2)在所给的坐标系内画出函数的草图，并求方程，恰有两个不同实根时的实数 的取值范围.
20.(本小题满分12分)某滨海高档住宅小区给每一户业主均提供两套供水方案.方案一是供应市政自来水，每吨自来水的水费是2元;方案二是限量供应10吨海底岩层中的温泉水，若温泉水用水量不超过5吨，则按基本价每吨8元收取，超过5吨不超过8吨的部分按基本价的1.5倍收取，超过8吨不超过10吨的部分按基本价的2倍收取.
(1)试写出温泉水用水费 (元)与其用水量 (吨)之间的函数关系式;
(2)若业主小王缴纳10月份的物业费时发现一共用水16吨，被收取的费用为72元，那么他当月的自来水与温泉水用水量各为多少吨?
21.(本小题满分12分)已知函数 .
(1)判断 的奇偶性并说明理由;
(2)判断 在 上的单调性，并用定义证明;
(3)求满足 的 的取值范围.
22.(本小题满分12分)已知二次函数 满足 ，且 .
(1) 求 的解析式;
(2)若函数 的最小值为 ，求实数 的值;
(3)若对任意互不相同的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.
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