学习啦 > 学习方法 > 高中学习方法 > 高一学习方法 > 高一数学 > 高一数学必修一集合与函数的概念

高一数学必修一集合与函数的概念

时间: 夏萍1132 分享

高一数学必修一集合与函数的概念

  集合与函数都是高一的数学学习的知识点,需要学生学习和掌握,下面学习啦的小编将为大家带来关于集合与函数的概念的分析介绍,希望能够帮助到大家。

  高一数学必修一集合与函数概念介绍

  第一章集合与函数概念

  一:集合的含义与表示

  1、集合的含义:集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。

  把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。

  2、集合的中元素的三个特性:

  (1)元素的确定性:集合确定,则一元素是否属于这个集合是确定的:属于或不属于。

  (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。

  (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合

  3、集合的表示:{…}

  (1)用大写字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列举法与描述法。

  a、列举法:将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

  b、描述法:

  ①区间法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。

  {xR|x-3>2},{x|x-3>2}

  ②语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  ③Venn图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合。

  4、集合的分类:

  (1)有限集:含有有限个元素的集合

  (2)无限集:含有无限个元素的集合

  (3)空集:不含任何元素的集合

  5、元素与集合的关系:

  (1)元素在集合里,则元素属于集合,即:aA

  (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a¢A

  注意:常用数集及其记法:

  非负整数集(即自然数集)记作:N

  正整数集N*或N+

  整数集Z

  有理数集Q

  实数集R

  6、集合间的基本关系

  (1).“包含”关系(1)—子集

  定义:如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集。记作:(或BA)

  注意:有两种可能(1)A是B的一部分;

  (2)A与B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

  (2).“包含”关系(2)—真子集

  如果集合,但存在元素xB且x¢A,则集合A是集合B的真子集

  如果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA)读作A真含与B

  (3).“相等”关系:A=B“元素相同则两集合相等”

  如果AB同时BA那么A=B

  (4).不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

  规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  (5)集合的性质

  ①任何一个集合是它本身的子集。AA

  ②如果AB,BC,那么AC

  ③如果AB且BC,那么AC

  ④有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

  7、集合的运算

  运算类型 交集 并集 补集

  定义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}. 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:AB(读作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}). 全集:一般,若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素,我们就称这个集合为全集,记作:U

  设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)记作,

  CSA=

  韦恩图示

  性质 A∩A=A

  A∩Φ=Φ

  A∩B=BA

  A∩BA

  A∩BB AUA=A

  AUΦ=A

  AUB=BUA

  AUBA

  AUBB (CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)

  (CuA)U(CuB)=Cu(A∩B)

  AU(CuA)=U

  A∩(CuA)=Φ.

  二、函数的概念

  1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.

  (1)其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;

  (2)与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

  2.函数的三要素:定义域、值域、对应法则

  3.函数的表示方法:

  (1)解析法:明确函数的定义域

  (2)图想像:确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。

  (3)列表法:选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特征。

  4、函数图象知识归纳

  (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上.

  (2)画法

  A、描点法:B、图象变换法:平移变换;伸缩变换;对称变换,即平移。

  (3)函数图像平移变换的特点:

  1)加左减右——————只对x

  2)上减下加——————只对y

  3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

  4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

  5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

  6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去,x轴上面图像不动得

  函数y=|f(x)|

  7)函数y=f(x)先作x≥0的图像,然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)

  三、函数的基本性质

  1、函数解析式子的求法

  (1)、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

  (2)、求函数的解析式的主要方法有:

  1)代入法:

  2)待定系数法:

  3)换元法:

  4)拼凑法:

  2.定义域:能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

  求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被开方数不小于零;

  (3)对数式的真数必须大于零;

  (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

  (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意的x的值组成的集合.

  (6)指数为零底不可以等于零,

  (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

  3、相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);

  ②定义域一致(两点必须同时具备)

  4、区间的概念:

  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间

  (2)无穷区间

  (3)区间的数轴表示

  5、值域(先考虑其定义域)

  (1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;

  (2)反表示法:针对分式的类型,把Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式,

  由X的范围类似求Y的范围。

  (3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函数的值域,

  注意定义域的范围。

  (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型。

  6.分段函数

  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

  (2)各部分的自变量的取值情况.

  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.

  (4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

  7.映射

  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象)B(象)”

  对于映射f:A→B来说,则应满足:

  (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;

  (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;

  (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

  注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而映射不一定的函数

  8、函数的单调性(局部性质)及最值

  (1)、增减函数

  1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

  2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),

  那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

  注意:函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增,和单调不减两种

  (2)、图象的特点

  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

  (3)、函数单调区间与单调性的判定方法

点击下页查看更多高一数学必修一集合测试题分析

3784899