2017九年级数学第一次月考试卷(2)
18.二次函数y=x2﹣2x﹣1的象在x轴上截得的线段长为2 .
考点：抛物线与x轴的交点.
专题：计算题.
分析：通过解方程x2﹣2x﹣1=0可得到抛物线与x轴的两交点坐标，然后计算两交点间的距离即可.
解答： 解：当y=0时，x2﹣2x﹣1=0，
x2﹣2x+1=2，
(x﹣1)2=2，
解得x1=1+ ，x2=1﹣ ，
所以抛物线与x轴的两交点坐标为(1﹣ ，0)，(1+ ，0)，
所以抛物线在x轴上截得的线段长=1+ ﹣(1﹣ )=2 .
故答案为 .
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程.
19.一拱桥呈抛物线状，桥的最大高度是32m，跨度是80m，在线段AB上距离中心M20m的D处，桥的高度是24m.
考点：二次函数的应用.
分析：根据题意假设解析式为y=ax2+bx+c，用待定系数法求出解析式.然后把自变量的值代入求解对应函数值即可.
解答： 解：设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
已知抛物线经过(0，32)，(﹣40，0)，(40，0)，
可得 ，
可得a=﹣ ，b=0，c=32，
故解析式为y=﹣ x2+32，
当x=20时，y=24.
故答案为：24.
点评：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.
20.二次函数y=x2+bx的象对称轴为x=﹣2.若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣5
考点：抛物线与x轴的交点.
专题：计算题.
分析：先利用对称轴方程求出b得到抛物线解析式为y=x2+4x，再配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为(﹣2，﹣4)，接着根据二次函数的性质，运用函数象求出当﹣5
解答： 解：∵﹣ =﹣2，解得b=4，
∴抛物线解析式为y=x2+4x，即y=(x+2)2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为(﹣2，﹣4)，
当x=2时，y=x2+4x=12，
∴当﹣5
∵一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)的解可看作抛物线y=x2+bx与直线y=b的交点的横坐标，
∴关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0(t为实数)在﹣5
∴﹣4≤t<12.
故答案为﹣4≤t<12.
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和二次函数与一次函数象的交点问题.运用数形结合的思想是解决本题的关键.
三、解答题(本题共7小题，共80分)
21.已知二次函数y=﹣x2+4x+5.
(1)用配 方法把该函数化为y=a(x﹣h)2+k(其中a、h、k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数象的对称轴和顶点坐标;
(2)求这个函数象与x轴、y轴的交点坐标.
考点：二次函数的三种形式.
分析：(1)先配方，得到二次函数的顶点坐标式，即可直接写出其对称轴和顶点坐标;
(2)令y=0，求出x的值，即可确定函数象与x轴的交点坐标;令x=0，求出y的值，即可确定函数象与y轴的交点坐标.
解答： 解：(1)y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9，
对称轴为：x=2，顶点坐标：(2，9);
(2)令y=0，得﹣x2+4x+5=0，
解得x1=﹣1，x2=5，
所以象与x轴的交点坐标为：(﹣1，0)与(5，0);
令x=0，得y=5，
所以象与y轴的交点坐标为：(0，5).
点评：本题考查了二次函数解析式的三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数);
(2)顶点式：y=a(x﹣h)2+k;
(3)交点式(与x轴)：y=a(x﹣x1)(x﹣x2).
同时考查了函数象与坐标轴的交点坐标的求 法.
22.直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1，0)，B(3，2).
(1)求m的值和抛物线的解析式;
(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)
考点：二次函数与不等式(组);待定系数法求二次函数解析式.
分析：(1)分别把点A(1，0)，B(3，2)代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2;
(2)根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据象可知，x2﹣3x+2>x﹣1的象上x的范围是x<1或x>3.
解答： 解：(1)把点A(1，0)，B(3，2)分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，
所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2;
(2)x2﹣3x+2>x﹣1，解得：x<1或x>3.
点评：主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的象的性质.要具备读的能力.
23.二次函数y=ax2﹣4x+c的象经过坐标原点，与x轴交于点A(﹣4，0).
(1)求二次函数的解析式;
(2)在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标.
考点：待定系数法求二次函数解析式;二次函数象上点的坐标特征.
分析：(1)把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答;
(2)根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可.
解答： 解：(1)由已知条件得 ，
解得 ，
所以，此二次函数的解析式为y=﹣x2﹣4x;
(2)∵点A的坐标为(﹣4，0)，
∴AO=4，
设点P到x轴的距离为h，
则S△AOP= ×4h=8，
解得h=4，
①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x=4，
解得x=﹣2，
所以，点P的坐标为(﹣2，4)，
②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x=﹣4，
解得x1=﹣2+2 ，x2=﹣2﹣2 ，
所以，点P的坐标为(﹣2+2 ，﹣4)或(﹣2﹣2 ，﹣4)，
综上所述，点P的坐标是：(﹣2，4)、(﹣2+2 ，﹣4)、(﹣2﹣2 ，﹣4).
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数象上的点的坐标特征，(2)要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解.
24.某校初三年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.
(1)建立的平面直角坐标系，问此球能否准确投中;
(2)此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功?
考点：二次函数的应用.
分析：已知最高点坐标(4，4)，用顶点式设二次函数解析式更方便求解析式，运用求出的解析式就可以解决题目的问题了.
解答： 解：(1)根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为：
A(0， )B(4，4)C(7，3)
设二次函数解析式为y=a(x﹣h)2+k
代入A、B点坐标，得
y=﹣ (x﹣4)2+4 ①
将C点坐标代入①式得左边=右边
即C点在抛物线上
∴一定能投中;
(2)将x=1代入①得y=3
∵3.1>3
∴盖帽能获得成功.
点评：本题考查了二次函数解析式的求法，及其实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.
25.有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为15米)围成的中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成花圃的面积为36平方米，求AB的长为多少米?
(3)如果要使围成花圃面积最大，求AB的长为多少米?
考点：二次函数的应用;一元二次方程的应用.
专题：几何形问题.
分析：(1)可先用篱笆的长表示出BC的长，然后根据矩形的面积=长×宽，得出S与x的函数关系式;
(2)根据(1)的函数关系式，将S=36代入其中，求出x的值即可;
(3)根据二次函数的性质求出自变量取值范围内的最值.
解答： 解：(1)花圃的宽AB为x米，则BC=(24﹣3x)米，
∴S=x(24﹣3x)，
即S=﹣3x 2+24x(3≤x<8);
(2)当S=36时，﹣3x2+24x=36，
解得x1=2，x2=6，
当x=2时，24﹣3x=18>15，不合题意，舍去;
当x=6时，24﹣3x=6<15，符合题意，
故AB的长为6米.
(3)S=﹣3x2+24x=﹣3(x﹣4)2+48，
∵3≤x<8，
∴当x=4米时面积最大，最大面积为48平方米.
点评：本题考查了二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键.要注意题中自变量的取值范围.
26.(14分)某公司为一工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元.设每吨材料售价为x(元)，该经销店的月利润为y(元).
(1)当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量;
(2)求出y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围);
(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元?
(4)小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为 对吗?请说明理由.
考点：二次函数的应用.
专题：压轴题.
分析：本题属于市场营销问题，月利润=(每吨售价﹣每吨其它费用)×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚.再用二次函数的性质解决最大利润问题.
解答： 解：(1)由题意得：
45+ ×7.5=60(吨).
(2)由题意：
y=(x﹣100)(45+ ×7.5)，
化简得：y=﹣ x2+315x﹣24000.
(3)y=﹣ x2+315x﹣24000=﹣ (x﹣210)2+9075.
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元.
(4)我认为，小静说的不对.
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W=x(45+ ×7.5)=﹣ (x﹣160)2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大.
∴当x为210元时，月销售额W不是最大.
∴小静说的不对.
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元;
而当x为200元时，月销售额为18000元.∵17325<18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大.
∴小静说的不对.
(说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以)
点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.
27.(14分)①，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐 标;若不存在，请说明理由;
(3)②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.
考点：二次函数综合题.
专题：压轴题;动点型.
分析：(1)已知抛物线过A、B两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式;
(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为(0，3)，根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论：
①当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQ⊥y轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3﹣x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标相同，纵坐标为x，由此可得出P的坐标.
②当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).
③当CM=CP时，因为C的坐标为(0，3)，那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标;
(3)由于四边形BOCE不是规则的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规则的形进行计算，过E作EF⊥x轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积.直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，已知C的纵坐标，就知道了OC的长.在三角形BFE中，BF=BO﹣OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长.如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值.即可求出此时E的坐标.
解答： 解：
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(﹣3，0)，
∴
解得：
∴所求抛物线解析式为：
y=﹣x2﹣2x+3;
(2)∵抛物线解析式为：
y=﹣x2﹣2x+3，
∴其对称轴为x= =﹣1，
∴设P点坐标为(﹣1，a)，当x=0时，y=3，
∴C(0，3)，M(﹣1，0)
∴当CP=PM时，(﹣1)2+(3﹣a)2=a2，解得a= ，
∴P点坐标为：P1(﹣1， );
∴当CM=PM时，(﹣1)2+32=a2，解得a=± ，
∴P点坐标为：P2(﹣1， )或P3(﹣1，﹣ );
∴当CM=CP时，由勾股定理得：(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2，解得a=6，
∴P点坐标为：P4(﹣1，6)
综上所述存在符合条件的点P，其坐标为P(﹣1， )或P(﹣1，﹣ )
或P(﹣1，6)或P(﹣1， );
(3)过点E作EF⊥x轴于点F，设E(a，﹣a2﹣2a+3)(﹣3< a<0)
∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a
∴S四边形BOCE= BF•EF+ (OC+EF)•OF
= (a+3)•(﹣a2﹣2a+3)+ (﹣a2﹣2a+6)•(﹣a)
=
=﹣ +
∴当a=﹣ 时，S四边形BOCE最大，且最大值为 .
此时，点E坐标为(﹣ ， ).
点评：本题主要考查了二次函数的综合知识，要注意的是(2)中，不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下，要分类进行求解，不要漏解.
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