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九年级上数学期末考试试卷(2)

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九年级上数学期末考试试卷

  九年级上数学期末考试试卷参考答案

  一、选择题:每题分,共30分.

  1.观察下列图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】中心对称图形;轴对称图形.

  【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

  【解答】解:A、不是轴对称图形,是中心对称图形.故错误;

  B、是轴对称图形,不是中心对称图形.故错误;

  C、是轴对称图形,也是中心对称图形.故正确;

  D、不是轴对称图形,也不是中心对称图形.故错误.

  故选C.

  【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与原图重合.

  2.若关于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有两个相等的实数根,则b的值为(  )

  A.1 B.2 C.3 D.4

  【考点】根的判别式.

  【分析】根据题意知道△=0,即(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=0,然后化简解得这个一元二次方程的根就可得出答案.

  【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣(b﹣2)x+b﹣3=0有两个相等的实数根,

  ∴△=(b﹣2)2﹣4(b﹣3)=b2﹣8b+16=(b﹣4)2=0,

  ∴b=4.

  故选:D.

  【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.

  3.抛物线y=﹣ (x﹣3)2﹣5的对称轴是直线(  )

  A.x=﹣3 B.x=3 C.x=5 D.x=﹣5

  【考点】二次函数的性质.

  【分析】本题函数式是抛物线的顶点式,可直接求顶点坐标及对称轴.

  【解答】解:∵抛物线y=﹣ (x﹣3)2﹣5是抛物线的顶点式,

  根据顶点式的坐标特点,抛物线对称轴是x=3.

  故选B.

  【点评】考查顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h,要掌握顶点式的性质.

  4.如图,点A、B、P为⊙上的点,若∠APB=40°,则∠AOB等于(  )

  A.20° B.40° C.80° D.100°

  【考点】圆周角定理.

  【分析】根据圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,即可求出∠AOB的度数.

  【解答】解:∵点A、B、P是⊙O上的三点,∠APB=40°,

  ∴∠AOB=2∠APB=2×40°=80°.

  故选:C.

  【点评】本题主要考查了圆周角定理;熟记在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解决问题的关键.

  5.在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过多次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,则布袋中白球可能有(  )

  A.15个 B.20个 C.30个 D.35个

  【考点】利用频率估计概率.

  【分析】在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,设出未知数列出方程求解.

  【解答】解:设袋中有黄球x个,由题意得 =0.3,

  解得x=15,则白球可能有50﹣15=35个.

  故选D.

  【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数.

  6.下列函数中,图象经过点( ,﹣4)的反比例函数是(  )

  A.y= B.y= C.y= D.y=

  【考点】反比例函数图象上点的坐标特征.

  【分析】将( ,﹣4)代入y= 即可求出k的值,则反比例函数的解析式即可求出.

  【解答】解:比例系数为:﹣4× =﹣2,∴反比例函数解析式是y=﹣ .

  故选D.

  【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数.

  7.已知x=3是一元二次方程2x2+mx+15=0的一个解,则方程的另一个解是(  )

  A. B.﹣ C.5 D.

  【考点】根与系数的关系.

  【分析】设方程另一根为t,根据根与系数的关系得到3t=﹣ ,然后解一次方程即可.

  【解答】解:设方程另一根为t,

  根据题意得3t=﹣ ,

  解得t=﹣ .

  故选B.

  【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系:若方程的两根为x1,x2,则x1+x2=﹣ ,x1x2= .

  8.在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(  )

  A.x<1 B.x>1 C.x<﹣1 D.x>﹣1

  【考点】二次函数的性质.

  【专题】压轴题.

  【分析】抛物线y=﹣x2+2x+1中的对称轴是直线x=1,开口向下,x<1时,y随x的增大而增大.

  【解答】解:∵a=﹣1<0,

  ∴二次函数图象开口向下,

  又对称轴是直线x=1,

  ∴当x<1时,函数图象在对称轴的左边,y随x的增大增大.

  故选A.

  【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的性质:当a<0,抛物线开口向下,对称轴为直线x=﹣ ,在对称轴左边,y随x的增大而增大.

  9.小刚每天从家骑自行车上学都经过三个路口,且每个路口都安装有红灯、绿灯,假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同,那么小刚从家出发去学校,他遇到两次红灯的概率是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】列表法与树状图法.

  【分析】列举出所有情况,看遇到两次红灯的情况占总情况的多少即可.

  【解答】解:画树状图得:

  由树状图可知共有8种情况,遇到两次红灯的有3种情况,所以遇到两次红灯的概率是 ,

  故选B.

  【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比.

  10.已知a、h、k为三数,且二次函数y=a(x﹣h)2+k在坐标平面上的图形通过(0,5)、(10,8)两点.若a<0,0

  A.1 B.3 C.5 D.7

  【考点】二次函数图象与系数的关系.

  【专题】数形结合.

  【分析】先画出抛物线的大致图象,根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h,由于抛物线过(0,5)、(10,8)两点.若a<0,010﹣h,然后解不等式后进行判断.

  【解答】解:∵抛物线的对称轴为直线x=h,

  而(0,5)、(10,8)两点在抛物线上,

  ∴h﹣0>10﹣h,解得h>5.

  故选D.

  【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

  二、填空题:每小题3分,共24分.

  11.已知点M(3,﹣4)与点N关于原点O对称,点N的坐标为 (﹣3,4) .

  【考点】关于原点对称的点的坐标.

  【分析】根据两点关于原点对称,横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,进而得出答案.

  【解答】解:∵3的相反数是﹣3,﹣4的相反数是4,

  ∴点M(3,﹣4)关于原点的对称点的坐标为 (﹣3,4),

  故答案为:(﹣3,4).

  【点评】此题主要考查了两点关于原点对称的坐标的特点:两点关于原点对称,两点的横坐标互为相反数,纵坐标互为相反数,用到的知识点为:a的相反数为﹣a.

  12.在半径为12的⊙O中,60°圆心角所对的弧长是 4π .

  【考点】弧长的计算.

  【分析】根据弧长公式列式计算即可.

  【解答】解:在半径为12的⊙O中,60°圆心角所对的弧长是:

  =4π,

  故答案为4π.

  【点评】本题主要考查了弧长公式:l= (弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为R).注意:①在弧长的计算公式中,n是表示1°的圆心角的倍数,n和180都不要带单位. ②若圆心角的单位不全是度,则需要先化为度后再计算弧长.

  13.已知⊙O的半径为5cm,弦CD=6cm,则圆心O到弦CD的距离是 4 cm.

  【考点】垂径定理;勾股定理.

  【分析】根据题意画出图形,过点O作OE⊥CD于点E,连接OC,先根据垂径定理求出CE的长,再由勾股定理求出OE的长即可.

  【解答】解:如图所示,过点O作OE⊥CD于点E,连接OC,

  ∵弦CD=6cm,OC=5cm,

  ∴CE= CD=3cm,

  ∴OE= = =4cm.

  故答案为:4.

  【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.

  14.某市为响应国家“厉行节约,反对浪费”号召,减少了对办公经费的投入.2014年投入3000万元预计2016年投入2430万元,则该市办公经费的年平均下降率为 10% .

  【考点】一元二次方程的应用.

  【专题】增长率问题.

  【分析】等量关系为:2014年的投入资金×(1﹣增长率)2=2016年的投入资金,把相关数值代入计算求得合适解即可.

  【解答】解:设该市办公经费的年平均下降率为x,依题意有

  3000×(1﹣x)2=2430,

  解得(1﹣x)2=0.81,

  ∵1﹣x>0,

  ∴1﹣x=0.9,

  ∴x=10%.

  答:该市办公经费的年平均下降率为10%.

  故答案为:10%.

  【点评】考查一元二次方程的应用;求平均变化率的方法为:若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.

  15.二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,△ABC的面积为 3 .

  【考点】二次函数综合题;二次函数图象上点的坐标特征.

  【分析】由二次函数y=x2﹣4x+3求出A、B两点的x轴坐标,再求出C点的y轴坐标,根据面积公式就解决了.

  【解答】解:由表达式y=x2﹣4x+3=(x﹣1)×(x﹣3),

  则与x轴坐标为:A(1,0),B(3,0),

  令x=0,得y=3,即C(0,3)

  ∴△ABC的面积为: .

  【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质,求出三点坐标后问题就解决了.

  16.在同一平面上⊙O外一点P到⊙O的距离最长为7cm,最短为2cm,则⊙O的半径为 2.5 cm.

  【考点】点与圆的位置关系.

  【分析】画出图形,根据图形和题意得出PA的长是P到⊙O的最长距离,PB的长是P到⊙O的最短距离,求出圆的直径,即可求出圆的半径.

  【解答】解:如图,PA的长是P到⊙O的最长距离,PB的长是P到⊙O的最短距离,

  ∵圆外一点P到⊙O的最长距离为7cm,最短距离为2cm,

  ∴圆的直径是7﹣2=5(cm),

  ∴圆的半径是2.5cm.

  故答案为:2.5.

  【点评】本题考查了点和圆的位置关系,注意:作直线PO(O为圆心),交⊙O于A、B两点,则得出P到⊙O的最长距离是PA长,最短距离是PB的长.

  17.如图,点A在双曲线 上,点B在双曲线y= 上,且AB∥x轴,C、D在x轴上,若四边形ABCD为矩形,则它的面积为 2 .

  【考点】反比例函数系数k的几何意义.

  【专题】压轴题.

  【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系S=|k|即可判断.

  【解答】解:过A点作AE⊥y轴,垂足为E,

  ∵点A在双曲线 上,

  ∴四边形AEOD的面积为1,

  ∵点B在双曲线y= 上,且AB∥x轴,

  ∴四边形BEOC的面积为3,

  ∴四边形ABCD为矩形,则它的面积为3﹣1=2.

  故答案为:2.

  【点评】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义,即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为|k|,是经常考查的一个知识点;这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.

  18.如图,等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上,∠BCA=90°,AC=BC=2 ,反比例函数y= (x>0)的图象分别与AB,BC交于点D,E.连结DE,当△BDE∽△BCA时,点E的坐标为 ( , ) .

  【考点】相似三角形的判定与性质;反比例函数图象上点的坐标特征.

  【分析】首先设点D的坐标是(m, ),点E的坐标是(n, ),应用待定系数法求出直线AB的解析式是多少;然后根据△BDE∽△BCA,可得∠BDE=∠BCA=90°,推得直线y=x与直线DE垂直,再根据点D、E关于直线y=x对称,推得mn=3;最后根据点D在直线AB上,求出点n的值是多少,即可判断出点E的坐标是多少.

  【解答】解:如图1,

  ∵点D、E是反比例函数y= (x>0)的图象上的点,

  ∴设点D的坐标是(m, ),点E的坐标是(n, ),

  又∵∠BCA=90°,AC=BC=2 ,

  ∴C(n,0),B(n,2 ),A(n﹣2 ,0),

  设直线AB的解析式是:y=ax+b,

  则

  解得

  ∴直线AB的解析式是:y=x+2 ﹣n.

  又∵△BDE∽△BCA,

  ∴∠BDE=∠BCA=90°,

  ∴直线y=x与直线DE垂直,

  ∴点D、E关于直线y=x对称,

  ∴ = ,

  ∴mn=3,或m+n=0(舍去),

  又∵点D在直线AB上,

  ∴ =m+2 ﹣n,mn=3,

  整理,可得

  2n2﹣2 n﹣3=0,

  解得n= 或n=﹣ (舍去),

  ∴点E的坐标是( , ).

  故答案为:( , ).

  【点评】(1)此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①三边法:三组对应边的比相等的两个三角形相似;②两边及其夹角法:两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似;③两角法:有两组角对应相等的两个三角形相似.

  (2)此题还考查了反比例函数图象上点的坐标的特征,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k,即xy=k;②双曲线是关于原点对称的,两个分支上的点也是关于原点对称;③在图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.

  三、解答题:共66分.

  19.解方程:

  (1)x2+6x﹣16=0

  (2)x2+1=2 x.

  【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-配方法.

  【分析】(1)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;

  (2)移项后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可.

  【解答】解:(1)x2+6x﹣16=0,

  (x﹣2)(x+8)=0

  x﹣2=0,x+8=0,

  x1=2,x2=﹣8;

  (2)x2+1=2 x,

  x2﹣2 x+1=0

  b2﹣4ac=(﹣2 )2﹣4×1×1=16,

  x= ,

  x1= +2,x2= ﹣2.

  【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键.

  20.如图,某中学准备在校园里利用围墙的一段,再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)现在已备足可以砌50m的墙的材料,使矩形花园的面积为300m2,试求BC的长.

  【考点】一元二次方程的应用.

  【专题】几何图形问题.

  【分析】根据可以砌50m长的墙的材料,即总长度是50米,AB=x米,则BC=(50﹣2x)米,再根据矩形的面积公式列方程,解一元二次方程即可.

  【解答】解:设BC的长为xm,根据题意,得

  (50﹣x)x=300,

  解方程,得x=20,x=30(不合题意,舍去).

  所以,BC的长为20m.

  答:BC的长为20m.

  【点评】本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系求解,注意围墙MN最长可利用25m,舍掉不符合题意的数据.

  21.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,作∠CAD=∠B,且点D在BC延长线上.

  (1)求证:AD是⊙O的切线;

  (2)若AB=3,∠B=30°,求∠D的长.

  【考点】切线的判定.

  【专题】证明题.

  【分析】(1)连接OA,如图,由0A=OB得到∠2=∠B,根据圆周角定理,由BC是⊙O的直径得到∠1+∠2=90°,加上∠CAD=∠B,则∠2=∠CAD,所以∠CAD+∠1=90°,然后根据切线的判定定理可得到AD是⊙O的切线;

  (2)在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AC= AB= ,然后证明△ACD为等腰三角形即可得到CD的长.

  【解答】(1)证明:连接OA,如图,

  ∵0A=OB,

  ∴∠2=∠B,

  ∵BC是⊙O的直径,

  ∴∠BAC=90,即∠1+∠2=90°,

  ∵∠CAD=∠B,

  ∴∠2=∠CAD,

  ∴∠CAD+∠1=90°,

  ∴OA⊥AD,

  ∴AD是⊙O的切线;

  (2)解:在Rt△ABC中,∵∠B=30,

  ∴AC= AB= ×3= ,

  ∵∠ACB=90°﹣∠B=60°,∠CAD=∠B=30°,

  ∴∠D=30°,

  ∴CD=CA= .

  【点评】本题考查了切线的判定:切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了含30度的直角三角形三边的关系.

  22.在一个口袋中装有四个完全相同的小球,它们分别写有“美”“丽”、“黄”、“石”的文字.

  (1)先从袋摸出1个球后放回,混合均匀后再摸出1个球,求两次摸出的球上是写有“美丽”二字的概率;

  (2)先从袋中摸出1个球后不放回,再摸出1个球.求两次摸出的球上写有“黄石”二字的概率.

  【考点】列表法与树状图法.

  【分析】(1)画树状图展示所有16种等可能的结果数,再找出两次摸出的球上是写有“美丽”二字的结果数,然后根据概率公式求解;

  (2)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出两次摸出的球上写有“黄石”二字的结果数,然后根据概率公式求解.

  【解答】解:

  用1、2、3、4别表示美、丽、黄、石,

  (1)画树形图如下,

  由树形图可知,所有等可能的情况有16种,其中“1,2”出现的情况有2种,

  ∴P(美丽)= = ;

  (2)画树状图如下,

  由树状图可知,所有等可能的情况有12种,其中出现“3,4”的情况有2种,

  ∴P(黄石)= = .

  【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

  23.已知抛物线C1:y=x2+bx+c经过点A(﹣1,3),B(3,3)

  (1)求抛物线C1的表达式及顶点坐标;

  (2)若抛物线C2:y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,求a的取值范围.

  【考点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质.

  【专题】计算题.

  【分析】(1)直接把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组,然后解方程组求出b、c即可得到抛物线C1的解析式,再把解析式配成顶点式可的抛物线的顶点坐标;

  (2)由于AB∥x轴,把A、B两点坐标代入y=ax2可计算出对应的a的值,然后根据抛物线C2:y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点可确定a的范围.

  【解答】解:(1)将A(﹣1,3)、B(3,3)代入y=x+bx+c得 ,解得b=﹣2,c=0,

  所以抛物线C1的解析式为y=x2﹣2x;

  ∵y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1

  ∴抛物线C1的顶点坐标为(1,﹣1);

  (2)当抛物线C2恰好经过A点时,将A(﹣1,3)代入y=ax2得a=3,

  当抛物线C2恰好过经过B点,将B(3,3)代入y=ax2得9a=3,解得a= ,

  所以a的取值范围为 ≤a<3.

  【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与x轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.也考查了二次函数的性质.

  24.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:

  时间x(天) 1≤x<50 50≤x≤90

  售价(元/件) x+40 90

  每天销量(件) 200﹣2x

  已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.

  (1)求出y与x的函数关系式;

  (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少?

  (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.

  【考点】二次函数的应用.

  【专题】销售问题.

  【分析】(1)根据单价乘以数量,可得利润,可得答案;

  (2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案;

  (3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于48000,可得不等式,根据解不等式组,可得答案.

  【解答】解:(1)当1≤x<50时,y=(x+40﹣30)=﹣2x2+180x+2000,

  当50≤x≤90时,

  y=(90﹣30)=﹣120x+12000,

  综上所述:y= ;

  (2)当1≤x<50时,二次函数开口向下,二次函数对称轴为x=45,

  当x=45时,y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050,

  当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,

  当x=50时,y最大=6000,

  综上所述,该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元;

  (3)当1≤x<50时,y=﹣2x2+180x+2000≥4800,解得20≤x≤70,

  因此利润不低于4800元的天数是20≤x<50,共30天;

  当50≤x≤90时,y=﹣120x+12000≥4800,解得x≤60,

  因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60,共11天,

  所以该商品在销售过程中,共41天每天销售利润不低于4800元.

  【点评】本题考查了二次函数的应用,利用单价乘以数量求函数解析式,利用了函数的性质求最值.

  25.已知∠ACD=90°,MN是过A点的直线,AC=DC,DB⊥MN于点B,连接BC.

  (1)如图1,将△BCD绕点C逆时针方向旋转90°得到△ECA.

  ①求证:点E在直线MN上;

  ②猜想线段AB、BD、CB满足怎样的数量关系,并证明你的猜想.

  (2)当MN绕点A旋转到如图2的位置时,猜想线段AB、BD、CB又满足怎样的数列关系,并证明你的猜想.

  【考点】旋转的性质;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

  【分析】(1)①由四边形内角和定理得出∠CAB+∠CDB=180°,由旋转的性质得出△ECA≌△BCD,得出∠EAC=∠BDC,因此∠CAB+∠EAC=180°,即可得出结论;

  ②证出△ECB为等腰直角三角形,由勾股定理得出BE= BC,再由BE=AE+AB,AE=BD,即可得出结论;

  (2)过点C作CE⊥CB与MN交于点E,则∠ECB=90°,∠ACE=∠DCB,证出∠CAE=∠CDB,由ASA证明△ACE≌△DCB,得出AE=DB,EC=BC,证出△ECB为等腰直角三角形,由勾股定理得出EB= BC,即可得出结论.

  【解答】(1)①证明:∵DB⊥MN,

  ∴∠ABD=90°,在四边形ACDB中,

  ∵∠ACD=90°,

  ∴∠ACD+∠ABD=180°,

  ∴∠CAB+∠CDB=180°,

  由旋转的性质得:△ECA≌△BCD,

  ∴∠EAC=∠BDC,

  ∴∠CAB+∠EAC=180°,

  ∴点E在直线MN上;

  ②解:AB+BD= BC,理由如下:

  ∵∠ACD=90°,

  ∴∠ACB+∠BCD=90°,

  由①知∠ECA=∠BCD,EC=BC,

  ∴∠ECB=∠ECA+∠ACB=90°,

  ∴△ECB为等腰直角三角形,

  ∴BE= BC,

  ∵BE=AE+AB,

  由①知AE=BD,

  ∴AB+BD= BC;

  (2)解:AB﹣BD= BC,理由如下:

  过点C作CE⊥CB与MN交于点E,如图2所示:

  则∠ECB=90°,

  ∵∠ACD=90°,

  ∴∠ACE=∠DCB,

  ∵DB⊥AB,

  ∴∠CAE=∠CDB,

  在△ACE和△DCB中, ,

  ∴△ACE≌△DCB(ASA),

  ∴AE=DB,EC=BC,

  ∴EB=AB﹣AE=AB﹣DB,△ECB为等腰直角三角形,

  ∴EB= BC,

  ∴AB﹣BD= BC.

  【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、四边形内角和定理、勾股定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果.

  26.如图,在直角坐标系中矩形OABC的顶点O与坐标原点重合.点A、C分别在坐标轴上,反比例函数y= (k>0)的图象与AB、BC分别交于点E、F(E、F不与B点重合),连接OE,OF.

  (1)若B点的坐标为(4,2),且E为AB的中点.

  ①求四边形BEOF的面积.

  ②求证:F为BC的中点.

  (2)猜想 与 的大小关系,并证明你的猜想.

  【考点】反比例函数综合题.

  【专题】综合题;反比例函数及其应用.

  【分析】(1)①由B的坐标得到AB与BC的长,进而求出矩形OCBA的面积,由B坐标,根据E为AB中点,求出E坐标,代入反比例解析式求出k的值,利用反比例函数k的几何意义求出三角形AEO与三角形OCF的面积,由矩形ABCO面积﹣三角形AOE面积﹣三角形OCF面积=四边形BEOF面积,求出即可;②连接OB,由矩形面积求出三角形OBC面积,由三角形OCF面积得到三角形OBC面积为三角形OCF面积的2倍,而两三角形高相同,故底BC=2CF,即F为中点,得知;

  (2) = ,理由为:设B点坐标为(a,b)(a>0,b>0),表示出A,C,E,F坐标,进而表示出AE,BE,CF,BF,分别求出 与 的值,验证即可.

  【解答】解:(1)①∵B点的坐标为(4,2),

  ∴S矩形OCBA=4×2=8,

  ∵E为AB的中点,

  ∴E点的坐标为(2,2),

  ∵点E、F在双曲线上,

  ∴k=4,

  ∴S△AEO=S△FCO= k=2,

  ∴S四边形BE0F=S矩形ABCO﹣S△AEO﹣S△OFC=8﹣2﹣2=4;

  ②连接OB,

  易知S△OBC= S矩形ABCO=4,

  ∵S△OFC=2,

  ∴S△OBC=2S△OFC,

  ∵S△OCF= S△OBC,

  ∴BC=2FC,

  ∴F为BC的中点;

  (2) = ,理由为:

  设B点坐标为(a,b)(a>0,b>0),

  则点A(0,b),C(a,0),E( ,b),F(a, ),

  ∴AE=| |,BE=|a﹣ |=| |,CF=| |,BF=|b﹣ |=| |,

  ∴ = =| |, = =| |,

  则 = .

  【点评】此题考查了反比例函数综合题,涉及的知识有:反比例函数k的几何意义,坐标与图形性质,矩形的性质,熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键.

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