学习啦 > 学习方法 > 各学科学习方法 > 数学学习方法 > 高中数学圆锥曲线解题技巧

高中数学圆锥曲线解题技巧

时间: 芷琼1026 分享

高中数学圆锥曲线解题技巧

  解答数学圆锥曲线试题,需要较强的代数运算能力和图形认识能力,要能准确地进行数与形的语言转换和运算,推理转换,并在运算过程中注意思维的严密性,以保证结果的完整。下面学习啦小编给你分享高中数学圆锥曲线解题技巧,欢迎阅读。

  高中数学圆锥曲线解题技巧

  1.充分利用几何图形的策略

  解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,往往能减少计算量。

  例:设直线3x+4y+m=0与圆x+y+x-2y=0相交于P、Q两点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,求m的值。

  2.充分利用韦达定理的策略

  我们经常设出弦的端点坐标但不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

  例:已知中心在原点O,焦点在y轴上的椭圆与直线y=x+1相交于P、Q两点,且OP⊥OQ,|PQ|=,求此椭圆方程。

  3.充分利用曲线方程的策略

  例:求经过两已知圆C:x+y-4x+2y=0和C:x+y-2y-4=0的交点,且圆心在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程。

  4.充分利用椭圆的参数方程的策略

  椭圆的参数方程涉及正、余弦,利用正、余弦的有界性,可以解决相关的求最值的问题。这也就是我们常说的三角代换法。

  例:P为椭圆+=1上一动点,A为长轴的右端点,B为短轴的上端点,求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。

  5.线段长的几种简便计算策略

  (1)充分利用现成结果,减少运算过程。

  求直线与圆锥曲线相交的弦AB长:把直线方程y=kx+b代入圆锥曲线方程中,得到型如ax+bx+c=0的方程,方程的两根设为x,x,判别式为△,则|AB|=•|x-x|=•,若直接用结论,能减少配方、开方等运算过程。

  例:求直线x-y+1=0被椭圆x+4y=16所截得的线段AB的长。

  (2)结合图形的特殊位置关系,减少运算。

  在求过圆锥曲线焦点的弦长时,由于圆锥曲线的定义都涉及焦点,结合图形运用圆锥曲线的定义,可回避复杂运算。

  例:F、F是椭圆+=1的两个焦点,AB是经过F的弦,若|AB|=8,求|FA|+|FB|的值。

  (3)利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离。

  例:点A(3,2)为定点,点F是抛物线y=4x的焦点,点P在抛物线y=4x上移动,若|PA|+|PF|取得最小值,求点P的坐标。

  高中数学圆锥曲线题型

  1.中点弦问题

  具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x,y),(x,y),代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数。

  例:给定双曲线x-=1,过A(2,1)的直线与双曲线交于两点P和P,求线段PP的中点P的轨迹方程。

  2.焦点三角形问题

  椭圆或双曲线上一点P,与两个焦点F、F构成的三角形问题,常用正、余弦定理。

  例:设P(x,y)为椭圆+=1上任一点,F(-c,0),F(c,0)为焦点,∠PFF=α,∠PFF=β。

  (1)求证:离心率e=;

  (2)求|PF|+|PF|的最值。

  3.直线与圆锥曲线位置关系问题

  直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意数形结合的办法。

  例:抛物线方程y=p(x+1)(p>0),直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

  (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点。

  (2)设直线与抛物线的交点为A、B,且OA⊥OB,求p关于t的函数f(t)的表达式。

  4.圆锥曲线的有关最值问题

  圆锥曲线中的有关最值问题,常用代数法和几何法解决。若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图像性质来解决。若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均值不等式)求最值。下题中的(1),可先设法得到关于a的不等式,通过解不等式求出a的范围,即:“求范围,找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出a的范围。对于(2),首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即“最值问题,函数思想”。

  例:已知抛物线y=2px(p>0),过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p,(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值。

  5.求曲线的方程问题

  (1)曲线的形状已知,这类问题一般可用待定系数法解决。

  例:已知直线L过原点,抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴正半轴上。若点A(-1,0)和点B(0,8)关于L的对称点都在C上,求直线L和抛物线C的方程。

  (2)曲线的形状未知,求轨迹方程。

  例:已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x+y=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0),求动点M的轨迹方程,并说明它是什么曲线。

  6.存在两点关于直线对称问题

  在曲线上两点关于某直线对称问题,可按如下方法解题:求两点所在的直线,求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。当然也可利用韦达定理并结合判别式来解决。

  例:已知椭圆C的方程+=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆C上有不同两点关于直线对称。

  7.两线段垂直问题

  圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用k•k==-1来处理或用向量的坐标运算来处理。

  例:已知直线l的斜率为k,且过点P(-2,0),抛物线C:y=4(x+1),直线l与抛物线C有两个不同的交点。(1)求k的取值范围;(2)直线l的倾斜角θ为何值时,A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。


猜你感兴趣的:

1.高考数学圆锥曲线解题技巧

2.高中数学圆锥曲线解题方法

3.数学高考题圆锥曲线题解题套路分析

4.高中数学椭圆解题技巧

5.高中数学圆锥曲线基础知识

2927242