福建省高考数学一模试卷及答案(2)
福建省高考数学一模试卷及答案
福建省高考数学一模试卷答案
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={x|x2﹣3x+2≤0}，B={x|2x﹣3>0}，则A∩B=( )
A. B. C. D.
【考点】交集及其运算.
【分析】求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A与B的交集即可.
【解答】解：由A中不等式变形得：(x﹣1)(x﹣2)≤0，
解得：1≤x≤2，即A=[1，2]，
由B中不等式解得：x> ，即B=( ，+∞)，
则A∩B=( ，2]，
故选：C.
2.已知 ，则cos2α的值是( )
A. B. C. D.
【考点】二倍角的余弦.
【分析】由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解.
【解答】解：∵ ，
∴cosα= ，
∴cos2α=2cos2α﹣1=2×( )2﹣1=﹣ .
故选：B.
3.设a为实数，直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据充分必要条件的定义，结合直线平行的性质及判定分别进行判断即可.
【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1=0，解得：a=﹣1或a=1，
所以应是充分不必要条件.
故选：A
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x，则f(﹣2)=( )
A. B.﹣4 C.﹣ D.4
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】依题意首先把x<0时，函数的解析式求出.再把x=﹣2代入函数式得出答案.
【解答】解：设x<0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(﹣x)=﹣f[﹣(﹣x)]=﹣2﹣(﹣x)
∴当x<0时，函数的解析式为f(x)=﹣2﹣x
∴f(﹣2)=﹣2﹣(﹣2)=﹣4
故选B.
5.我国古代数学著作《孙子算经》中有如下的问题：“今有方物一束，外周有三十二枚，问积几何?”设每层外周枚数为a，如图是解决该问题的程序框图，则输出的结果为( )
A.121 B.81 C.74 D.49
【考点】程序框图.
【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=40时，不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81，即可得解.
【解答】解：模拟程序的运行，可得
a=1，S=0，n=1
满足条件a≤32，执行循环体，S=1，n=2，a=8
满足条件a≤32，执行循环体，S=9，n=3，a=16
满足条件a≤32，执行循环体，S=25，n=4，a=24
满足条件a≤32，执行循环体，S=49，n=5，a=32
满足条件a≤32，执行循环体，S=81，n=6，a=40
不满足条件a≤32，退出循环，输出S的值为81.
故选：B.
6.从区间(0，1)中任取两个数，作为直角三角形两直角边的长，则所得的两个数列使得斜边长不大于1的概率是( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】根据几何概型的概率公式即可得到结论.
【解答】解：设两个直角边长为a，b，
则由条件可知 ，
则斜边长不大于1的事件为，a2+b2≤1，
则由几何概型的概率可知所求的概率P= = ，
故选B.
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A.25π B.50π C.75π D.100π
【考点】球的体积和表面积;由三视图求面积、体积.
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球.
【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥，
其外接球相当于一个长，宽，高分别为：5，4，3的长方体的外接球，
故球O的半径R满足：4R2=32+42+52=50，
故球O的表面积S=50π，
故选：B
8.设抛物线C：y2=3x的焦点为F，点A为C上一点，若|FA|=3，则直线FA的倾斜角为( )
A. B. C. 或 D. 或
【考点】直线与抛物线的位置关系.
【分析】先设出A的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y.然后求解直线的斜率，得到直线FA的倾斜角.
【解答】解：设该A坐标为(x，y)，抛物线C：y2=3x的焦点为F( ，0)，
根据抛物线定义可知x+ =3，解得x= ，代入抛物线方程求得y=± ，
故A坐标为：( ， )，AF的斜率为： = ，
则直线FA的倾斜角为： 或 .
故选：C.
9.已知函数f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0，﹣ <φ< )，A( ，0)为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，则f(x)的单调递增区间是( )
A.(2k﹣ ，2k+ )，k∈Z B.(2kπ﹣ π，2kπ+ π)，k∈Z
C.(4k﹣ ，4k+ )，k∈Z D.(4kπ﹣ π，4kπ+ π)，k∈Z
【考点】正弦函数的单调性.
【分析】由题意可得 + =42，求得ω的值，再根据对称中心求得φ的值，可得函数f(x)的解析式，利用正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间.
【解答】解：函数f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0，﹣ <φ< )，
A( ，0)为f(x)图象的对称中心，B，C是该图象上相邻的最高点和最低点，若BC=4，
∴ + =42，即12+ =16，求得ω= .
再根据 • +φ=kπ，k∈Z，可得φ=﹣ ，∴f(x)= sin( x﹣ ).
令2kπ﹣ ≤ x﹣ ≤2kπ+ ，求得4kπ﹣ π≤x≤4kπ+ π，
故f(x)的单调递增区间为(4kπ﹣ π，4kπ+ π)，k∈Z，
故选：D.
10.已知双曲线E ，其一渐近线被圆C：(x﹣1)2+(y﹣3)2=9所截得的弦长等于4，则E的离心率为( )
A. B. C. 或 D. 或
【考点】圆与圆锥曲线的综合.
【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的一条渐近线方程，运用直线和圆相交的弦长公式，可得圆心到渐近线的距离为1，再由点到直线的距离公式和离心率公式，计算即可得到所求值.
【解答】解：由圆C：(x﹣1)2+(y﹣3)2=9可得圆心(1，3)，半径为3，
双曲线E ，的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，
渐近线被圆C：(x﹣1)2+(y﹣3)2=9所截得的弦长等于4，圆心到直线的距离为：
由弦长公式可得2= ，可得 ，解得 ，
即c= a或c= a，
即e= = 或e= ，
故选：D.
11.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，α∩平面AB1C=m，平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，β∩平面ADD1A1=n，则m，n所成角的余弦值为( )
A.0 B. C. D.
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】如图所示，BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，可得平面α即为平面DBB1D1.设AC∩BD=O.可得α∩平面AB1C=m为OB1.同理可得：平面A1C1D即为平面β.又A1D∥B1C，可得m，n所成角为∠OB1C，根据△AB1C为正三角形，即可得出.
【解答】解：如图所示，
∵BD1⊥平面AB1C，平面α过直线BD，α⊥平面AB1C，
∴平面α即为平面DBB1D1.设AC∩BD=O.
∴α∩平面AB1C=m为OB1.
∵平面A1C1D过直线A1C1，与平面AB1C平行，
而平面β过直线A1C1，β∥平面AB1C，
∴平面A1C1D即为平面β.
β∩平面ADD1A1=A1D=n，
又A1D∥B1C，
∴m，n所成角为∠OB1C，
由△AB1C为正三角形，则cos∠OB1C=cos = .
故选：D.
12.设函数f′(x)是定义(0，2π)在上的函数f(x)的导函数，f(x)=f(2π﹣x)，当0
A.a
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出函数的对称轴，令g(x)=f(x)cosx，根据函数的单调性判断函数值的大小即可.
【解答】解：由f(x)=f(2π﹣x)，得函数f(x)的图象关于直线x=π对称，
当0
令g(x)=f(x)cosx，则g′(x)=f′(x)cosx﹣f(x)sinx>0，
当0
故g( )
即a
故选：A.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..
13.设复数z满足z•i=2+3i，则z= 3﹣2i .
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】由z•i=2+3i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案.
【解答】解：由z•i=2+3i，
得 = .
故答案为：3﹣2i.
14.若x，y满足约束条件 ，则 的最大值为 3 .
【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域，再由 的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解.
【解答】解：由约束条件 作出可行域如图，
联立 ，解得A( ， ).
的几何意义为可行域内的动点与原点连线的斜率，
则 的最大值为 .
故答案为：3.
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为 ，若a=2，则△ABC面积的最大值为 .
【考点】余弦定理.
【分析】由已知化简可得：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可求cosA= ，结合范围A∈(0，π)，可求A= ，由余弦定理，基本不等式可求bc≤4，进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】解：∵ ，可得：b2+c2﹣a2=bc，
∴cosA= = = ，
∵A∈(0，π)，
∴A= ，
∵a=2，
∴由余弦定理可得：4=b2+c2﹣bc，
∴4=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，即：bc≤4，当且仅当b=c等号成立，
∴S△ABC= bcsinA≤ = ，当且仅当b=c等号成立，则△ABC面积的最大值为 .
故答案为： .
16.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AD∥BC，BC=2AD，△ABD面积为1，若 = ，BE⊥CD，则 • = .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】建立平面直角坐标系，设出D，求解相关的坐标，利用向量的数量积求解D的坐标，然后求解即可.
【解答】解：如图，建立平面直角坐标系，
设D(0，a)，△ABD面积为1，可得B( ，0)，则C( ，2a)， = ，
则E( . )，BE⊥CD，
可得：( ，a)( ， )=0，解得a2= ，
=(0，﹣a)， =( ，a)，
• =﹣a2=﹣ .
给答案为：﹣ .
三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.已知数列{an}的前n项和 ，其中k为常数，a6=13.
(1)求k的值及数列{an}的通项公式;
(2)若 ，求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和.
【分析】(1) ，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1.n=6时，a6=13，解得k.进而得出.
(2) = = = ，利用“裂项求和”方法即可得出.
【解答】解：(1)∵ ，n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+kn﹣[(n﹣1)2+k(n﹣1)]=2n﹣1+k.
∴n=6时，a6=11+k=13，解得k=2.
∴n≥2时，an=2n﹣1+2=2n+1.
当n=1时，a1=S1=1+2=3，上式也成立.
∴an=2n+1.
(2) = = = ，
数列{bn}的前n项和Tn= +…+ =1﹣ = .
18.为了响应我市“创建宜居港城，建设美丽莆田”，某环保部门开展以“关爱木兰溪，保护母亲河”为主题的环保宣传活动，经木兰溪流经河段分成10段，并组织青年干部职工对每一段的南、北两岸进行环保综合测评，得到分值数据如表：
南岸 77 92 84 86 74 76 81 71 85 87
北岸 72 87 78 83 83 85 75 89 90 95
(1)记评分在80以上(包括80)为优良，从中任取一段，求在同一段中两岸环保评分均为优良的概率;
(2)根据表中的数据完成茎叶图：
(3)分别估计两岸分值的中位数，并计算它们的平均数，试从计算结果分析两岸环保情况，哪边保护更好?
【考点】极差、方差与标准差;茎叶图.
【分析】(1)利用列举法求出从10段中任取一段的基本事件有10个，用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，利用列法求出A包含的基本事件个数，由此能求出在同一段中两岸环保评分均为优良的概率.
(2)根据表中数据，能完成茎叶图.
(3)分别求出南岸10段的分值数据的中位数、平均数和北岸10段分值数据的中位数、平均数，由此看出北岸保护更好.
【解答】解：(1)从10段中任取一段的基本事件有10个，分别为：
(77，72)，(92，87)，(84，78)，(86，83)，(74，83)，
(76，85)，(81，75)，(71，89)，(85，90)，(87，95)，
这些基本事件是等可能的，
用A表示“在同一段中两岸环保评分均为优良”的事件，
则A包含的基本事件为：
(92，87)，(86，83)，(85，90)，(87，95)，共4个，
∴P(A)= .
(2)根据表中数据，完成下列茎叶图：
(3)南岸10段的分值数据的中位数为：z1= =82.5，
南岸10段分值数据的平均数为：
=81.3，
北岸10段分值数据的中位数为：z2= ，
北岸10段分值数据的平均数：
= =83.7，
由z1
19.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，四边形为ABCD矩形，E为SA的中点，SA=SB，AB=2 ，BC=3.
(1)证明：SC∥平面BDE;
(2)若BC⊥SB，求三棱锥C﹣BDE的体积.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)连接AC，设AC∩BD=O，由题意可得O为AC的中点，又E为AS的中点，由三角形中位线定理可得SC∥OE，再由线面平行的判定可得SC∥平面BDE;
(2)过E作EH⊥AB，垂足为H，由线面垂直的判定可得BC⊥平面SAB，则EH⊥BC，又EF⊥AB，得到EH⊥平面ABCD，在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，求得SM=1.进一步可得EH= .再求出三角形BCD的面积利用等体积法求得三棱锥C﹣BDE的体积.
【解答】(1)证明：连接AC，设AC∩BD=O，
∵四边形ABCD为矩形，则O为AC的中点，
在△ASC中，E为AS的中点，∴SC∥OE，
又OE⊂平面BDE，SC⊄平面BDE，
∴SC∥平面BDE;
(2)解：过E作EH⊥AB，垂足为H，
∵BC⊥AB，且BC⊥SB，AB∩SB=B，
∴BC⊥平面SAB，
∵EH⊂平面ABS，∴EH⊥BC，又EF⊥AB，AB∩BC=B，
∴EH⊥平面ABCD，
在△SAB中，取AB中点M，连接SM，则SM⊥AB，
∴SM=1.
∵EH∥SM，EH= .
∴ .
∴VC﹣BDE=VE﹣BCD= .
∴三棱锥C﹣BDE的体积为 .
20.已知点P(0，﹣2)，点A，B分别为椭圆E： + =1(a>b>0)的左右顶点，直线BP交E于点Q，△ABP是等腰直角三角形，且 = .
(1)求E的方程;
(2)设过点的动直线l与E相交于M，N两点，当坐标原点O位于MN以为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围.
【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程.
【分析】(1)由向量共线定理求得Q点坐标，由a=2，将Q代入椭圆方程，即可求得b，求得椭圆方程;
(2)将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理及△>0，向量数量积的坐标运算 • >0，即可求得k的取值范围.
【解答】解：(1)由题意题意△ABP是等腰直角三角形，a=2，B(2，0)，
设Q(x0，y0)，由 ，
则 ，
代入椭圆方程，解得b2=1，
∴椭圆方程为 ;
(2)由题意可知，直线l的斜率存在，方程为y=kx﹣2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则 ，整理得：(1+4k2)x2﹣16kx+12=0，
由直线l与E有两个不同的交点，则△>0，
即(﹣16k)2﹣4×12×(1+4k2)>0，解得：k2> ，
由韦达定理可知：x1+x2= ，x1x2= ，
由坐标原点O位于MN为直径的圆外，
则 • >0，即x1x2+y1y2>0，
则x1x2+y1y2=x1x2+(kx1﹣2)(kx2﹣2)=(1+k2)x1x2﹣2k×(x1+x2)+4
=(1+k2) ﹣2k× +4>0，
解得：k2<4，
综上可知：
直线l斜率的取值范围(﹣2，﹣ )∪( ，2).
21.已知函数f(x)=2x3﹣3x+1，g(x)=kx+1﹣lnx.
(1)设函数 ，当k<0时，讨论h(x)零点的个数;
(2)若过点P(a，﹣4)恰有三条直线与曲线y=f(x)相切，求a的取值范围.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.
【分析】(1)分类讨论，求导数，切点函数的单调性，即可讨论h(x)零点的个数;
(2)设出切点，由切线方程，化简得三次函数，将题目条件化为函数有三个零点，即可求a的取值范围.
【解答】解：(1)f′(x)=(2x+1)(x﹣1)2=0，x=﹣ 或1，∴x=﹣ 是h(x)的零点;
∵g′(x)=k﹣ ，
k<0，g′(x)<0，g(x)在[1，+∞)上单调递减，g(x)的最大值为g(1)=k+1.
k<﹣1，g(1)<0，g(x)在[1，+∞)上无零点;
k=﹣1，g(1)=0，g(x)在[1，+∞)上有1个零点;
﹣1
综上所述，k<﹣1时，h(x)有1个零点;﹣1≤k<0时，h(x)有两个零点;
(2)设切点(t，f(t))，f′(x)=6x2﹣6x，∴切线斜率f′(t)=6t2﹣6t，
∴切线方程为y﹣f(t)=(6t2﹣6t)(x﹣t)，
∵切线过P(a，﹣4)，∴﹣4﹣f(t)=(6t2﹣6t)(a﹣t)，
∴4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5=0①
由题意，方程①有3个不同的解.
令H(t)=4t3﹣3t2﹣6t2a+6ta﹣5，则H′(t)=12t2﹣6t﹣12at+6a=0.t= 或a.
a= 时，H′(t)≥0，H(t)在定义域内单调递增，H(t)不可能有两个零点，方程①不可能有两个解，不满足题意;
a 时，在(﹣ )，(a，+∞)上，H′(t)>0，函数单调递增，在( ，a)上，H′(t)<0，函数单调递减，H(t)的极大值为H( )，极小值为H(a);
a 时，在(﹣∞，a)，( ，+∞)上，H′(t)>0，函数单调递增，在(a， )上，H′(t)<0，函数单调递减，H(t)的极大值为H(a)，极小值为H( );
要使方程①有三个不同解，则H( )H(a)<0，即(2a﹣7)(a+1)(2a2﹣5a+5)>0，
∴a> 或a<﹣1.
[选修4-4坐标系与参数方程]
22.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为 .
(1)写出圆C的参数方程和直线l的普通方程;
(2)设点P为圆C上的任一点，求点P到直线l距离的取值范围.
【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
【分析】(1)由题意求出圆C的参数方程和直线l的普通方程;
(2)由题意设P( ， )，由点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，利用两角和的正弦公式化简后，由正弦函数的值域求出答案.
【解答】解：(1)∵圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2，
∴圆C的参数方程为 (α为参数)，
∵直线l的极坐标方程为 ，
∴ ，即ρsinθ+ρcosθ﹣4=0，
∴直线l的普通方程是x+y﹣4=0;
(2)由题意设P( ， )，
∴点P到直线l距离d=
= = ，
∵ ，∴ ，
即 ，
∴点P到直线l距离的取值范围是[0， ].
[选修4-5不等式选讲]
23.已知函数f(x)=|x﹣4|+|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)>2的解集;
(2)设f(x)的最小值为M，若2x+a≥M的解集包含[0，1]，求a的取值范围.
【考点】绝对值不等式的解法;函数的最值及其几何意义.
【分析】(1)f(x)=|x﹣4|+|x﹣2|= .分x≤2时，;2
(2))由|x﹣4|+|x﹣2|≥2，得M=2，由2x+a≥M的解集包含[0，1]，得20+a≥2，21+a≥2
【解答】解：(1)f(x)=|x﹣4|+|x﹣2|= .
∴当x≤2时，f(x)>2，6﹣2x>2，解得x<2;
当2
当x≥4时，f(x)>2得2x﹣6>2，解得>4.
所以不等式f(x)>2的解集为(﹣∞，2)∪(4，+∞).
(2))∵|x﹣4|+|x﹣2|≥2，∴M=2，
∵2x+a≥M的解集包含[0，1]，
∴20+a≥2，21+a≥2，∴a≥1.
故a的取值范围为：[1，+∞)
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