小学数学计算教学案例分析_小学数学计算教学案例分析(2)
小学数学计算教学案例分析三
小学数学计算关系中的算理都应用生活模型来理解。计算能力，对应内容是数的认识(整数、小数和分数)及其计算(加减和乘除)，又可分为两个阶段。
第一阶段是多位整数和小数的加减乘除，第二阶段是分数概念及其计算。
1) 计算内容第一阶段
主要内容是多位整数和小数的加减乘除，核心知识是大九九乘法表。加减乘除，和差积商。减法是加法的逆运算，多位数加减法关键是数位的对齐(数位代表着单位，每一数位的“权”)。 乘法是加法的升级版，多位数乘法则是加法的一种叠加。除法是乘法的逆运算，而多位数的除法本质是多步的带余除法。 核心规律：
2+3=3+2=5 到5-3=2，5-2=3，加法交换律和加减互逆; 2×3=3×2=6 到6÷3=2，6÷2=3，乘法交换律和乘除互逆。
几个研讨的问题：
a) 用平均分实际问题引入带余除法。
多位数除法的本质就是多步的带余除法，学生对此常常认识不足。带余除法可以理解为用多次乘法(试商)和减法来做除法，其关键在于对余数必须小于除数的认识。
除法就是平均分的认识，已经被学生理解。表内除法的算式，要求学生能够举例说明，实际上就是能够对应生活中的模型。3÷3=1，对应3粒糖果3个小朋友平均分，一人分到1粒;6÷3=2，对应6粒糖果2个小朋友平均分，一人分到1粒;那么4、5粒，7、8粒糖应该如何分呢?
4÷3=1„1， 3个人每人分得1粒糖，还剩1粒。
5÷3=1„2， 3个人每人分得1粒糖，还剩2粒。
6÷3=2， 3个人每人正好分得2粒糖，没有剩余。
7÷3=2„1， 3个人每人分得2粒糖，还剩1粒。
最关键的就是上面这个算式，因为最常见的问题就出在
7÷3=1„4， 错误。因为对应的实际问题解决不合理：3个人每人分得1粒糖，还剩4粒。因为事实上剩余的4粒还可以继续分，每个人还可以多分到1粒，最后还剩1粒。所以：7÷3=2„1， 3个人每人分得2粒糖，还剩1粒。
而 7÷3=3„?，错误，因为每人分得3粒糖，需要9粒糖，不够分。 关键就是对于7÷3的结果，学生要能够举实例透彻地说明算理，同时在过程中明白试商就是试乘的过程，1×3，2×3<7，3×3>7，明白用试商(乘)和减法做带余除法的过程。所以，8÷3=2„2，9÷3=3，10÷3=3„1。
这样的教学让学生明白，带余除法并不是和整除除法(表内除法)有什么不同，而是完全统一于生活实际的解决问题，只是解决平均分问题的不同情况。表内乘法熟练了，逆向就可以做表内除法，升级就可以做多位整数乘法;同样是表内乘法熟练了，就可以做带余除法;带余除法熟练了，多位数除一位数就是多步的带余除法。而多位商除以多位数中，带余除法的难点在于试商，而试商本质仍是试乘，可以多次尝试。所以所有的计算重点和核心仍然是乘法，但是实现从多位数乘法到多位数除法的最后一跃，带余除法仍然是关键之关键。
b) 用生活中的购物问题来引入小数及其计算
小数的概念，用生活中的购物价格，用元角分的单位及互换来引入。因为小数之为小数，关键是多了小数点。小小一点，带来了数位的变化：从小数点向左是个位，十位，百位，越来越大;小数点向右是十分位，百分位，越来越小。所以小数计算的关键无非就是确定小数点的位置，实际上转化成整数形式的运算。如何理解小数加减乘除中小数点位置的确定规则呢?
小数加减法，生活模型就是购物中的金额加减问题。学生从计算金额和差时，自然而然的做到元角分对齐，引入相应的计算算理，即小数点要对齐这一关键。小数的乘除法，生活模型是购物问题中的单价及数量模型，只是单价出现了小数而已。小数乘法的小数点确定是根据乘法中积变化的规律，两个因数的小数位数之和就是积的小位位数(去小数点后的末尾0之前);而小数除法的小数点确定是根据除法中商不变的规律，把除数转化成整数。对于除数是整数的除法，商的小数点和被除法小数点是对齐的。这在下文中“四条关于不变和变化的规律”中还会谈到。
c)加减乘除的基本算理和性质的生活化模型
加法交换律：2+3=3+2=5，其生活模型：男生2人加女生3人，得到全体5人;或者女生3人加男生2人，也得到全体5人。所以2+3=3+2。
加法结合律：(1+2)+3=1+(2+3)=6，其生活模型：男老师1人，男生2个，女生3人，求总人数。方法1计算：男性(1+2)名，女生女性3人，总人数(1+2)+3=6名;方法2计算：老师1人，学生(2+3)名，总人数1+(2+3)=6名。所以(1+2)+3=1+(2+3)。;
乘法交换律：2×3=3×2=6，其生活模型：可乐每瓶2元，购买3瓶，需要付款2+2+2=2×3=6元;豆奶每瓶3元，购买2瓶，需要付款3+3=3×2=6元。同样是6元钱，可以购买2元一瓶的可乐3瓶，或者3元一瓶的豆奶2瓶。所以2×3=3×2。
乘法结合律：(2×3)×4=2×(3×4)=24，其生活模型：可乐2元一罐，3罐为一排，4排为一扎。一扎可乐多少钱?方法1计算：一排可乐是(2×3)元，4排一共需要(2×3)×4=24元;方法2计算：一罐可乐2元，一扎可乐是(3×4)罐，一扎一共需要总人数2×(3×4)=24
元。所以(2×3)×4=2×(3×4)。
乘法分配律：(2+3)×4=2×4+3×4=20，其生活模型：老师请4个同学喝饮料，一人一瓶可乐又一瓶豆奶。已知可乐每瓶2元，豆奶每瓶3元。老师需要付多少钱?方法1计算：每个同学花了(2+3)元，4名同学一共花了(2+3)×4=20元;方法2计算：4瓶可乐2×4元，4瓶豆奶3×4元，总共是2×4+3×4=20元。所以(2+3)×4=2×4+3×4。
以上五个运算律，其中加法交换律和结合律，及乘法交换律和结合律，比较容易让学生“自然而然”地接受。而乘法分配律既是小学数学内容的重点，又是小学数学应用的难点。这个定律实质可以说成是乘法对加法的分配律。如果让学生理解以上生活化的算理，他们可以通过自己反复的计算来验证和熟悉。更进一步，可以让学生自己来举例子、说模型，真正明白“道理背后的道理”，从而真心确信这已经是自己承认和掌握的道理，而不再仅仅是老师教的道理。这样的道理再多，也不怕记。
另外还有一些有关简便运算的性质，初中将作为“加减括号”的形式运算加以学习，但在小学阶段如何理解则大多是言之不详。比如23-6-4=23-(6+4)的变形，利用生活化的模型语言则可以讲得非常明白。小华有23元，买笔用了6元，买本用了4元，则等式左边是按每次用钱就计算一次的方法，右边的算法则是先计算一共花的钱数，再从整体一次减去的方法，两种算法的结果当然是一样的。
d)四条关于不变和变化的规律。
教材中出现了除法中商不变的规律，可以类比到减法中差不变的规律：被减数和减数同时增加或减少相同的数，所得的差不变。实际上差不变的规律在小学数学中同样有重要的作用，比如对于简便计算123-98=123-(100-2)=123-100+2的解释。既然教材中没有出现去括号的规律，说明这个规律因形式上的抽象性不对小学生做要求。但是可以用“差不变的规律”来解释这个问题，123-98=(123+2)-(98+2)=125-100=25，非常容易理解。如果是123+98呢，如何实现通常所谓的“凑整”呢?由差不变的规律，可以联想类推到和不变的规律：两个加数中有一个增大，而另一个减少相同的数，则加法的和不变，所以123+98=(123-2)+(98+2)=121+100=221。再由和不变的规律，可以类推出积不变的规律：两个乘数中有一个增大，而另一个缩小相同的倍数，则乘法的积不变：44×25=(44÷4)×(25×4)=1100。既然有乘法积不变的规律，当然有乘法积变化的规律：两个乘数中有一个缩小A倍，而另一个缩小B倍，其中A、B均不为零。则乘法的积缩小为AB倍。所以，0.41×2.5=(41÷100)×(25÷10)=(41×25)÷(100×10)=(41×25)÷1000，这就是小数乘法的基本算理：按照整数乘法来进行计算，再整体确定积的小数点位置即可。
小结一下，加减乘除计算中，和差积商不变的规律及其变化的规律，可以说是小学数学计算的基本规律之一，可以在新编教材中加以强化。在现行教材的教学中，在教材提出商不变的规律后，反溯类比联想到差不变的规律，再到和不变的规律，然后类比积不变的规律，最后是积变化的规律等等。这其中的类比联想的创造性思维也给学生受益非浅的锻炼。
2)计算内容的第二阶段
这一阶段主要内容是分数概念及其计算。这一部分的学习重点有两点，算理和工具。我常常比喻它们是“分数概念和计算的任督两脉”。任脉就是分数计算的算理，牢牢把握分数产生于除法，除法中“商不变的规律”应用于分数内容，就是“分数的基本性质”，也就是说“分数的基本性质”来源于“除法中商不变的规律”。上文中曾提及四大计算规律，分别是“加法中和不变的规律、减法中差不变的规律、乘法中积不变的规律和除法中商不变的规律”，而在人教版教材中唯一明确提出的，只有“除法中商不变的规律”。就因为这一规律是贯串两个学习阶段，在两个阶段都有重要作用的基本规律。在第二学习阶段，分数的基本性质就是分数计算的根本规律，以此为根据的约分和通分，就是分数乘除法和加减法的基本方法。而分数计算的督脉就是工具，什么工具呢?就是能在约分中能找到公因数，在通分中能找到公倍数，而且在100以内要能根据定义，迅速准确地找出公因数和公倍数。也就是说因数和倍数的概念及常见数据的因数和倍数的熟悉就是这里所谓的工具，所以教学中要对1～100的数反复进行因数分解的练习。根据分数基本性质的算理，掌握因数和倍数概念的工具，就是分数概念及其计算的全部内容。以下是教学中要关注的两个问题。
a)乘法的两种逆运算：除法是乘法的逆运算，关系逆运算;而因数分解是也乘法的逆运算，形式逆运算。乘法是单向的，得到唯一的结果;因数分解是多向的，得到发散的结果。用乘法逆运算来理解因数分解，并把它和除法并列在一起，有助于完善形成一个小学阶段三数四算(整数小数的分数之加减乘除)的简单而完整的知识结构。以下的列举练习多多益善。
1=1×1， 1只有一个因数，就是1本身;
2=1×2， 2的因数有：1和2，共2个;
3=1×3， 3的因数有：1和3，共2个;
4=1×4=2×2， 4的因数有：1、2和4，共3个;
5=1×5， 5的因数有：1和5，共2个;
6=1×6=2×3， 6的因数有：1、2、3和6，共4个;
7=1×7， 7的因数有：1和7，共2个;
8=1×8=2×4， 8的因数有：1、2、4和8，共4个;
9=1×9=3×3， 9的因数有：1、3和9，共3个;
10=1×10=2×5， 10的因数有：1、2、5和10，共4个;
以下11～20，21～50，51～100略。
学生可以发现：1)根据因数的个数，正整数可以分成质数、合数和特殊的1;
2)除了完全平方数1，4，9等，其它的正整数的因数都是成对出现的，因数的个数是偶数;反过来说，完全平方数的因数个数是奇数;等等。
或者改变排列方式，进行如下列举练习。
10=1×10=2×5， 10的因数有：1、2、5和10，共4个; 20=1×20=2×10=4×5， 20的因数有：1、2、4、5、10和20，共6个;
30=1×30=2×15=3×10=5×6， 30的因数有：1、2、3、5、6、10、15和30，共8个;
40=1×40=2×20=4×10=5×8， 40的因数有：1、2、4、5、8、10、20和40，共8个;
50=1×50=2×25=5×10， 50的因数有：1、2、5、10、25和50，共6个;
60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10，
60的因数有：1、2、3、4、5、6、10、12、15、12、20和60，共12个;
70=1×70=2×35=5×14=7×10，70的因数有：1、2、5、7、10、14、35和70，共8个;
80=1×80=2×40=4×20=5×16=8×10，
80的因数有：1、2、4、5、8、10、16、20、40和80，共10个;
90=1×90=2×45=3×30=5×18=6×15=9×10，
90的因数有：1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45和90，共12个;
100=1×100=2×50=4×25=5×20=10×10，
100的因数有：1、2、4、5、10、20、25、50和100，共9个;
以下个位为1的各数(11，21，„„91)等略。
b)关于教材中分数加减法和乘除法的教学先后问题。
人教版的教材曾经是先教分数的乘除法，再教分数的加减法。在引入分数概念之后，紧接内容就是分数的基本性质。然后是最简分数的概念，和利用分数基本性质进行约分化简得到最简分数的计算。因为分数乘法的本质过程就是能约分的先约分，所以在学习约分之后，直接学习分数的乘法顺其自然，符合知识体系发展的逻辑。而分数除法则是通过转化为分数乘法来解决。而分数的加减法的重难点主要在于异分母时的通分，通分是通过比较分数大小引入的，困难程度要略大于约分，所以先讲分数乘除法再讲分数加减法也是符合由易到难的逻辑顺序
的。另外有一个供参考的经验之谈，在异分母加减法中强调分数单位的概念，结合小数加减法中的数位对齐，说明通分的目的就如同小数加减法中的对齐，是为了保证相同单位下的相加。下面谈谈教材的变化。
人教版在2006版的修订中把《分数的加法和减法》提前到五下，紧接《分数的意义和性质》之后，却把分数的乘除法分列两单元，出现在六上。这样的安排，我估计是出于整合分数应用题的教学需要，因为分数加减法应用题的教学内容远不如分数乘除法应用题内容丰富。但从我的教学实践来看，先学了分数的约分和化简后，再学通分和分数的加减法，又回头来学分数的乘除法，结果学生出现了部分学生，尤其是学困生，乱用通分做分数乘法的情况。所以说，为了整合应用题内容而对分数计算内容顺序的这一调整，是值得再行考虑的。
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