高中数学数列有哪些教学设计
高中数学数列有哪些教学设计
教案在今天推行素质教育、实施新课程改革中重要性日益突出，在教师的教学活动中起着非常关键的作用。以下是学习啦小编分享给大家的高中数学数列教学设计，希望可以帮到你!
高中数学数列教学设计
一、预习问题：
1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母 表示。
2、等差中项：若三个数 组成等差数列，那么A叫做 与 的 ，
即 或 。
3、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列; 时，数列为递减数列; 时，数列为常数列;等差数列不可能是 。
4、等差数列的通项公式： 。
5、判断正误：
①1，2，3，4，5是等差数列; ( )
②1，1，2，3，4，5是等差数列; ( )
③数列6，4，2，0是公差为2的等差数列; ( )
④数列 是公差为 的等差数列; ( )
⑤数列 是等差数列; ( )
⑥若 ，则 成等差数列; ( )
⑦若 ，则数列 成等差数列; ( )
⑧等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列; ( )
⑨等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差。 ( )
6、思考：如何证明一个数列是等差数列。
二、实战操作：
例1、(1)求等差数列8,5,2,…的第20项.
(2) 是不是等差数列 中的项?如果是，是第几项?
(3)已知数列 的公差 则
例2、已知数列 的通项公式为 ，其中 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗?
例3、已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 求这5个数。
高中数学数列等差数列的概念教学设计
知能目标解读
1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.
2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.
3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.
4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.
5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.
重点难点点拨
重点：等差数列的概念.
难点：等差数列的通项公式及其运用.
学习方法指导
1.等差数列的定义
(1)关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：
①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.
②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.
③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1 (n∈N+且n≥2).
(2)如何证明一个数列是等差数列?
要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同
一个常数(或an-an-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.
注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1 (n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.
2.等差数列的通项公式
(1)通项公式的推导常用方法：
方法一(叠加法)：∵{an}是等差数列，
∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,
an-2-an-3=d,…,
a3-a2=d,a2-a1=d.
将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,
∴an=a1+(n-1)d.
方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列，
∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.
即an=a1+(n-1)d.
方法三(逐差法)：∵{an}是等差数列，则有
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.
注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.
(2)通项公式的变形公式
在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有
am=a1+(m-1)d ①
an=a1+(n-1)d ②
由②-①得an-am=(n-m)d,
∴an=am+(n-m)d.
注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d= (n≠m).
(3)通项公式的应用
①利用通项公式可以求出首项与公差;
②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;
③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.
3.从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d>0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示.
当d<0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示.
当d=0时，{an}为常数列，如图(丙)所示.
4.等差中项
如果在数a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，
那么A叫做数a与b的等差中项.
注意:(1)等差中项A= a,A,b成等差数列;
(2)若a,b,c成等差数列，那么b= ，2b=a+c,b-a=c-b,a-b=b-c都是等价的;
(3)用递推关系an+1= (an+an+2)给出的数列是等差数列，an+1是它的前一项an与后一项an+2的等差中项.
知能自主梳理
1.等差数列
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的 是 ，我们称这样的数列为等差数列.
2.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a,A,b成等差数列，那么A叫做 .
3.等差数列的判断方法
(1)要证明数列{an}是等差数列，只要证明：当n≥2时， .
(2)如果an+1= 对任意的正整数n都成立，那么数列{an}是 .
(3)若a,A,b成等差数列，则A= .
4.等差数列的通项公式
等差数列的通项公式为 ，它的推广通项公式为 .
5.等差数列的单调性
当d>0时，{an}是 数列;当d=0时，{an}是 数列;当d<0时，{an｝是 数列.
[答案] 1.差 同一个常数
2.a与b的等差中项
3.(1)an-an-1=d(常数) (2)等差数列 (3)
4.an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
5.递增 常 递减
思路方法技巧
命题方向 等差数列的定义及应用
[例1] 判断下列数列是否为等差数列.
(1)an=3n+2;
(2)an=n2+n.
[分析] 利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.
[解析] (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.
(2)an+1-an=(n+1) 2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,不是常数，所以这个数列不是等差数列.
[说明] 利用定义法判断等差数列的关键是看an+1-an得到的结论是否是一个与n无关的常数，若是，即为等差数列，若不是，则不是等差数列.至于它到底是一个什么样的数列，这些不再是我们研究的范畴.
变式应用1 试判断数列{cn｝，cn= 是否为等差数列.
? 2n-5 n≥2
[解析] ∵c2-c1=-1-1=-2,
cn+1-cn=2(n+1)-5-2n+5=2(n≥2).
∴cn+1-cn(n≥1)不等于同一个常数，不符合等差数列定义.
∴{cn}不是等差数列.
命题方向 等差数列通项公式的应用
[例2] 已知数列{an}为等差数列，且a5=11,a8=5,求a11.
[分析] 利用通项公式先求出a1和d，再求a11，也可以利用通项公式的变形形式an=am+(n-m)d求解.
[解析] 解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d，由等差数列的通项公式及已知，得
a1+4d=11 a1=19
解得 .
a1+7d=5 d=-2
∴a11=19+(11-1)×(-2)=-1.
解法二：∵a8=a5+(8-5)d,
∴d= = =-2.
∴a11=a8+(11-8)d=5+3×(-2)=-1.
[说明] (1)对于解法一，根据方程的思想，应用等差数列的通项公式先求出a1和d，确定通项，此法也称为基本量法.
(2)对于解法二，根据通项公式的变形公式为：am=an+(m-n)d,m,n∈N+，进一步变形为d= ，应注意掌握对它的灵活应用.
变式应用2 已知等差数列{an}中，a10=29,a21=62,试判断91是否为此数列中的项.
a10=a1+9d=29
[解析] 设等差数列的公差为d,则有 ，
a21=a1+20d=62
解得a1=2,d=3.
∴an=2+(n-1)×3=3n-1.
令an=3n-1=91,得n= N+.
∴91不是此数列中的项.
命题方向 等差中项的应用
[例3] 已知a,b,c成等差数列，那么a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列?
[分析] 已知a,b,c成等差数列，由等差中项的定义，可知a+c=2b,然后要证其他三项a2(b+c),b2(c+a),c2(a+b)是否成等差数列，同样考虑等差中项.当然需用到已知条件a+c=2b.
[解析] 因为a,b,c成等差数列，所以a+c=2b,
又a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(c+a)
=a2c+c2a+ab(a-2b)+bc(c-2b)
=a2c+c2a-2abc=ac(a+c-2b)=0,
所以a2(b+c)+c2(a+b)=2b2(c+a),
所以a2(a+c),b2(c+a),c2(a+b)成等差数列.
[说明] 本题主要考查等差中项的应用，如果a,b,c成等差数列，则有a+c=2b;反之，若a+c=2b,则a,b,c成等差数列.
变式应用3 已知数列{xn｝的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N+,p,q为常数)，且x1、x4、x5成等差数列.求：p,q的值.
[分析] 由x1、x4、x5成等差数列得出一个关于p,q的等式，结合x1=3推出2p+q=3,从而得到p,q.
[解析] 由x1=3,得2p+q=3, ①
又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得
3+25p+5q=25p+8q, ②
由①②得q=1,∴p=1.
[说明] 若三数a,b,c成等差数列，则a+c=2b,即b为a,c的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到.
探索延拓创新
命题方向 等差数列的实际应用
[例4] 某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损?
高中数学数列一般概念教学设计
教学目的：
⒈理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系.
⒉了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项
⒊对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式
教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用，前n 项和与an的关系
教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式
教学过程：
一、 复习引入：(课件第1页)
观察这些例子，看它们有何共同特点?(启发学生发现数列定义)
上述例子的共同特点是：⑴均是一列数;⑵有一定次序.
从而引出数列及有关定义
二、 讲解新课： 数列的相关概念(课件第2页)
例如，上述例子均是数列，其中①中，“1”是这个数列的第1项(或首项)，“ ”是这个数列中的第4项.
结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，3是这个数列的第“3”项，等等。
下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式)对于上面的数列○5，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：
这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式： 来表示其对应关系
即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项
结合上述其他例子，练习找其对应关系
如：数列①：
注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列○3;
⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 ，也可以是 .
⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项。
数列的通项公式就是相应函数的解析式.
四、课堂练习：五、课后作业： (课件第5页)
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