加强数形结合提高学生解题能力

　　一、 绪论

　　恩格斯说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.数学中的两大研究对象“数”和“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素.数形结合是贯穿于数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远.一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感;另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论.“数”和“形”的信息转换、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径.数形结合是连接“数”和“形”的“桥”，它不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的数学思想.高中数学学习中，数形结合的思想更是贯穿始终.

　　二、研究的目的和意义

　　数是形的抽象概括，形是数的直观表现.华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事非.”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法.数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.

　　数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”.在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心.尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性.同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解.

　　三、数形结合在提高学生解题能力中的作用

　　作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”. 其中数形结合的重点是研究“以形助数”.

　　根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决.

　　(一)“以形助数”

　　点评:运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，以开拓自己的

　　思维视野.

　　点评:数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质,简化计算.

　　点评:许多函数的最值问题，存在着几何背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解.

　　点评:向量具有一套良好的运算性质，通过建立直角坐标系可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，借助数的精确与规范严密性阐明了立体几何的属性，既简化了空间想象能力难的问题，又显得特别简洁.

　　在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.

　　四、数学教学中渗透数形结合思想

　　数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一.新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想.教材中这一思想方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己.

　　新课标的教学内容早已全面实施，按新课标的教学大纲要求与知识点传授的层次性来看，数形结合法教学主要经历三个阶段：

　　第一阶段是数形对应，它是数形结合基础，主要是通过平时概念的教学逐步渗透，让学生通过学习、训练、体会、逐步领悟和掌握.一方面，实数与数轴上的点的对应，平面上点与有序实数对间的对应，函数与图象的对应，曲线与方程的对应等，以及以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等等都为数形结合创造了条件，提供了理论支撑.另一方面，高中数学概念具有较强的抽象性、概括性，学生在理解时有较大的难度.可以借助形的几何直观性来达到帮助学生理解的目的.例如，将函数与图象结合起来,用几何方法表述函数关系来帮助学生理解函数的抽象.

　　第二阶段是数形转化，它体现了数与形关系在解决问题过程中，如何作为一种方法而得到运用.数学问题是开展数学思维的前提,解决问题的过程,本质上就是一个思维训练的过程.我们可以将数形结合渗透在问题的解决过程中,主要体现在以下三个方面：

　　(1)以形助数体会形在问题解决中的直观性 ;

　　(2)以数助形体会数的论证在问题解决中的简洁性;

　　(3)数形结合体会两者的统一性 .

　　第三阶段是数形分工，这是把应用数形结合思想作为解决问题中的一种策略.例如，高三复习中重点开设数形结合思想方法专题，以达到系统巩固的目的.

　　纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，往往事半功倍.因此，高中数学教学中必须加强数形结合，提高学生数学素质与解题能力.