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人教版八年级下册数学期末试题

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人教版八年级下册数学期末试题

  数学期末考试与八年级学生的学习是息息相关的。小编整理了关于人教版八年级下册数学期末试题,希望对大家有帮助!

  八年级下册数学期末试题

  一.细心选一选:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在表格中.

  1.在分式中,x的取值范围是(  )

  A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1

  2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则α+β的值是(  )

  A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3

  4.如图,反比例函数y=的图象过点A,过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2,则k的值为(  )

  A. 4 B. 2 C. 1 D.

  5.如图所示,▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是CD中点,连接OE,若OE=3cm,则AD的长为(  )

  A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm

  6.方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为(  )

  A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4

  7.一个多边形的每个内角都是108°,那么这个多边形是(  )

  A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

  8.分式方程的解是(  )

  A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3

  9.如图,菱形ABCD中,已知∠D=110°,则∠BAC的度数为(  )

  A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

  10.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围(  )

  A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1

  11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为1的正方形有9个,第(2)个图形中面积为1的正方形有14个,…,按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为(  )

  A. 72 B. 64 C. 54 D. 50

  12.已知四边形OABC是矩形,边OA在x轴上,边OC在y轴上,双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E,若△OBD的面积为10,则k的值是(  )

  A. 10 B. 5 C. D.

  二、耐心填一填(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.

  13.分解因式:2m2﹣2=      .

  14.若分式的值为零,则x=      .

  15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120°,则对角线AC的长度为      .

  16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根,则m的值是      .

  17.由于天气炎热,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“蚊虫叮咬”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分),当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在      分钟内,师生不能呆在教室.

  18.如图,在正方形ABCD中,AB=2,将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45),得到∠B′AD′,其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E,射线AD′与对角线BD交于点F,连接CF,并延长交AD于点M,当满足S四边形AEBF=S△CDM时,线段BE的长度为      .

  三.解答题(本大题共4个小题,19题10分,20题8分,21题8分,22题8分,共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  19.解方程:

  (1)x2﹣6x﹣2=0

  (2)=+1.

  20.如图,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F,连接BD.

  (1)求证:△ABE≌△CDF;

  (2)若AB=DB,求证:四边形DFBE是矩形.

  21.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣,0),且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2,1)和点B.

  (1)求一次函数和反比例函数的解析式;

  (2)求点B的坐标,并根据图象回答:当x在什么范围内取值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?

  22.童装店在服装销售中发现:进货价每件60元,销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”,童装店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,

  (1)降价前,童装店每天的利润是多少元?

  (2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元,同时又要使顾客得到更多的实惠,那么每件童装应降价多少元?

  四、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  23.先化简,再求值:(﹣)÷(﹣1),其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.

  24.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:

  若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;

  若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.

  例如:点P1(1,2),点P1(3,5),因为|1﹣3|<|2﹣5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).

  (1)已知点A(﹣),B为y轴上的一个动点,①若点A与点B的“非常距离”为2,写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;

  (2)如图2,已知C是直线上的一个动点,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”最小时,相应的点C的坐标.

  五.解答题(本大题共2个小题,25题12分,26题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  25.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.

  (1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;

  (2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;

  (3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

  26.如图,已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点,且点A的横坐标为1.

  (1)求k的值;

  (2)如图1,双曲线y=(x>0)上一点M,若S△AOM=4,求点M的坐标;

  (3)如图2所示,若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3,1),点P是直线y=x上一动点,点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点,是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

  人教版八年级下册数学期末试题参考答案

  一.细心选一选:(本大题12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案的代号填在表格中.

  1.在分式中,x的取值范围是(  )

  A. x≠1 B. x≠0 C. x>1 D. x<1

  考点: 分式有意义的条件.

  分析: 根据分式有意义,分母不等于0列式计算即可得解.

  解答: 解:由题意得,x﹣1≠0,

  解得x≠1.

  故选A.

  点评: 本题考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念:

  (1)分式无意义⇔分母为零;

  (2)分式有意义⇔分母不为零;

  (3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零.

  2.在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是(  )

  A. B. C. D.

  考点: 轴对称图形.

  分析: 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.

  解答: 解:A、不是轴对称图形,故本选项错误;

  B、是轴对称图形,故本选项正确;

  C、不是轴对称图形,故本选项错误;

  D、不是轴对称图形,故本选项错误.

  故选;B.

  点评: 本题考查了轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.

  3.已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,则α+β的值是(  )

  A. 2 B. ﹣2 C. 3 D. ﹣3

  考点: 根与系数的关系.

  分析: 根据根与系数的关系得到α+β=﹣=2,即可得出答案.

  解答: 解:∵α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根,

  ∴α+β=﹣=2;

  故选A.

  点评: 本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣,x1x2=.

  4.如图,反比例函数y=的图象过点A,过点A分别向x轴和y轴作垂线,垂足为B和C.若矩形ABOC的面积为2,则k的值为(  )

  A. 4 B. 2 C. 1 D.

  考点: 反比例函数系数k的几何意义.

  分析: 设点A的坐标为(x,y),用x、y表示OB、AB的长,根据矩形ABOC的面积为2,列出算式求出k的值.

  解答: 解:设点A的坐标为(x,y),

  则OB=x,AB=y,

  ∵矩形ABOC的面积为2,

  ∴k=xy=2,

  故选:B.

  点评: 本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.

  5.如图所示,▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是CD中点,连接OE,若OE=3cm,则AD的长为(  )

  A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm

  考点: 三角形中位线定理;平行四边形的性质.

  分析: 由平行四边形的性质,易证OE是中位线,根据中位线定理求解.

  解答: 解:根据平行四边形基本性质:平行四边形的对角线互相平分.可知点O是BD中点,所以OE是△BCD的中位线.

  根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6(cm).

  故选B.

  点评: 主要考查了平行四边形的基本性质和中位线性质,并利用性质解题.平行四边形基本性质:①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.

  6.方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为(  )

  A. (x+3)2=14 B. (x﹣3)2=14 C. D. (x+3)2=4

  考点: 解一元二次方程-配方法.

  专题: 配方法.

  分析: 配方法的一般步骤:

  (1)把常数项移到等号的右边;

  (2)把二次项的系数化为1;

  (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.

  解答: 解:由原方程移项,得

  x2+6x=5,

  等式两边同时加上一次项系数一半的平方,即32,得

  x2+6x+9=5+9,

  ∴(x+3)2=14.

  故选A.

  点评: 此题考查了配方法解一元二次方程,解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

  7.一个多边形的每个内角都是108°,那么这个多边形是(  )

  A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形

  考点: 多边形内角与外角.

  分析: 利用多边形的内角和=180(n﹣2)可得.

  解答: 解:108=180(n﹣2)÷n

  解得n=5.

  故选A.

  点评: 本题主要考查了多边形的内角和定理.

  8.分式方程的解是(  )

  A. x=﹣5 B. x=5 C. x=﹣3 D. x=3

  考点: 解分式方程.

  专题: 计算题.

  分析: 观察可得最简公分母是(x+1)(x﹣1),方程两边乘以最简公分母,可以把分式方程化为整式方程,再求解.

  解答: 解:方程两边同乘以(x+1)(x﹣1),

  得3(x+1)=2(x﹣1),

  解得x=﹣5.

  经检验:x=﹣5是原方程的解.

  故选A.

  点评: (1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.

  (2)解分式方程一定注意要验根.

  9.如图,菱形ABCD中,已知∠D=110°,则∠BAC的度数为(  )

  A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

  考点: 菱形的性质.

  专题: 计算题.

  分析: 先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD=70°,然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解.

  解答: 解:∵四边形ABCD为菱形,

  ∴AD∥AB,

  ∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°,

  ∵四边形ABCD为菱形,

  ∴AC平分∠BAD,

  ∴∠BAC=∠BAD=35°.

  故选B.

  点评: 本题考查了菱形的性质:菱形具有平行四边形的一切性质;菱形的四条边都相等;菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.

  10.若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围(  )

  A. k<1且k≠0 B. k≠0 C. k<1 D. k>1

  考点: 根的判别式;一元二次方程的定义.

  专题: 计算题.

  分析: 根据根的判别式和一元二次方程的定义,令△>0且二次项系数不为0即可.

  解答: 解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根,

  ∴△>0,

  即(﹣6)2﹣4×9k>0,

  解得,k<1,

  ∵为一元二次方程,

  ∴k≠0,

  ∴k<1且k≠0.

  故选A.

  点评: 本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义,要知道:(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;

  (2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;(3)△<0⇔方程没有实数根.

  11.下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成,其中,第(1)个图形中面积为1的正方形有9个,第(2)个图形中面积为1的正方形有14个,…,按此规律.则第(10)个图形中面积为1的正方形的个数为(  )

  A. 72 B. 64 C. 54 D. 50

  考点: 规律型:图形的变化类.

  分析: 由第1个图形有9个边长为1的小正方形,第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形,第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形,…由此得出第n个图形有9+5×(n﹣1)=5n+4个边长为1的小正方形,由此求得答案即可.

  解答: 解:第1个图形边长为1的小正方形有9个,

  第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个,

  第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个,

  …

  第n个图形边长为1的小正方形有9+5×(n﹣1)=5n+4个,

  所以第10个图形中边长为1的小正方形的个数为5×10+4=54个.

  故选:C.

  点评: 此题考查图形的变化规律,找出图形与数字之间的运算规律,利用规律解决问题.

  12.已知四边形OABC是矩形,边OA在x轴上,边OC在y轴上,双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E,若△OBD的面积为10,则k的值是(  )

  A. 10 B. 5 C. D.

  考点: 反比例函数系数k的几何意义.

  分析: 设双曲线的解析式为:y=,E点的坐标是(x,y),根据E是OB的中点,得到B点的坐标,求出点E的坐标,根据三角形的面积公式求出k.

  解答: 解:设双曲线的解析式为:y=,E点的坐标是(x,y),

  ∵E是OB的中点,

  ∴B点的坐标是(2x,2y),

  则D点的坐标是(,2y),

  ∵△OBD的面积为10,

  ∴×(2x﹣)×2y=10,

  解得,k=,

  故选:D.

  点评: 本题考查反比例系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|.

  二、耐心填一填(本大题共6个小题,每小题4分,共24分)请将每小题的正确答案填入下面的表格中.

  13.分解因式:2m2﹣2= 2(m+1)(m﹣1) .

  考点: 提公因式法与公式法的综合运用.

  专题: 压轴题.

  分析: 先提取公因式2,再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式.

  解答: 解:2m2﹣2,

  =2(m2﹣1),

  =2(m+1)(m﹣1).

  故答案为:2(m+1)(m﹣1).

  点评: 本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解.

  14.若分式的值为零,则x= ﹣3 .

  考点: 分式的值为零的条件.

  专题: 计算题.

  分析: 分式的值为零,分子等于0,分母不为0.

  解答: 解:根据题意,得

  |x|﹣3=0且x﹣3≠0,

  解得,x=﹣3.

  故答案是:﹣3.

  点评: 本题考查了分式的值为0的条件.若分式的值为零,需同时具备两个条件:(1)分子为0;(2)分母不为0.这两个条件缺一不可.

  15.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=4,∠AOD=120°,则对角线AC的长度为 8 .

  考点: 矩形的性质;含30度角的直角三角形.

  分析: 由矩形的性质得出OA=OB,再证明△AOB是等边三角形,得出OA=OB=AB=4,得出AC=2OA即可.

  解答: 解:∵四边形ABCD是矩形,

  ∴OA=AC,OB=BD,AC=BD,

  ∴OA=OB,

  ∵∠AOD=120°,

  ∴∠AOB=60°,

  ∴△AOB是等边三角形,

  ∴OA=OB=AB=4,

  ∴AC=2OA=8;

  故答案为:8.

  点评: 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质;熟练掌握矩形的性质,证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.

  16.已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根,则m的值是 ﹣3 .

  考点: 一元二次方程的解.

  分析: 将x=2代入方程即可得到一个关于m的方程,解方程即可求出m值.

  解答: 解:把x=2代入方程可得:4+2m+2=0,

  解得m=﹣3.

  故答案为﹣3.

  点评: 本题主要考查了方程的解的定义,把求未知系数的问题转化为方程求解的问题.

  17.由于天气炎热,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“蚊虫叮咬”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧机释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分),当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在 75 分钟内,师生不能呆在教室.

  考点: 反比例函数的应用.

  分析: 首先根据题意,药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例;药物释放完毕后,y与x成反比例,将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式;进一步求解可得答案.

  解答: 解:设反比例函数解析式为y=(k≠0),

  将(25,6)代入解析式得,k=25×6=150,

  则函数解析式为y=(x≥15),

  当y=2时,=2,

  解得x=75.

  答:从消毒开始,师生至少在75分钟内不能进入教室.

  点评: 本题考查了反比例函数的应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.

  18.如图,在正方形ABCD中,AB=2,将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45),得到∠B′AD′,其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E,射线AD′与对角线BD交于点F,连接CF,并延长交AD于点M,当满足S四边形AEBF=S△CDM时,线段BE的长度为 2﹣2 .

  考点: 旋转的性质;正方形的性质.

  分析: 先根据旋转的性质得∠EAB=∠FAD=α,再根据正方形的性质得AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,则利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°,于是可根据“ASA”判定△ABE≌△ADF,得到S△ABE=S△ADF,所以S四边形AEBF=S△ABD=4,则S△CDM=2,利用三角形面积公式可计算出DM=2,延长AB到M′使BM′=DM=2,如图,接着根据勾股定理计算出CM=2,再通过证明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2,∠BCM′=∠DCM,然后证∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2,则BN=M′C﹣BM′=2﹣2.

  解答: 解:∵∠BAD绕着点A顺时针旋转α°(0<α<45°),得到∠B′AD′,

  ∴∠EAB=∠FAD=α,

  ∵四边形ABCD为正方形,

  ∴AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,∵BE⊥BD,

  ∴∠EBD=90°,

  ∴∠EBA=45°,

  ∴∠EBA=∠FDA,

  在△ABE和△ADF中,

  ,

  ∴△ABE≌△ADF(ASA),

  ∴S△ABE=S△ADF,

  ∴S四边形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4,

  ∵S四边形AEBF=S△CDM,

  ∴S△CDM==2,

  ∴DM•2=2,解得DM=2,

  延长AB到M′使BM′=DM=2,如图,

  在Rt△CDM中,CM==2,

  在△BCM′和△DCM中

  ,

  ∴△BCM≌△DCM(SAS),

  ∴CM′=CM=2,∠BCM′=∠DCM,

  ∵AB∥CD,

  ∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM,

  而NC平分∠BCM,

  ∴∠NCM=∠BCN,

  ∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN,

  ∴M′N=M′C=2,

  ∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2.

  故答案为:2﹣2.

  点评: 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质.

  三.解答题(本大题共4个小题,19题10分,20题8分,21题8分,22题8分,共34分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  19.解方程:

  (1)x2﹣6x﹣2=0

  (2)=+1.

  考点: 解一元二次方程-配方法;解分式方程.

  分析: (1)移项,配方,再开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;

  (2)先把分式方程转化成整式方程,求出方程的解,再进行检验即可.

  解答: 解:(1)x2﹣6x﹣2=0,

  x2﹣6x=2,

  x2﹣6x+9=2+9,

  (x﹣3)2=11,

  x﹣3=,

  x1=3+,x2=3﹣;

  (2)方程两边都乘以x﹣2得:1﹣x=﹣1+x﹣2,

  解这个方程得:x=2,

  检验:当x=2时,x﹣2=0,

  所以x=2不是原方程的解,

  所以原方程无解.

  点评: 本题考查了解一元二次方程,解分式方程的应用,解(1)小题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程,解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程.

  20.如图,在▱ABCD中,∠ABD的平分线BE交AD于点E,∠CDB的平分线DF交BC于点F,连接BD.

  (1)求证:△ABE≌△CDF;

  (2)若AB=DB,求证:四边形DFBE是矩形.

  考点: 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.

  专题: 证明题.

  分析: (1)根据平行四边形性质得出AB=CD,∠A=∠C.求出∠ABD=∠CDB.推出∠ABE=∠CDF,根据ASA推出全等即可;

  (2)根据全等得出AE=CF,根据平行四边形性质得出AD∥BC,AD=BC,推出DE∥BF,DE=BF,得出四边形DFBE是平行四边形,根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°,根据矩形的判定推出即可.

  解答: 证明:(1)在□ABCD中,AB=CD,∠A=∠C.

  ∵AB∥CD,

  ∴∠ABD=∠CDB.

  ∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,

  ∴∠ABE=∠ABD,∠CDF=∠CDB.

  ∴∠ABE=∠CDF.

  ∵在△ABE和△CDF中,

  ∴△ABE≌△CDF(ASA).

  (2)∵△ABE≌△CDF,

  ∴AE=CF,

  ∵四边形ABCD是平行四边形,

  ∴AD∥BC,AD=BC,

  ∴DE∥BF,DE=BF,

  ∴四边形DFBE是平行四边形,

  ∵AB=DB,BE平分∠ABD,

  ∴BE⊥AD,即∠DEB=90°.

  ∴平行四边形DFBE是矩形.

  点评: 本题考查了平行线的性质,平行四边形的性质和判定,矩形的判定,全等三角形的性质和判定,角平分线定义等知识点的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理的能力.

  21.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣,0),且与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于点A(﹣2,1)和点B.

  (1)求一次函数和反比例函数的解析式;

  (2)求点B的坐标,并根据图象回答:当x在什么范围内取值时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值?

  考点: 反比例函数与一次函数的交点问题.

  专题: 数形结合;待定系数法.

  分析: (1)根据待定系数法,可得函数解析式;

  (2)根据二元一次方程组,可得函数图象的交点,根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方,可得答案.

  解答: 解:(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点P(﹣,0)和A(﹣2,1),

  ∴,解得,

  ∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3,

  反比例函数y=(m≠0)的图象过点A(﹣2,1),

  ∴,解得m=﹣2,

  ∴反比例函数的解析式为y=﹣;

  (2),

  解得,或,

  ∴B(,﹣4)

  由图象可知,当﹣2时,一次函数的函数值小于反比例函数的函数值.

  点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,待定系数法是求函数解析式的关键.

  22.童装店在服装销售中发现:进货价每件60元,销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件.为了迎接“六一”,童装店决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利.经调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,

  (1)降价前,童装店每天的利润是多少元?

  (2)如果童装店每要每天销售这种童装盈利1200元,同时又要使顾客得到更多的实惠,那么每件童装应降价多少元?

  考点: 一元二次方程的应用.

  专题: 销售问题.

  分析: (1)用降价前每件利润×销售量列式计算即可;

  (2)设每件童装降价x元,利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可.

  解答: 解:(1)童装店降价前每天销售该童装可盈利:

  (100﹣60)×20=800(元);

  (2)设每件童装降价x元,根据题意,得

  (100﹣60﹣x)(20+2x)=1200,

  解得:x1=10,x2=20.

  ∵要使顾客得到更多的实惠,

  ∴取x=20.

  答:童装店应该降价20元.

  点评: 此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用,此题找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键.最后要注意判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.

  四、解答题(本大题共2个小题,每小题10分,共20分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  23.先化简,再求值:(﹣)÷(﹣1),其中a是方程a2﹣4a+2=0的解.

  考点: 分式的化简求值;一元二次方程的解.

  专题: 计算题.

  分析: 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把已知等式变形后代入计算即可求出值.

  解答: 解:原式=[﹣]÷=•=,

  由a2﹣4a+2=0,得a2﹣4a=﹣2,

  则原式=.

  点评: 此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

  24.在平面直角坐标系xOy中,对于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“非常距离”,给出如下定义:

  若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|;

  若|x1﹣x2|<|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|.

  例如:点P1(1,2),点P1(3,5),因为|1﹣3|<|2﹣5|,所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3,也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点).

  (1)已知点A(﹣),B为y轴上的一个动点,①若点A与点B的“非常距离”为2,写出满足条件的点B的坐标;②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值;

  (2)如图2,已知C是直线上的一个动点,点D的坐标是(0,1),求点C与点D的“非常距离”最小时,相应的点C的坐标.

  考点: 一次函数综合题.

  分析: (1)①根据点B位于y轴上,可以设点B的坐标为(0,y).由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2,据此可以求得y的值;

  ②设点B的坐标为(0,y),根据|﹣﹣0|≥|0﹣y|,得出点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|,即可得出答案;

  (2)设点C的坐标为(x0,x0+3).根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知,C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2,据此可以求得点C的坐标;

  解答: 解:(1)①∵B为y轴上的一个动点,

  ∴设点B的坐标为(0,y).

  ∵|﹣﹣0|=≠2,

  ∴|0﹣y|=2,

  解得,y=2或y=﹣2;

  ∴点B的坐标是(0,2)或(0,﹣2);

  ②设点B的坐标为(0,y).

  ∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|,

  ∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|=;

  (2)如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,

  则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答,此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.

  即AC=AD,

  ∵C是直线y=x+3上的一个动点,点D的坐标是(0,1),

  ∴设点C的坐标为(x0,x0+3),

  ∴﹣x0=x0+2,

  此时,x0=﹣,

  ∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:|x0|=,

  此时C(﹣,).

  点评: 本题考查了一次函数综合题.对于信息给予题,一定要弄清楚题干中的已知条件.本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键.

  五.解答题(本大题共2个小题,25题12分,26题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

  25.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.

  (1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;

  (2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;

  (3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

  考点: 四边形综合题.

  分析: (1)根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2,求出△ABC的面积;

  (2)作EG∥BC交AB于G,证明△BGE≌△ECF,得到BE=EF;

  (3)作EH∥BC交AB的延长线于H,证明△BHE≌△ECF,得到BE=EF.

  解答: 解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,

  ∴△ABC是等边三角形,又E是线段AC的中点,

  ∴BE⊥AC,AE=AB=1,

  ∴BE=,

  ∴△ABC的面积=×AC×BE=;

  (2)如图2,作EG∥BC交AB于G,

  ∵△ABC是等边三角形,

  ∴△AGE是等边三角形,

  ∴BG=CE,

  ∵EG∥BC,∠ABC=60°,

  ∴∠BGE=120°,

  ∵∠ACB=60°,

  ∴∠ECF=120°,

  ∴∠BGE=∠ECF,

  在△BGE和△ECF中,

  ,

  ∴△BGE≌△ECF,

  ∴EB=EF;

  (3)成立,

  如图3,作EH∥BC交AB的延长线于H,

  ∵△ABC是等边三角形,

  ∴△AHE是等边三角形,

  ∴BH=CE,

  在△BHE和△ECF中,

  ,

  ∴△BHE≌△ECF,

  ∴EB=EF.

  点评: 本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质,正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键.

  26.如图,已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=(x>0)图象的交点,且点A的横坐标为1.

  (1)求k的值;

  (2)如图1,双曲线y=(x>0)上一点M,若S△AOM=4,求点M的坐标;

  (3)如图2所示,若已知反比例函数y=(x>0)图象上一点B(3,1),点P是直线y=x上一动点,点Q是反比例函数y=(x>0)图象上另一点,是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

  考点: 反比例函数综合题.

  分析: (1)点A是直线y=2x+1的点,点A的横坐标为1,代入y=2×1+1=3,求得点A即可得到结果;

  (2)如图1,设点M(m,),过A作AE⊥x轴于E,过M作MF⊥x轴于F,根据题意得:S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4,解方程即可得到结果;

  (3)首先求得反比例函数的解析式,然后设P(m,m),分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标.

  解答: 解:(1)∵点A是直线y=2x+1的点,点A的横坐标为1,

  ∴y=2×1+1=3,

  ∴A(1,3),

  ∵点A是反比例函数y=(x>0)图象上的点,

  ∴k=3;

  (2)如图1,设点M(m,),过A作AE⊥x轴于E,过M作MF⊥x轴于F,

  根据题意得:S△AOM=S梯形AEFM=(3+)(m﹣1)=4,

  解得:m=3(负值舍去),

  ∴M(3,1);

  (3)∵反比例函数y=(x>0)图象经过点A(1,3),

  ∴k=1×3=3,

  ∴反比例函数的解析式为y=,

  ∵点P在直线y=x上,

  ∴设P(m,m)

  ,若PQ为平行四边形的边,

  ∵点A的横坐标比点B的横坐标小2,点A的纵坐标比点B的纵坐标大2,

  ∴点Q在点P的下方,则点Q的坐标为(m+2,m﹣2)如图2,

  若点Q在点P的上方,则点Q的坐标为(m﹣2,m+2)如图3,

  把Q(m+2,m﹣2)代入反比例函数的解析式得:m=±,

  ∵m>0,

  ∴m=,

  ∴Q1(+2,﹣2),

  同理可得另一点Q2(﹣2,+2);

  ②若PQ为平行四边形的对角线,如图4,

  ∵A、B关于y=x对称,

  ∴OP⊥AB

  此时点Q在直线y=x上,且为直线y=x与双曲线y=的交点,

  由

  解得,(舍去)

  ∴Q3(,)

  综上所述,满足条件的点Q有三个,坐标分别为:Q1(+2,﹣2),Q2(﹣2,+2),Q3(,).

  点评: 本题考查了反比例函数的性质,待定系数法求函数的解析式,平行四边形的判定和性质,准确的画出图形是解题的关键.

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