高二数学第一学期期末模拟试题
高二数学第一学期期末模拟试题
数学练习题是所有考生最大的需求点，只有这样才能保证答题的准确率和效率，以下是学习啦小编为您整理的关于高二数学第一学期期末模拟试题的相关资料，供您阅读。
高二数学第一学期期末模拟试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
3.在等差数列{an}中，a5=5，a10=15，则a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=( )
A. B. C. D.
5.函数y=lnx+x在点(1，1)处的切线方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
6.“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)的极值点有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
8.已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
9.经过点(3，﹣ )的双曲线 ﹣ =1，其一条渐近线方程为y= x，该双曲线的焦距为( )
A. B.2 C.2 D.4
10.若函数f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为( )
A.4 B.9 C.18 D.81
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
12.设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，则x+y= .
14.若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为 .
15.已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t= .
16.对于正整数n，设曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an}的前n项和为Sn= .
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an}，公差为2，的前n项和为Sn，且a1，S2，S4成等比数列，
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积.
19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上一点(3，m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程.
20.如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点.
(Ⅰ)求证：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
21.已知函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0，+∞)成立，求实数m的取值范围.
22.曲线C上的动点M到定点F(1，0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1： .
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点F(1，0)的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为 时，求直线l的方程.
高二数学第一学期期末模拟试题参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1.如果a>b>0，那么下列不等式成立的是( )
A.a2>ab B.ab D. >
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论.
【解答】解：∵a>b>0，
∴a2>ab，ab>b2， ，b2
故选：A.
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
2.“∀x∈R，x2﹣2>0”的否定是( )
A.∀x∈R，x2﹣2<0 B.∀x∈R，x2﹣2≤0
C.∃x0∈R，x ﹣2<0 D.∃x0∈R，x ﹣2≤0
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.
【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，
即∃x0∈R，x ﹣2≤0，
故选：D.
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.
3.在等差数列{an}中，a5=5，a10=15，则a15=( )
A.20 B.25 C.45 D.75
【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的第15项.
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a5=5，a10=15，
∴ ，
解得a1=﹣3，d=2，
∴a15=﹣3+14×2=25.
故选：B.
【点评】本题考查等差数列的第15项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用.
4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=3，A=45°，B=60°，则b=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知利用正弦定理即可求值得解.
【解答】解：∵a=3，A=45°，B=60°，
∴由正弦定理可得：b= = = .
故选：B.
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.
5.函数y=lnx+x在点(1，1)处的切线方程是( )
A.2x﹣y﹣1=0 B.2x+y﹣1=0 C.x﹣2y+1=0 D.x+2y﹣1=0
【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可.
【解答】解：函数的导数为f′(x)= +1，
则f′(1)=1+1=2，
即切线斜率k=2，
则函数y=lnx+x在点(1，1)处的切线方程是y﹣1=2(x﹣1)，
即2x﹣y﹣1=0，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数的切线的求解，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键.
6.“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】x2+x+m=0无实根⇔△<0，即可判断出结论.
【解答】解：x2+x+m=0无实根⇔△=1﹣4m<0，⇔m .
∴“m>0”是“x2+x+m=0无实根”的必要不充分条件，
故选：B.
【点评】本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
7.函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图，则f(x)的极值点有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【分析】结合图象，根据导数大于零，即导函数的图象在x轴上方，说明原函数在该区间上是单调递增，否则为减函数，极大值点两侧导数的符号，从左往右，符号相反，因此根据图象即可求得极值点的个数，
【解答】解：结合函数图象，根据极值的定义可知在该点处从左向右导数符号相反，
从图象上可看出符合条件的有3点，
故选：A.
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，以及学生的识图能力.属于基础题.
8.已知数列{an}是递增的等比数列，a1+a5=17，a2a4=16，则公比q=( )
A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2
【分析】设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列，运用等比数列的性质，求得a1=1，a5=16，再由等比数列的通项公式求得公比即可.
【解答】解：设等比数列{an}是公比为q的递增的等比数列，
由a2a4=16，可得a1a5=16，
又a1+a5=17，解得 或 (不合题意，舍去)，
即有q4=16，解得q=2(负的舍去).
故选：D.
【点评】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题.
9.经过点(3，﹣ )的双曲线 ﹣ =1，其一条渐近线方程为y= x，该双曲线的焦距为( )
A. B.2 C.2 D.4
【分析】将点(3，﹣ )代入双曲线的方程，由渐近线方程可得 = ，解得a，b，可得c=2，进而得到焦距2c=4.
【解答】解：点(3，﹣ )在双曲线 ﹣ =1上，可得
﹣ =1，
又渐近线方程为y=± x，一条渐近线方程为y= x，
可得 = ，
解得a= ，b=1，
可得c= =2，
即有焦距为2c=4.
故选：D.
【点评】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用点满足双曲线的方程和渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题.
10.若函数f(x)=x4﹣ax2﹣bx﹣1在x=1处有极值，则9a+3b的最小值为( )
A.4 B.9 C.18 D.81
【分析】求出函数的导数，得到2a+b=4，根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可.
【解答】解：f′(x)=4x3﹣2ax﹣b，
若f(x)在x=1处有极值，
则f′(x)=4﹣2a﹣b=0，
∴2a+b=4，
∴9a+3b=32a+3b≥2 =18，
当且仅当9a=3b时“=”成立，
故选：C.
【点评】本题考查了导数的应用，考查基本不等式的性质，是一道基础题.
11.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值.
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，
则D(0，0，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
=(0，1，1)， =(1，0，1)， =(1，1，0)，
设平面A1BD的法向量 =(x，y，z)，
则 ，取x=1，得 =(1，﹣1，﹣1)，
设直线DC1与平面A1BD所成角为θ，
则sinθ= = = ，
∴cosθ= = .
∴直线DC1与平面A1BD所成角的余弦值为 .
故选：C.
【点评】本题考查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
12.设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，|PF1|=λ|PF2|( ≤λ≤2)，∠F1PF2= ，则椭圆离心率的取值范围为( )
A.(0， ] B.[ ， ] C.[ ， ] D.[ ，1)
【分析】设F1(﹣c，0)，F2(c，0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e2= ，令m=λ+1，可得λ=m﹣1，即有 = =2( ﹣ )2+ ，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围.
【解答】解：设F1(﹣c，0)，F2(c，0)，由椭圆的定义可得，|PF1|+|PF2|=2a，
可设|PF2|=t，可得|PF1|=λt，
即有(λ+1)t=2a①
由∠F1PF2= ，可得|PF1|2+|PF2|2=4c2，
即为(λ2+1)t2=4c2，②
由②÷①2，可得e2= ，
令m=λ+1，可得λ=m﹣1，
即有 = =2( ﹣ )2+ ，
由 ≤λ≤2，可得 ≤m≤3，即 ≤ ≤ ，
则m=2时，取得最小值 ;m= 或3时，取得最大值 .
即有 ≤e2≤ ，解得 ≤e≤ .
故选：B.
【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的范围，同时考查不等式的解法，属于中档题.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.
13.已知 =(2，3，1)， =(x，y，2)，若 ∥ ，则x+y= 10 .
【分析】根据向量的共线定理，列出方程组求出x、y的值，再计算x+y的值.
【解答】解：∵ =(2，3，1)， =(x，y，2)，且 ∥ ，
∴ = = ，
解得x=4，y=6;
∴x+y=10.
故答案为：10.
【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题.
14.若变量x，y满足约束条件 ，则z=x﹣2y的最小值为 ﹣2 .
【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y= x可得结论.
【解答】解：作出约束条件 所对应的可行域(如图△ABC)，
变形目标函数可得y= x﹣ z，平移直线y= x可知，
当直线经过点A( ， )时，直线的截距最大，z取最小值﹣2，
故答案为：﹣2.
【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题.
15.已知在观测点P处测得在正东方向A处一轮船正在沿正北方向匀速航行，经过1小时后在观测点P测得轮船位于北偏东60°方向B处，又经过t小时发现该轮船在北偏东45°方向C处，则t= .
【分析】设轮船的速度为v，求出BC，即可得出结论.
【解答】解：设轮船的速度为v，则AB=v，PA=AC= v，
∴BC=( ﹣1)v，
∴t= = .
故答案为： .
【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
16.对于正整数n，设曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列{an}的前n项和为Sn= 2n+2﹣4 .
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程为y=﹣2n(x﹣2)，从而得到an=2n+1，利用等比数列的求和公式能求出Sn.
【解答】解：∵y=xn(2﹣x)，∴y'=2nxn﹣1﹣(n+1)xn，
∴曲线y=xn(2﹣x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣(n+1)2n=﹣2n，
切点为(2，0)，
∴切线方程为y=﹣2n(x﹣2)，
令x=0得an=2n+1，
∴Sn= =2n+2﹣4，
故答案为：2n+2﹣4.
【点评】考查学生利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及利用等比数列的求和公式进行数列求和的能力.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列{an}，公差为2，的前n项和为Sn，且a1，S2，S4成等比数列，
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
【分析】(1))由a1，S2，S4成等比数列得 .化简解得a1，再利用等差数列的通项公式即可得出;
(2)利用“裂项求和”即可得出.
【解答】解：(1))由a1，S2，S4成等比数列得 .
化简得 ，又d=2，解得a1=1，
故数列{an}的通项公式 …
(2)∵ ∴由(1)得 ，
∴ = ….
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
18.△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知(a+c)2﹣b2=3ac
(1)求角B;
(2)当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积.
【分析】(1)由余弦定理变形已知式子可得cosB的值，可得B值;
(2)由题意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值，可得三角形为直角三角形，由面积公式可得.
【解答】解：(1)∵(a+c)2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，
∴ac=a2+c2﹣b2，∴
∵B∈(0，π)，∴ ;
(2)∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，
代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，
解得 ， ，满足a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的面积S= ×2 ×6=6 .
【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题.
19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，C上一点(3，m)到焦点的距离为5.
(1)求C的方程;
(2)过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为﹣1，求直线l的方程.
【分析】(1)利用抛物线的定义，求出p，即可求C的方程;
(2)利用点差法求出直线l的斜率，即可求直线l的方程.
【解答】解：(1)抛物线C：y2=2px(p>0)的准线方程为 ，
由抛物线的定义可知
解得p=4
∴C的方程为y2=8x.
(2)由(1)得抛物线C的方程为y2=8x，焦点F(2，0)
设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减.整理得
∵线段AB中点的纵坐标为﹣1
∴直线l的斜率
直线l的方程为y﹣0=﹣4(x﹣2)即4x+y﹣8=0
【点评】本题考查抛物线的定义与方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
20.如图，在多面体ABCDE中，∠BAC=90°，AB=AC=2，CD=2AE=2，AE∥CD，且AE⊥底面ABC，F为BC的中点.
(Ⅰ)求证：AF⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【分析】(1)推导出AF⊥BC，从而AF⊥DC，进而AF⊥面BCD，由此能证明AF⊥BD.
(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣D的余弦值.
【解答】证明：(1)∵AB=AC，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，又AE∥CD，且AE⊥底面ABC，AF⊂底面ABC，
∴AF⊥DC，又BC∩DC=C，且BC、DC⊂面BCD，
∴AF⊥面BCD，又BD⊂面BCD，∴AF⊥BD.…
解：(2)以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AE为z轴，建立空间直角坐标系如图，
∴B(2，0，0)，D(0，2，2)，E(0，0，1)，
， ，
设面BED的一个法向量为 ，
则 ，令z=2得x=1，y=﹣1，∴ ，
又面ABE的一个法向量为 ，
∴ ，
∵二面角A﹣BE﹣D的平面角是锐角，
∴二面角A﹣BE﹣D的余弦值为 .…
【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.
21.已知函数f(x)=ax2+bx在x=1处取得极值2.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0，+∞)成立，求实数m的取值范围.
【分析】(Ⅰ)根据极值的定义得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，从而求出f(x)的表达式;
(Ⅱ)问题等价于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立，设h(x)=xex﹣x2﹣2x，根据函数的单调性求出m的范围即可.
【解答】解：(Ⅰ)∵函数f(x)=ax3+bx在x=1处取得极值2，
∴ ，解得 ，
∴f(x)=﹣x3+3x…
(Ⅱ)∵(m+3)x﹣x2ex+2x2≤f(x)对于任意的x∈(0，+∞)成立，
∴(m+3)x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x
⇔m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈(0，+∞)成立
设h(x)=xex﹣x2﹣2x，
则h′(x)=ex+xex﹣2x﹣2=(x+1)(ex﹣2)，
令h′(x)=0解得x=ln2，
且当0
当x>ln2时，h′(x)>0，
∴h(x)=xex﹣x2﹣2x在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，+∞)上单调递增，
∴ ，
∴m≤﹣(ln2)2.
【点评】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题.
22.曲线C上的动点M到定点F(1，0)的距离和它到定直线x=3的距离之比是1： .
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点F(1，0)的直线l与C交于A，B两点，当△ABO面积为 时，求直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)设M(x，y)，运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简整理即可得到所求方程;
(Ⅱ)当l斜率不存在时，l方程为x=1，求得A，B的坐标，以及△ABO的面积;由直线l斜率存在，设l方程为y=k(x﹣1)，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，解方程可得斜率k，进而得到所求直线的方程.
【解答】解：(Ⅰ)设M(x，y)
由题意可得， ，
整理得 ，
则曲线C的方程为 ;
(Ⅱ)当l斜率不存在时，l方程为x=1，
此时l与C的交点分别为 ， ，
即有 ，
则 ，
由直线l斜率存在，设l方程为y=k(x﹣1)，
由 ，
得 ， ，
∴ .
设O到l的距离为d，则 ，
∴ ，
解得k=±1.
综上所述，当△ABO面积为 时，l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用坐标法，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.
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