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2017年高考数学平面向量必考知识点

学习啦【高三数学】 编辑:舒雯 发布时间:2016-12-06 14:16:36

  平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量,物理学中也称作矢量,与之相对的是只有大小、没有方向的数量。以下是学习啦小编为您整理的关于2017年高考数学平面向量必考知识点的相关资料,希望对您有所帮助。

  高考数学必考知识点平面向量概念:

  (1)向量:既有大小又有方向的量。向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

  (2)零向量:长度为0的向量,记为0,其方向是任意的,0与任意向量平行。

  (3)单位向量:模为1个单位长度的向量

  (4)平行向量:方向相同或相反的非零向量

  (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量

  高考数学必考知识点平面向量数量积解析

  1、平面向量数量积:已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积,记作a·b。零向量与任意向量的数量积为0。数量积a·b的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。

  两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2

  2、平面向量数量积具有以下性质:

  1、a·a=|a|2≥0

  2、a·b=b·a

  3、k(a·b)=(ka)b=a(kb)

  4、a·(b+c)=a·b+a·c

  5、a·b=0<=>a⊥b

  6、a=kb<=>a//b

  7、e1·e2=|e1||e2|cosθ

  高考数学必考知识点平面向量加法解析

  已知向量AB、BC,再作向量AC,则向量AC叫做AB、BC的和,记作AB+BC,即有:AB+BC=AC。

  注:向量的加法满足所有的加法运算定律,如:交换律、结合律。

  高考数学必考知识点平面向量减法解析

  1、AB-AC=CB,这种计算法则叫做向量减法的三角形法则,简记为:共起点、指被减。

  -(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;a-b=a+(-b)。

  平面向量公式汇总

  1、定比分点

  定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)

  设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。

  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有

  OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)

  x=(x1+λx2)/(1+λ),

  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)

  我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

  2、三点共线定理

  若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线

  三角形重心判断式

  在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心

  [编辑本段]向量共线的重要条件

  若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。

  a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。

  零向量0平行于任何向量。

  [编辑本段]向量垂直的充要条件

  a⊥b的充要条件是 a?b=0。

  a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0。

  零向量0垂直于任何向量.

  设a=(x,y),b=(x',y')。

  3、向量的加法

  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

  AB+BC=AC。

  a+b=(x+x',y+y')。

  a+0=0+a=a。

  向量加法的运算律:

  交换律:a+b=b+a;

  结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

  4、向量的减法

  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0

  AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”

  a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').

  5、数乘向量

  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。

  当λ>0时,λa与a同方向;

  当λ<0时,λa与a反方向;

  当λ=0时,λa=0,方向任意。

  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。

  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。

  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

  当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

  当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

  数与向量的乘法满足下面的运算律

  结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。

  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.

  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.

  数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

  6、向量的的数量积

  定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π

  定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣。

  向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x'+y?y'。

  向量的数量积的运算律

  a?b=b?a(交换律);

  (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);

  (a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

  向量的数量积的性质

  a?a=|a|的平方。

  a⊥b 〈=〉a?b=0。

  |a?b|≤|a|?|b|。

  7、向量的数量积与实数运算的主要不同点

  (1)向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。

  (2)向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。

  (3)|a?b|≠|a|?|b|

  (4)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。

  8、向量的向量积

  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。

  (1)向量的向量积性质:

  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。

  a×a=0。

  a‖b〈=〉a×b=0。

  (2)向量的向量积运算律

  a×b=-b×a;

  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

  (a+b)×c=a×c+b×c.

  注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。

  (3)向量的三角形不等式

  ∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

  ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;

  ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。

  ∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。

  ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;

  ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
 

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