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初三数学第一次月考试卷(2)

时间: 郑晓823 分享

初三数学第一次月考试卷

  三、解答题(共11题,共88分)

  17.解方程:

  (1)2x2﹣5x+2=0.

  (2)2(x+3)2=x+3.

  考点:解一元二次方程-因式分解法.

  分析:(1)利用因式分解法求得方程的解即可;

  (2)移项,利用提取公因式法分解因式解方程即可.

  解答: 解:(1)2x2﹣5x+2=0

  (2x﹣1)(x﹣2)=0

  x﹣2=0,2x﹣1=0,

  解得x1=2,x2= ;

  (2)2(x+3)2=x+3

  2(x+3)2﹣(x+3)=0

  (x+3)(2x+6﹣1)=0

  x+3=0,2x+5=0,

  解得x1=﹣3;x2=﹣ .

  点评:此题考查用因式分解法解一元二次方程,掌握解方程的步骤与方法是解决问题的关键.

  18.(1)化简:( )2+|1﹣ |﹣( )﹣1

  (2)解不等式组: .

  考点:实数的运算;负整数指数幂;解一元一次不等式组.

  专题:计算题.

  分析:(1)原式第一项利用算术平方根定义计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果;

  (2)分别求出不等式组中两不等式的解集,找出解集的公共部分即可.

  解答: 解:(1)原式=3+ ﹣1﹣2= …

  (2) ,

  由①得:x≤3;由②得:x>1,

  则不等式组的解集为1

  点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

  19.计算或化简:

  (1) ﹣ + ;

  (2)先化简( ﹣ )÷ ,然后从 ,0,1,﹣1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.

  考点:分式的化简求值;二次根式的加减法.

  专题:计算题.

  分析:(1)原式各项化为最简二次根式,合并即可得到结果;

  (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,将x= 代入计算即可得到结果.

  解答: 解:(1)原式=3 ﹣2 +3 = +3 ;

  (2)原式= • = ,

  当x= 时,原式= =2 .

  点评:此题考查了分式的化简求值,以及二次根式的加减法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

  20.在平面直角坐标系中,一段圆弧经过格点A、B、C.

  (1)请写出该圆弧所在圆的圆心O的坐标(2,﹣1);

  (2)⊙O的半径为2 (结果保留根号);

  (3)求 的长(结果保留π).

  考点:垂径定理;坐标与形性质;勾股定理;弧长的计算.

  专题:计算题.

  分析:(1)连接AB,BC,分别作出这两条弦的垂直平分线,两垂直平分线交于点D,即为所求圆心,由形即可得到D的坐标;

  (2)由FD=CG,AF=DG,且夹角为直角相等,利用SAS可得出三角形ADF与三角形DCG全等,由全等三角形的对应角相等得到一对角相等,再由同角的余角相等得到∠ADC为直角,利用弧长公式即可求出 的长.

  解答: 解:(1)连接AB,BC,分别作出AB与BC的垂直平分线,交于点D,即为圆心,由形可得出D(2,﹣1);

  (2)在Rt△AED中,AE=2,ED=4,

  根据勾股定理得:AD= =2 ;

  (3)∵DF=CG=2,∠AFD=∠DGC=90°,AF=DG=4,

  ∴△AFD≌△D GC(SAS),

  ∴∠ADF=∠DCG,

  ∵∠DCG+∠CDG=90°,

  ∴∠ADF+∠CDG=90°,即∠ADC=90°,

  则 的长l= = π.

  故答案为:(1)(2,﹣1);(2)2

  点评:此题考查了垂径定理,勾股定理,坐标与形性质,以及弧长公式,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

  21.已知方程5x2+mx﹣10=0的一根是﹣5,求方程的另一根及m的值.

  考点:根与系数的关系;一元二次方程的解.

  分析:设方程的另一个根为t,先利用两根之积为﹣2求出t,然后利用两根之和为﹣ 可计算出m的值.

  解答: 解:设方程的另一个根为t,

  根据题意得﹣5+t=﹣ ,﹣5t=﹣2,

  解得t= ,

  则m=﹣25+5t=﹣23,

  即m的值为﹣23,方程的另一根为 .

  点评:本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=﹣ ,x1x2= .也考查了一元二次方程解的定义.

  22. AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为C,交⊙O于点D,点E在⊙O上.

  (1)若∠AOD=52°,求∠DEB的度数;

  (2)若OC=3,OA=5,求AB的长.

  考点:垂径定理;勾股定理;圆周角定理.

  分析:(1)根据垂径定理,得到 = ,再根据圆周角与圆心角的关系,得知∠E= ∠O,据此即可求出∠DEB的度数;

  (2)由垂径定理可知,AB=2AC,在Rt△AOC中,OC=3,OA=5,由勾股定理求AC即可.

  解答: 解:(1)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,

  ∴ = ,∴ ∠DEB= ∠AOD= ×52°=26°;

  (2)∵AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,

  ∴AC=BC,即AB=2AC,

  在Rt△AOC中,AC= = =4,

  则AB=2AC=8.

  点评:本题考查了垂径定理,勾股定理及圆周角定理.关键是由垂径定理得出相等的弧,相等的线段,由垂直关系得出直角三角形,运用勾股定理.

  23.把长为40cm,宽30cm的长方形硬纸板,剪掉2个小正方形和2个小长方形(阴影部分即剪掉的部分),将剩余的部分拆成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为xcm(纸板的厚度忽略不计)

  (1)长方体盒子的长、宽、高分别为多少?(单位:cm)

  (2)若折成的一个长方体盒于表面积是950cm2,求此时长方体盒子的体积.

  考点:一元二次方程的应用.

  专题:几何形问题.

  分析:(1)根据所给出的形可直接得出长方体盒子的长、宽、高;

  (2)根据示,可得2( x2+20x)=30×40﹣950,求出x的 值,再根据长方体的体积公式列出算式,即可求出答案.

  解答: 解:(1)长方体盒子的长是:(30﹣2x)cm;

  长方体盒子的宽是(40﹣2x)÷2=20﹣x(cm)

  长方体盒子的高是xcm;

  (2)根据示,可得2(x2+20x)=30×40﹣950,

  解得x1=5,x2=﹣25(不合题意,舍去),

  长方体盒子的体积V=(30﹣2×5)×5×=20×5×15=1500(cm3).

  答:此时长方体盒子的体积为1500cm3.

  点评:此题考查了一元二次方程的应用,用到的知识点是长方体的表面积和体积公式,关键是根据形找出等量关系列出方程,要注意把不合题意的解舍去.

  24.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=120°.

  (1)求作⊙O,使:圆心O在AB上,且⊙O经过点A和点C(尺规作,保留作痕迹,不写作法)

  (2)判断BC与⊙O的位置关系, 并说明理由.

  考 点:作—复杂作;直线与圆的位置关系.

  专题:作题.

  分析:(1)作AC的垂直平分线交AB于点O,再以OA为圆心作⊙O即可;

  (2)连结OC,先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出∠A=∠B=30°,则∠OCA=∠A=30°,于是可 得到∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=90°,然后根据切线的判定定理可判断BC与⊙O相切.

  解答: 解:(1)⊙O为所求作;

  (2)BC与⊙O相切.理由如下:

  连接BC,

  ∵AC=BC,∠ACB=120°

  ∴∠A=∠B=30°,

  ∵OA=OC,

  ∴∠OCA=∠A=30°,

  ∴∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=120°﹣30°=90°,

  ∴OC⊥BC,

  ∵OC是半径

  ∴BC与⊙O相切.

  点评:本题考查了作﹣复杂作:复杂作是在五种基本作的基础上进行作,一般是结合了几何形的性质和基本作方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何形的性质,结合几何形的基本性质把复杂作拆解成基本作,逐步操作.也考查了直线与圆的位置关系.

  25.某商场以每件280元的价格购进一批商品,当每件商品售价为360元时,每月可售出60件,为了扩大销售,商场决定采取适当降价的方式促销,经调查发现,如果每件商品降价1元,那么商场每月就可以多售出5件.

  (1)降价前商场每月销售该商品的利润是多少元?

  (2)要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价多少元?

  考点:一元 二次方程的应用.

  专题:销售问题.

  分析:(1)先求出每件的利润.在乘以每月销售的数量就可以得出每月的总利润;(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价x元,由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可.

  解答: 解:(1)由题意,得60(360﹣280)=4800元.答:降价前商场每月销售该商品的利润是4800元;(2)设要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价x元,由题意,得(360﹣x﹣280)(5x+60)=7200,解得:x1=8,x2=60∵有利于减少库存,

  ∴x=60.

  答:要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价60元.

  点评:本题考查了销售问题的数量关系利润=售价﹣进价的运用,列一元 二次方程解实际问题的运用,解答时根据销售问题的数量关系建立方程是关键.

  26.已知,AB、AC是⊙O得切线,B、C是切点,过 上的任意一点P作⊙O的切线与AB、AC分别交于点D、E

  (1)连接OD和OE,若∠A=50°,求∠DOE的度数.

  (2)若AB=7,求△ADE的周长.

  考点:切线的判定与性质;切线长定理.

  分析:(1)连接OB,OC,OD,OP,OE,根据切线的性质和切线长定理得到OB⊥AB,OC⊥AC,OP⊥DE,DB=DP,EP=EC,AB=AC,于是求得∠OBA=∠OCA=90°,由于∠A=50°,求出∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°,根据OB⊥AB,OP⊥DE,DB=DP,得到OD平分∠BOP,同理得OE平分∠POC,即可得到结论;

  (2)根据切线长定理得到DB=DP,EP=EC,AB=AC,由等量代换即可得到结果.

  解答: 解:(1)连接OB,OC,OD,OP,OE,

  ∵AB,AC,DE分别与⊙O相切,OB,OC,OP是⊙O的半径,

  ∴OB⊥AB,OC⊥AC,OP⊥DE,DB=DP,EP=EC,AB=AC,

  ∴∠OBA=∠OCA=90 °,

  ∵∠A=50°,

  ∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣50° =130°,

  ∵OB⊥AB,OP⊥DE,DB=DP,

  ∴OD平分∠BOP,

  同理得:OE平分∠POC,

  ∴∠DOE=∠DOP+∠EOP= (∠ BOP+∠POC)= ∠BOC=65°,

  (2)∵DB=DP,EP=EC,AB=AC,

  ∴△ADE的周长=AD+DE+AE

  =AD+DP+EP+AE

  =AD+BD+AE+EC

  =AB+AC

  =2AB=14.

  点评:本题考查的是切线长定理,切线长定理提供了很多等线段,分析形时关键是要仔细探索,找出形的各对相等切线长.

  27.配方法不仅可以用来解一元二次方程,还可以用来解决很多问题.

  例如:因为3a2≥0,所以3a2﹣1≥﹣1,即:3a2﹣1就有最小值﹣1.只有当a=0时,才能得到这个式子的最小值﹣1.同样,因为﹣3a2≤0.所以﹣3a2+1≤1,即:﹣3a2+1就有最大值1,只有当a=0时,才能得到这个式子的最大值1.

  (1)当x=﹣1时,代数式﹣2(x+1)2﹣1有最大值(填“大”或“小”值为﹣1.

  (2)当x=﹣1时,代数式 2x2+4x+1有最小值(填“大”或“小”)值为﹣1.

  (3)矩形自行车场地ABCD一边靠墙(墙长10m),在AB和BC边各开一个1米宽的小门(不用木板),现有能围成14m长的木板,当AD长为多少时,自行车场地的面积最大?最大面积是多少?

  考点:配方法的应用.

  专题:几何形问题.

  分析:(1)类比例子得出答案即可;

  (2)根据题意利用配方法配成(1)中的类型,进一步确定最值即可;

  (3)根据题意利用长方形的面积列出式子,利用(1)(2)的方法解决问题.

  解答: 解:(1)因为(x+1)2≥0,

  所以﹣2(x+1)2≤0,即﹣2(x+1)2﹣1就有最大值﹣1.

  只有当x=﹣1时,才能得到这个式子的最大值﹣1.

  故答案是:﹣1,大,﹣1;

  (2)2x2+4x+1=2(x+1)2+1,

  所以当x=﹣1

  时,代数式 2x2+4x+1有最小值为﹣1.

  故答案是:﹣1,小,﹣1;

  (3)设AD=x,

  S=x(16﹣2x)=﹣2(x﹣4)2+32,

  当AD=4m时,面积最大值为32m2.

  点评:此题考查配方法的运用,理解题意,类比给出的方法得出答案即可,渗透二次函数的最值.


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