山东烟台高三一模考试数学试卷(2)
山东烟台高三一模考试数学试卷
山东烟台高三一模考试数学试卷答案
一、选择题：本大题共10小题;每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上.
1.已知集合A={x|0
A.[0，1) B.(0，1) C.[1，3) D.(1，3)
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】求出B中x的范围确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的交集即可.
【解答】解：由y= ，得到x2﹣1≥0，
解得：x≥1或x≤﹣1，即B=(﹣∞，﹣1]∪[1，+∞)，
∵全集为R，A=(0，3)，
∴∁RB=(﹣1，1)，
则A∩(∁RB)=(0，1).
故选：B.
2.复数z满足 =i(i为虚数单位)，则 =( )
A.1+i B.1﹣i C. D.
【考点】复数代数形式的混合运算.
【分析】设出复数z，利用复数相等的充要条件求解即可.
【解答】解：复数z满足 =i，设z=a+bi，
可得：a+bi=(a+bi﹣i)i，
可得： ，解得a=b= ，
∴ = .
故选：D.
3.记集合A={(x，y)|x2+y2≤16}，集合B={(x，y)|x+y﹣4≤0，(x，y)∈A}表示的平面区域分别为Ω1，Ω2.若在区域Ω1内任取一点P(x，y)，则点P落在区域Ω2中的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】由题意，根据几何概型的公式，只要求出平面区域Ω1，Ω2的面积，利用面积比求值.
【解答】解：由题意，两个区域对应的图形如图，
其中 ， ，
由几何概型的公式可得点P落在区域Ω2中的概率为 ;
故选B.
4.不等式|x﹣3|+|x+1|>6的解集为( )
A.(﹣∞，﹣2) B.(4，+∞) C.(﹣∞，﹣2)∪(4，+∞) D.(﹣2，4)
【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】分类讨论，利用绝对值的几何意义，即可得出结论.
【解答】解：x<﹣1时，﹣x+3﹣x﹣1>6，∴x<﹣2，∴x<﹣2;
﹣1≤x≤3时，﹣x+3+x+1>6，不成立;
x>3时，x﹣3+x+1>6，∴x>4，
∴所求的解集为(﹣∞，﹣2)∪(4，+∞).
故选：C.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为( )
A.1：3π B. C. D.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知该几何体是一个三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，根据对应的正方体求出外接球的半径，由柱体、球体的体积公式求出该几何体的体积与其外接球的体积之比.
【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱柱A′B′D′﹣ABD，如图：
底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2、高为2，
∴几何体的体积V=sh= =4，
由图得，三棱柱A′B′D′﹣ABD与正方体A′B′C′D′﹣ABCD的外接球相同，且正方体的棱长为2，
∴外接球的半径R= = ，
则外接球的体积V′= = ，
∴该几何体的体积与其外接球的体积之比为 = ，
故选：D.
6.△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2 且| |=| |，则向量 在向量 方向上的投影为( )
A. B. C.﹣ D.﹣
【考点】平面向量数量积的含义与物理意义.
【分析】利用向量加法的几何意义 得出△ABC是以A为直角的直角三角形.由题意画出图形，借助图形求出向量 在向量 方向上的投影.
【解答】解：∵2 ，
∴2 + + = ，
∴ + + + = ，
∴ ，
∴O，B，C共线为直径，
∴AB⊥AC
∵| |=| |，△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，
∴| |=| |=1，∴| |=2，
∴如图，| |=1，| |=2，∠A=90°，∠B=60°，
∴向量 在向量 方向上的投影为| |cos60°= .
故选A.
7.已知定义在R上的函数f(x)满足：y=f(x﹣1)的图象关于(1，0)点对称，且当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)=ex﹣1，则f=( )
A.1﹣e B.e﹣1 C.﹣1﹣e D.e+1
【考点】函数恒成立问题.
【分析】根据图象的平移可知y=f(x)的图象关于(0，0)点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x≥0时，函数为周期为2的周期函数，可得f=f(0)﹣f(1)，求解即可.
【解答】解：∵y=f(x﹣1)的图象关于(1，0)点对称，
∴y=f(x)的图象关于(0，0)点对称，
∴函数为奇函数，
∵当x≥0时恒有f(x+2)=f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)=ex﹣1，
∴f
=f
=f(0)﹣f(1)
=0﹣(e﹣1)
=1﹣e，
故选A.
8.执行如图所示的程序框图，若输出的S=18，则判断框内应填入的条件是( )
A.k>2? B.k>3? C.k>4? D.k>5?
【考点】程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案.
【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：
k S 是否继续循环
循环前 1 0
第一圈 2 2 是
第二圈 3 7 是
第三圈 4 18 否
故退出循环的条件应为k>3?
故选：B.
9.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ< )个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min= ，则φ=( )
A. B. C. D.
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可.
【解答】解：因为将函数f(x)=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ(0<φ< )个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min= ，
不妨x1= ，x2= ，即g(x)在x2= ，取得最小值，sin(2× ﹣2φ)=﹣1，此时φ= ，不合题意，
x1= ，x2= ，即g(x)在x2= ，取得最大值，sin(2× ﹣2φ)=1，此时φ= ，满足题意.
故选：D.
10.已知f(x)为定义在(0，+∞)上的单调递增函数，对任意x∈(0，+∞)，都满足f[f(x)﹣log2x]=3，则函数y=f(x)﹣f′(x)﹣2(f′(x)为f(x)的导函数)的零点所在区间是( )
A. B. C.(1，2) D.(2，3)
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】设t=f(x)﹣log2x，则f(x)=log2x+t，又由f(t)=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f(x)的解析式，由二分法分析可得h(x)的零点所在的区间为(1，2).
【解答】解：根据题意，对任意的x∈(0，+∞)，都有f[f(x)﹣log2x]=3，
又由f(x)是定义在(0，+∞)上的单调递增函数，
则f(x)﹣log2x为定值，
设t=f(x)﹣log2x，则f(x)=log2x+t，
又由f(t)=3，即log2t+t=3，
解可得，t=2;
则f(x)=log2x+2，f′(x)= ，
将f(x)=log2x+2，f′(x)= 代入f(x)﹣f′(x)=2，
可得log2x+2﹣=2，
即log2x﹣ =0，
令h(x)=log2x﹣ ，
分析易得h(1)= <0，h(2)=1﹣ >0，
则h(x)的零点在(1，2)之间，
故选：C.
二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
11.已知100名学生某月饮料消费支出情况的频率分布直方图如图所示.则这100名学生中，该月饮料消费支出超过150元的人数是 30 .
【考点】频率分布直方图.
【分析】根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，即可求出正确的结果.
【解答】解：根据频率分布直方图，得;
消费支出超过150元的频率(0.004+0.002)×50=0.3，
∴消费支出超过150元的人数是100×0.3=30.
故答案为：30.
12.已知a= sinxdx则二项式(1﹣ )5的展开式中x﹣3的系数为 ﹣80 .
【考点】二项式定理;定积分.
【分析】利用积分求出a的值，然后求解二项展开式所求项的系数.
【解答】解：a= sinxdx=﹣cosx =﹣(cosπ﹣cos0)=2.
二项式(1﹣ )5的展开式中x﹣3的系数为： ，
故答案为：﹣80.
13.若变量x，y满足约束条件 ，且z=2x+y的最小值为﹣6，则k= ﹣2 .
【考点】简单线性规划.
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定k的值即可.
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，(阴影部分)
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小.
目标函数为2x+y=﹣6，
由 ，解得 ，
即A(﹣2，﹣2)，
∵点A也在直线y=k上，
∴k=﹣2，
故答案为：﹣2.
14.已知双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x的公共焦点为F，其中一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为 2 .
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】由已知条件推导出设双曲线方程为 ，且过P(3， )，由此能求出双曲线的离心率.
【解答】解：∵双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x的公共焦点为F，
∴双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2，0)，
∵双曲线 ﹣ =1与抛物线y2=8x的一个交点为P，|PF|=5，
∴xP=5﹣2=3，yP= = ，
∴设双曲线方程为 ，
把P(3， )代入，得
解得a2=1，或a2=36(舍)，
∴e= =2.
故答案为：2.
15.设函数f(x)= ，若函数y=2[f(x)]2+2bf(x)+1有8个不同的零点，则实数b的取值范围是 (﹣ ，﹣ ) .
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】由题意可得即要求对应于f(x)=某个常数k，有2个不同的k，每一个常数可以找到4个x与之对应，就出现了8个不同实数解.故先根据题意作出f(x)的简图，由图可知，只有满足条件的k在开区间(0，1)时符合题意.再根据一元二次方程根的分布理论可得b的不等式，可以得出答案.
【解答】解：根据题意作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)∈(0，1)时，
函数有四个不同零点.
若方程2f2(x)+2bf(x)+1=0有8个不同实数解，令k=f(x)，
则关于k的方程2k2+2bk+1=0有两个不同的实数根k1、k2，且k1和k2均为大于0且小于1的实数.
即有k1+k2=﹣b，k1k2= .
故： ，即 ，
可得﹣
故答案为：(﹣ ，﹣ ).
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.
16.已知函数 .
(1)求函数y=f(x)在区间 上的最值;
(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足 ，f(C)=1，且sinB=2sinA，求a、b的值.
【考点】正弦定理;三角函数中的恒等变换应用;余弦定理.
【分析】(1)展开两角和与差的正弦、余弦，然后利用辅助角公式化积，结合x的范围求得函数的最值;
(2)由f(C)=1求得C值，再由正弦定理把已知等式化角为边，结合余弦定理求得a、b的值.
【解答】解：(1)∵
=
= +sin2x﹣cos2x
=
= .
∵ ，∴2x﹣ ，
∴f(x)在2x﹣ =﹣ ，即x=﹣ 时，取最小值 ;
在2x﹣ = 时，即x= 时，取最大值1;
(2)f(C)=sin(2C﹣ )=1，
∵0
∴ ，则 ，C= .
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理得：b=2a，①
由余弦定理得： ，
即c2=a2+b2﹣ab=3，②
解①②得：a=1，b=2.
17.设函数 ，数列{an}满足 ，n∈N*，且n≥2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对n∈N*，设 ，若 恒成立，求实数t的取值范围.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(1)通过代入计算可知an﹣an﹣1= (n≥2)，进而可知数列{an}是首项为1、公差为 的等差数列，计算即得结论;
(2)通过(1)裂项可知 = ( ﹣ )，进而并项相加可知Sn= ，问题转化为求 的最小值，通过令g(x)= (x>0)，求导可知g(x)为增函数，进而计算可得结论.
【解答】解：(1)依题意，an﹣an﹣1= (n≥2)，
又∵a1=1，
∴数列{an}是首项为1、公差为 的等差数列，
故其通项公式an=1+ (n﹣1)= ;
(2)由(1)可知an+1= ，
∴ = ( ﹣ )，
∴
= ( ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= ，
恒成立等价于 ≥ ，即t≤ 恒成立.
令g(x)= (x>0)，则g′(x)= >0，
∴g(x)= (x>0)为增函数，
∴当n=1时 取最小值 ，
故实数t的取值范围是(﹣∞， ].
18.某集成电路由2个不同的电子元件组成.每个电子元件出现故障的概率分别为 .两个电子元件能否正常工作相互独立，只有两个电子元件都正常工作该集成电路才能正常工作.
(1)求该集成电路不能正常工作的概率;
(2)如果该集成电路能正常工作，则出售该集成电路可获利40元;如果该集成电路不能正常工作，则每件亏损80元(即获利﹣80元).已知一包装箱中有4块集成电路，记该箱集成电路获利x元，求x的分布列，并求出均值E(x).
【考点】离散型随机变量的期望与方差;互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)记“该集成电路不正常工作”为事件A，利用对立事件概率计算公式能求出该集成电路不能正常工作的概率.
(2)由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX.
【解答】解：(1)记“该集成电路不正常工作”为事件A，
则P(A)=1﹣(1﹣ )×(1﹣ )= ，
∴该集成电路不能正常工作的概率为 .
(2)由已知，可知X的取值为﹣320，﹣200，﹣80，40，160，
P(X=﹣320)=( )2= ，
P(X=﹣200)= ，
P(X=﹣80)= = ，
P(X=40)= = ，
P(X=160)=( )4= ，
∴X的分布列为：
X ﹣320 ﹣200 ﹣80 40 160
P
∴EX= 160× =40.
19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE﹣BCF和一个正四棱锥P﹣ABCD组合而成，AD⊥AF，AE=AD=2.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE;
(2)求正四棱锥P﹣ABCD的高h，使得二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
【考点】二面角的平面角及求法;平面与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)证明：AD⊥平面ABFE，即可证明平面PAD⊥平面ABFE;
(Ⅱ)建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法建立方程关系即可求正四棱锥P﹣ABCD的高.
【解答】(Ⅰ)证明：直三棱柱ADE﹣BCF中，AB⊥平面ADE，
所以：AB⊥AD，又AD⊥AF，
所以：AD⊥平面ABFE，AD⊂平面PAD，
所以：平面PAD⊥平面ABFE….
(Ⅱ)∵AD⊥平面ABFE，∴建立以A为坐标原点，AB，AE，AD分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
设正四棱锥P﹣ABCD的高为h，AE=AD=2，
则A(0，0，0)，F(2，2，0)，C(2，0，2)，
=(2，2，0)， =(2，0，2)， =(1，﹣h，1)，
=(x，y，z)是平面AFC的法向量，则 ，
令x=1，则y=z=﹣1，即 =(1，﹣1，﹣1)，
设 =(x，y，z)是平面ACP的法向量，
则 ，令x=1，则y=﹣1，z=﹣1﹣h，即 =(1，﹣1，﹣1﹣h)，
∵二面角C﹣AF﹣P的余弦值是 .
∴cos< ， >= = = .
得h=1或h=﹣ (舍)
则正四棱锥P﹣ABCD的高h=1.
20.已知函数f(x)=eax(其中e=2.71828…)， .
(1)若g(x)在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围;
(2)当 时，求函数g(x)在[m，m+1](m>0)上的最小值.
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】(1)根据函数的单调性得到a≥ 在x∈[1，+∞)上恒成立，而 ≤1，从而求出a的范围即可;
(2)将a的值代入g(x)，通过讨论m的范围，判断出g(x)的单调性，从而求出对应的g(x)的最小值即可.
【解答】解：(1)由题意得g(x)= = 在[1，+∞)上是增函数，
故 = ≥0在[1，+∞)上恒成立，
即ax﹣1≥0在[1，+∞)恒成立，
a≥ 在x∈[1，+∞)上恒成立，而 ≤1，
∴a≥1;
(2)当a= 时，g(x)= ，g′(x)= ，
当x>2时，g′(x)>0，g(x)在[2，+∞)递增，
当x<2且x≠0时，g′(x)<0，即g(x)在(0，2)，(﹣∞，0)递减，
又m>0，∴m+1>1，
故当m≥2时，g(x)在[m，m+1]上递增，此时，g(x)min=g(m)= ，
当1
当0
综上，当0
21.已知椭圆C： =1，点M(x0，y0)是椭圆C上一点，圆M：(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=r2.
(1)若圆M与x轴相切于椭圆C的右焦点，求圆M的方程;
(2)从原点O向圆M：(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 作两条切线分别与椭圆C交于P，Q两点(P，Q不在坐标轴上)，设OP，OQ的斜率分别为k1，k2.
①试问k1k2是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，说明理由;
②求|OP|•|OQ|的最大值.
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】(1)先求出圆心M( ， )，由此能求出圆M的方程.
(2)①推导出k1，k2是方程 =0的两根，由此能利用韦达定理能求出k1k2为定值.
②设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立 ，由此利用椭圆性质，结合已知条件能求出|OP|•|OQ|的最大值.
【解答】解：(1)椭圆C右焦点的坐标为( ，0)，
∴圆心M( ， )，
∴圆M的方程为(x﹣ )2+(y± )2= .
(2)①∵圆M与直线OP：y=k1x相切，∴ = ，
即(4﹣5 ) +10x0y0k1+4﹣5y02=0，
同理，(4﹣5x02)k2+10x0y0k+4﹣5 =0，
∴k1，k2是方程 =0的两根，
∴k1k2= = = =﹣ .
②设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立 ，
解得 ， ，
同理， ， ，
∴(|PQ|•|OQ|)2=( )•( )
= • = ≤ = ，
当且仅当k1=± 时，取等号，
∴|OP|•|OQ|的最大值为 .
猜你喜欢：