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高三理科数学一模考试卷及答案

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  高三的理科数学大家复习的如何?马上就要一模考试了,数学往年的一模试卷要抓紧时间做。下面由学习啦小编为大家提供关于高三理科数学一模考试卷及答案,希望对大家有帮助!

  高三理科数学一模考试卷选择题

  本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.

  1.已知z= (i为虚数单位),则|z|=(  )

  A. B.1 C. D.2

  2.计算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的结果为(  )

  A. B. C. D.

  3.设命题p:∀a>1,函数f(x)=xa(x>0)是增函数,则¬p为(  )

  A.∃a0<1,函数f(x)=xa0(x>0)是减函数

  B.∀a>1,函数f(x)=xa(x>0)不是减函数

  C.∃a0>1,函数f(x)=xa(x>0)不是增函数

  D.∀a>1,函数f(x)=xa(x>0)是减函数

  4.位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向是向上或向下,并且向上移动的概率为 ,则质点P移动4次后位于点(0,2)的概率是(  )

  A. B. C. D.

  5.设F1,F2分别是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点,O为坐标原点,若按双曲线右支上存在一点P,使 • =0,且| |=| |,则双曲线的离心率为(  )

  A.1± B.1+ C.2 D.

  6.一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m,侧面展开图的圆心角为 ,则这个圆锥的体积等于(  )

  A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3

  7.已知向量 =(1,λ), =(2,1),若2 + 与 =(1,﹣2)共线,则 在 方向上的投影是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.﹣

  8.已知函数f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0),函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为 ,则下列为函数f(x)的单调递减区间的是(  )

  A.[0, ] B.[ ,π] C.[ , ] D.[ , ]

  9.在如下程序框图中,已知f0(x)=sinx,则输出的结果是(  )

  A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx

  10.(x2﹣3x+2)5的展开式中,含x项的系数为(  )

  A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120

  11.如图为一个几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为(  )

  A.4 π B.12π C.12 π D.24π

  12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,2)时,f(x)= ,函数g(x)=(2x﹣x2)ex+m,若∀x1∈[﹣4,﹣2],∃x2∈[﹣1,2],使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立,则实数m的取值范围是(  )

  A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞, +2] C.[ +2,+∞) D.(﹣∞, ﹣2]

  高三理科数学一模考试卷非选择题

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共25分.

  13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=2x+1,则f(﹣2)等于      .

  14.中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E:x2+y2﹣4x+3=0的圆心,一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点,则椭圆C的标准方程为      .

  15.若变量x,y满足 ,则z= 的取值范围是      .

  16.如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王向前走了1200m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度为      .

  三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.已知数列{an}的前n项和为Sn,点( ,Sn)在曲线y=2x2﹣2上.

  (1)求证:数列{an}是等比数列;

  (2)设数列{bn}满足bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.

  18. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥PA,AB∥CD,且PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,∠PAD=120°,E和F分别是棱CD和PC的中点.

  (1)求证:平面BEF⊥平面PCD;

  (2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.

  19.在一次考试中,5名同学的数学、物理成绩如表所示:

  学生 A B C D E

  数学(x分) 89 91 93 95 97

  物理(y分) 87 89 89 92 93

  (1)根据表中数据,求物理分y关于数学分x的回归方程;

  (2)试估计某同学数学考100分时,他的物理得分;

  (3)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动,以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数,试解决下列问题:

  ①求至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率;

  ②求随机变变量X的分布列及数学期望E(X).

  (附:回归方程:: = x+ 中 = , = ﹣b )

  20.如图所示,已知点A(﹣1,0)是抛物线的准线与x轴的焦点,过点A的直线与抛物线交于M,N两点,过点M的直线交抛物线于另一个点Q,且直线MQ过点B(1,﹣1).

  (1)求抛物线的方程;

  (2)求证:直线QN过定点.

  21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2,且函数f(x)在点(2,f(2))处 的切线的一个方向向量是(2,﹣3).

  (1)若关于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在区间[ ,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;

  (2)证明: ( )2> (n∈N*,且n≥2)

  请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]

  22.如图,AB是圆O的直径,C,F为圆O上的点,CA是∠BAF的角平分线,CD与圆O切于点C,且交AF的延长线于点D,CM⊥AB,垂足为点M.

  (1)求证:DF=BM;

  (2)若圆O的半径为1,∠BAC=60°,试求线段CD的长.

  [选修4-4:坐标系与参数方程]

  23.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴为正半轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ,直线l的参数方程为 (t为参数,a为常数).

  (1)求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程;

  (2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1:2,求实数a的值.

  [选修4-5:不等式选讲]

  24.已知函数f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|,g(x)=x+1.

  (1)当k=1时,求不等式f(x)>g(x)的解集;

  (2)若存在x0∈R,使得不等式f(x0)≤2成立,求实数k的取值范围.

  高三理科数学一模考试卷答案

  一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,每小题给出四个选项,只有一个选项符合题目要求.

  1.已知z= (i为虚数单位),则|z|=(  )

  A. B.1 C. D.2

  【考点】复数求模.

  【专题】计算题;转化思想;定义法;数系的扩充和复数.

  【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出.

  【解答】解:z= = = = = + i,

  ∴|z|= =1,

  故选:B.

  【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式,属于基础题.

  2.计算﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°的结果为(  )

  A. B. C. D.

  【考点】两角和与差的正弦函数.

  【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值.

  【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式,化简所给的式子,可得结果.

  【解答】解:﹣sin133°cos197°﹣cos47°cos73°=﹣sin47°(﹣cos17°)﹣cos47°sin17°

  =sin(47°﹣17°)=sin30°= ,

  故选:A.

  【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用,属于基础题.

  3.设命题p:∀a>1,函数f(x)=xa(x>0)是增函数,则¬p为(  )

  A.∃a0<1,函数f(x)=xa0(x>0)是减函数

  B.∀a>1,函数f(x)=xa(x>0)不是减函数

  C.∃a0>1,函数f(x)=xa(x>0)不是增函数

  D.∀a>1,函数f(x)=xa(x>0)是减函数

  【考点】命题的否定.

  【专题】计算题;规律型;简易逻辑.

  【分析】利用全称命题的否定是特称命题,写出结果即可.

  【解答】解:因为全称命题是否定是特称命题,所以,命题p:∀a>1,函数f(x)=xa(x>0)是增函数,则¬p为:∃a0>1,函数f(x)=xa(x>0)不是增函数.

  故选:C.

  【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题否定关系,是基础题.

  4.位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向是向上或向下,并且向上移动的概率为 ,则质点P移动4次后位于点(0,2)的概率是(  )

  A. B. C. D.

  【考点】几何概型.

  【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计.

  【分析】根据题意,分析可得质点P移动4次后位于点(0,2),其中向上移动3次,向右下移动1次,进而借助排列、组合知识,由相互独立事件的概率公式,计算可得答案.

  【解答】解:根据题意,质点P移动4次后位于点(0,2),其中向上移动3次,向右下移动1次;

  则其概率为C41×( )1×( )3= ,

  故选:D.

  【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算,其难点在于分析质点P移动4次后位于点(0,2),其中向上移动3次,向右下移动1次的情况,这里要借助排列组合的知识.

  5.设F1,F2分别是双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左右焦点,O为坐标原点,若按双曲线右支上存在一点P,使 • =0,且| |=| |,则双曲线的离心率为(  )

  A.1± B.1+ C.2 D.

  【考点】双曲线的简单性质.

  【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.

  【分析】由题意可得PF2⊥x轴,且|PF2|=2c,令x=c代入双曲线的方程,可得 =2c,由a,b,c的关系和离心率公式,解方程即可得到所求值.

  【解答】解:由题意可得PF2⊥x轴,且|PF2|=2c,

  由x=c代入双曲线的方程可得y=±b =± ,

  即有 =2c,即c2﹣a2﹣2ac=0,

  由e= ,可得e2﹣2e﹣1=0,

  解得e=1+ (负的舍去).

  故选:B.

  【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用向量垂直的条件:数量积为0,以及运用方程求解的思想,考查运算能力,属于基础题.

  6.一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m,侧面展开图的圆心角为 ,则这个圆锥的体积等于(  )

  A. πm3 B. πm3 C. πm3 D. πm3

  【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).

  【专题】计算题;函数思想;综合法;空间位置关系与距离;立体几何.

  【分析】根据已知求出圆锥的底面半径和高,代入圆锥体积公式,可得答案.

  【解答】解:设圆锥的底面半径为r,

  圆锥形物体的母线长l=4m,侧面展开图的圆心角为 ,

  故2πr= l,

  解得:r= m,

  故圆锥的高h= = m,

  故圆锥的体积V= = πm3,

  故选:D

  【点评】本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握圆锥的几何特征和体积公式是解答的关键.

  7.已知向量 =(1,λ), =(2,1),若2 + 与 =(1,﹣2)共线,则 在 方向上的投影是(  )

  A. B.﹣ C.﹣ D.﹣

  【考点】平面向量数量积的运算.

  【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用.

  【分析】根据向量共线求出λ,再代入平面向量的投影公式计算.

  【解答】解:2 + =(4,2λ+1),

  ∵2 + 与 =(1,﹣2)共线,

  ∴﹣8﹣(2λ+1)=0,解得λ=﹣ .

  ∴ , =2﹣ =﹣ .

  ∴ 在 方向上的投影为| |× = =﹣ .

  故选:D.

  【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,向量共线与数量积的关系,属于基础题.

  8.已知函数f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0),函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为 ,则下列为函数f(x)的单调递减区间的是(  )

  A.[0, ] B.[ ,π] C.[ , ] D.[ , ]

  【考点】余弦函数的图象.

  【专题】转化思想;综合法;三角函数的图像与性质.

  【分析】由条件利用诱导公式,余弦函数的单调性,求得函数f(x)的单调递减区间.

  【解答】解:由函数f(x)=3cos( ﹣ωx)(ω>0),函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为 ,

  可得 • = ,∴ω=2,函数f(x)=3cos( ﹣2x)=3cos(2x﹣ ).

  令2kπ≤2x﹣ ≤2kπ+π,求得kπ+ ≤x≤kπ+ ,

  可得函数的减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z.

  结合所给的选项,

  故选:C.

  【点评】本题主要考查诱导公式,余弦函数的单调性,属于基础题.

  9.在如下程序框图中,已知f0(x)=sinx,则输出的结果是(  )

  A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx

  【考点】程序框图.

  【专题】计算题;图表型;数学模型法;算法和程序框图.

  【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算函数及导函数的函数值,模拟程序的运行,分析程序运行过程中函数值呈现周期性变化,求出周期T后,不难得到输出结果.

  【解答】解:∵f0(x)=sinx,

  f1(x)=cosx,

  f2(x)=﹣sinx,

  f3(x)=﹣cosx,

  f4(x)=sinx,

  f5(x)=cosx.

  ∴题目中的函数为周期函数,且周期T=4,

  ∴f2005(x)=f1(x)=cosx.

  故选:B.

  【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代码),从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)⇒②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模.

  10.(x2﹣3x+2)5的展开式中,含x项的系数为(  )

  A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120

  【考点】二项式定理的应用.

  【专题】转化思想;综合法;二项式定理.

  【分析】根据(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5,利用二项式定理展开,可得含x项的系数.

  【解答】解:由于(x2﹣3x+2)5=(x﹣1)5•(x﹣2)5

  =[ •x5﹣ •x4+ •x3﹣ •x2+ •x﹣1]•[ •x5﹣2 •x4+4 •x3﹣8 •x2+16 •x﹣32],

  故展开式中,含x项的系数为﹣32• ﹣16• =﹣240,

  故选:A.

  【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题.

  11.如图为一个几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为(  )

  A.4 π B.12π C.12 π D.24π

  【考点】由三视图求面积、体积.

  【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何.

  【分析】几何体为直三棱柱,作出直观图,根据三棱柱的结构特征找出外接球的球心外置,计算半径.

  【解答】解:由三视图可知该几何体为直三棱柱ABC﹣A'B'C',

  作出直观图如图所示:则AB⊥BC,AB=BC=2,AA'=2.∴AC=2 .

  ∴三棱柱的外接球球心为平面ACC'A'的中心O,

  ∴外接球半径r=OA= AC'= = .

  ∴外接球的表面积S=4π× =12π.

  故选B.

  【点评】本题考查了棱柱与外接球的三视图和结构特征,属于中档题.

  12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈[0,2)时,f(x)= ,函数g(x)=(2x﹣x2)ex+m,若∀x1∈[﹣4,﹣2],∃x2∈[﹣1,2],使得不等式f(x1)﹣g(x2)≥0成立,则实数m的取值范围是(  )

  A.(﹣∞,﹣2] B.(﹣∞, +2] C.[ +2,+∞) D.(﹣∞, ﹣2]

  【考点】分段函数的应用.

  【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用.

  【分析】由f(x+2)=f(x),可得周期T=2,可得f(x)在[0,2]的最小值即为f(x)在[﹣4,﹣2]的最小值,运用二次函数和指数函数的单调性,求得f(x)的最小值;对g(x),求得导数,求得单调区间和极值,最值,可得g(x)的最小值,由题意可得f(x)min≥g(x)min,解不等式即可得到所求范围.

  【解答】解:由f(x+2)=f(x),可得周期T=2,

  可得f(x)在[0,2]的最小值即为f(x)在[﹣4,﹣2]的最小值,

  当0≤x<1时,f(x)= ﹣2x2>f(1)= ﹣2=﹣ ,

  当1≤x<2时,f(x)= ,

  f(x)在[1, )递减,在[ ,2)递增,

  可得f(x)在x= 处取得最小值,且为﹣2;

  由﹣2<﹣ ,可得f(x)在[0,2]的最小值为﹣2;

  对于g(x)=(2x﹣x2)ex+m,g′(x)=(2﹣x2)ex,

  当x∈[﹣1, ]时,g′(x)>0,g(x)递增;

  当x∈[ ,2]时,g′(x)<0,g(x)递减.

  可得x= 处g(x)取得极大值,也为最大值;

  g(﹣1)=﹣3e﹣1+m

  由题意可得f(x)min≥g(x)min,

  即为﹣2≥﹣3e﹣1+m,即m≤ ﹣2.

  故选:D.

  【点评】本题考查了函数的性质和运用,考查周期性和单调性的运用,注意运用最大值、最小值来解决恒成立和存在性问题,属于中档题.

  二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共25分.

  13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,f(x)=2x+1,则f(﹣2)等于 5 .

  【考点】函数奇偶性的性质.

  【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用.

  【分析】根据偶函数的定义有f(﹣2)=f(2),从而将x=2带入x>0时的解析式f(x)=2x+1即可求出f(2),从而得出f(﹣2)的值.

  【解答】解:f(﹣2)=f(2)=22+1=5.

  故答案为:5.

  【点评】考查偶函数的定义,以及已知函数求值时,要注意函数的定义域.

  14.中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E:x2+y2﹣4x+3=0的圆心,一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点,则椭圆C的标准方程为   .

  【考点】椭圆的简单性质.

  【专题】计算题;方程思想;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

  【分析】化圆的一般式方程为标准方程,求出圆心坐标和圆与x轴的交点,结合隐含条件求得椭圆的标准方程.

  【解答】解:由x2+y2﹣4x+3=0,得(x﹣2)2+y2=1,

  ∴圆E的圆心为(2,0),与x轴的交点为(1,0),(3,0),

  由题意可得,椭圆的右顶点为(2,0),右焦点为(1,0),

  则a=2,c=1,b2=a2﹣c2=3,

  则椭圆的标准方程为: .

  故答案为: .

  【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了椭圆标准方程的求法,是基础题.

  15.若变量x,y满足 ,则z= 的取值范围是 [0,1] .

  【考点】简单线性规划.

  【专题】数形结合;转化法;不等式.

  【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义结合斜率公式进行求解即可.

  【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:

  z的几何意义为区域内的点到点(﹣1,0)的斜率,

  由图象知CD的斜率最小为0,

  AD的斜率最大,

  由 得 .即A(0,1),

  此时z= = =1,

  即0≤z≤1,

  故答案为:[0,1]

  【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用直线斜率的几何意义,结合数形结合是解决本题的关键.

  16.如图,为了测量河对岸电视塔CD的高度,小王在点A处测得塔顶D仰角为30°,塔底C与A的连线同河岸成15°角,小王向前走了1200m到达M处,测得塔底C与M的连线同河岸成60°角,则电视塔CD的高度为 600 m .

  【考点】解三角形的实际应用.

  【专题】数形结合;数形结合法;解三角形.

  【分析】在△ACM中由正弦定理解出AC,在Rt△ACD中,根据三角函数的定义得出CD.

  【解答】解:在△ACM中,∠MCA=60°﹣15°=45°,∠AMC=180°﹣60°=120°,

  由正弦定理得 ,即 ,解得AC=600 .

  在△ACD中,∵tan∠DAC= = ,

  ∴DC=ACtan∠DAC=600 × =600 .

  故答案为:600 .

  【点评】本题考查了解三角形的应用,寻找合适的三角形是解题的关键.

  三、解答题:本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

  17.已知数列{an}的前n项和为Sn,点( ,Sn)在曲线y=2x2﹣2上.

  (1)求证:数列{an}是等比数列;

  (2)设数列{bn}满足bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.

  【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.

  【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.

  【分析】(1)通过Sn=2an﹣2与Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2)作差,进而可得数列{an}是首项、公比均为2的等比数列;

  (2)通过(1)裂项可知bn=4( ﹣ ),进而并项相加即得结论.

  【解答】(1)证明:依题意,Sn=2an﹣2,

  ∴Sn﹣1=2an﹣1﹣2(n≥2),

  两式相减得:an=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1,

  又∵a1=2a1﹣2,即a1=2,

  ∴数列{an}是首项、公比均为2的等比数列;

  (2)解:由(1)可知an=2n,

  ∴bn= = = =4( ﹣ ),

  ∴Tn=4(1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )

  =4(1﹣ )

  = .

  【点评】本题考查数列的通项及前n项和,考查裂项相消法,注意解题方法的积累,属于中档题.

  18. 如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB⊥PA,AB∥CD,且PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,∠PAD=120°,E和F分别是棱CD和PC的中点.

  (1)求证:平面BEF⊥平面PCD;

  (2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.

  【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定.

  【专题】证明题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离.

  【分析】(1)先推导出四边形ABED是矩形,从而AB⊥平面PAD,进而CD⊥PD,CD⊥EF,CD⊥BE,由此得到CD⊥平面BEF,由此能证明平面BEF⊥平面PCD.

  (2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立空间直角坐标角系,利用向量法能求出直线PD与平面PBC所成的角的正弦值.

  【解答】证明:(1)∵BC=BD,E为CD中点,∴BE⊥CD,

  ∵AB∥CD,∴CD=2AB,

  ∴AB∥DE,且AB=DE,∴四边形ABED是矩形,

  ∴BE∥AD,BE=AD,AB⊥AD,

  ∵AB⊥PA,又PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,

  ∴CD⊥PD,且CD⊥AD,

  又∵在平面PCD中,EF∥PD,∴CD⊥EF,

  ∵EF∩BE=E,∴EF⊂平面BEF,BE⊂平面BEF,

  又CD⊥BE,∴CD⊥平面BEF,

  ∵CD⊂平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD.

  解:(2)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立空间直角坐标角系,

  ∵PB=BC=BD= ,CD=2AB=2 ,∠PAD=120°,

  ∴PA= = =2,AD=BE= =2,

  BC= = =2,

  则P(0,﹣1, ),D(0,2,0),B( ),C(2 ,2,0),

  =(0,3,﹣ ), =(﹣ ), =( ),

  设平面PBC的法向量 =(x,y,z),

  则 ,取x= ,得 =( , ),

  设直线PD与平面PBC所成的角为θ,

  sinθ=|cos< >|=| |=| |= .

  ∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为 .

  【点评】本题考查面面垂直的证明,考查线面角的正弦值的求法,则中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

  19.在一次考试中,5名同学的数学、物理成绩如表所示:

  学生 A B C D E

  数学(x分) 89 91 93 95 97

  物理(y分) 87 89 89 92 93

  (1)根据表中数据,求物理分y关于数学分x的回归方程;

  (2)试估计某同学数学考100分时,他的物理得分;

  (3)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动,以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数,试解决下列问题:

  ①求至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率;

  ②求随机变变量X的分布列及数学期望E(X).

  (附:回归方程:: = x+ 中 = , = ﹣b )

  【考点】线性回归方程.

  【专题】函数思想;综合法;概率与统计.

  【分析】(1)根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程;

  (2)根据回归方程估计;

  (3)依次计算X=0,1,2时的概率,列出分布列计算数学期望.

  【解答】解:(1) , .

  =(﹣4)2+(﹣2)2+0+22+42=40.

  =(﹣4)×(﹣3)+(﹣2)×(﹣1)+0+2×2+4×3=30.

  ∴ = , =90﹣0.75×93=20.25.

  ∴物理分y关于数学分x的回归方程为 =0.75x+20.25.

  (2)当x=100时, =0.75×100+20.25=95.25分.

  (3)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.

  P(X=0)= = .

  P(X=1)= = .

  P(X=2)= = .

  ①至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率为P=P(X=0)+P(X=1)= .

  ②X的分布列为:

  X 0 1 2

  P

  ∴X的数学期望E(X)=0× +1× +2× =1.

  【点评】本题考查了线性回归方程的解法,古典概型的概率计算,随机变量的数学期望,属于基础题.

  20.如图所示,已知点A(﹣1,0)是抛物线的准线与x轴的焦点,过点A的直线与抛物线交于M,N两点,过点M的直线交抛物线于另一个点Q,且直线MQ过点B(1,﹣1).

  (1)求抛物线的方程;

  (2)求证:直线QN过定点.

  【考点】抛物线的简单性质.

  【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

  【分析】(1)由题意,抛物线的准线方程为x=﹣1,即可求出抛物线的方程;

  (2)设AM的方程为y=k(x+1),代入抛物线的方程,可得ky2﹣4y+4k=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),则y1y2=4,直线MB的方程为y+1= (x﹣1),可得y2y3+4(y2+y3)+4=0,直线QN的方程为y﹣y2= (x﹣x2),可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0,即可得出直线QN过定点.

  【解答】(1)解:由题意,抛物线的准线方程为x=﹣1,

  ∴抛物线的方程为y2=4x;

  (2)证明:设AM的方程为y=k(x+1),代入抛物线的方程,可得ky2﹣4y+4k=0

  设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3),则y1y2=4,

  由kMQ= = = ,

  直线MB的方程为y+1= (x﹣1),

  ∴y1+1= (x1﹣1),

  可得y1=﹣ ,

  ∴ =﹣ ,

  ∴y2y3+4(y2+y3)+4=0

  直线QN的方程为y﹣y2= (x﹣x2)

  可得y2y3﹣y(y2+y3)+4x=0,

  ∴x=1,y=﹣4,

  ∴直线QN过定点(1,﹣4)

  【点评】本题考查抛物线的方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查直线过定点,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

  21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2,且函数f(x)在点(2,f(2))处 的切线的一个方向向量是(2,﹣3).

  (1)若关于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在区间[ ,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;

  (2)证明: ( )2> (n∈N*,且n≥2)

  【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断.

  【专题】转化思想;分析法;导数的概念及应用;不等式的解法及应用.

  【分析】(1)求出函数的导数,求得切线的斜率,解方程可得a的值,由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ,2]上恰有两个不相等的实数根,即为g(x)=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[ ,2]上有两个交点,求得g(x)的导数,可得单调区间,即可得到所求b的范围;

  (2)可得当x>1时,f′(x)<0,f(x)递减.即有lnx﹣ x2<﹣ ,即为lnx< (x2﹣1),即有 > = ﹣ ,可令x=2,3,…,n,累加即可得证.

  【解答】解:(1)函数f(x)=lnx﹣ax2的导数为f′(x)= ﹣2ax,

  由题意可得在点(2,f(2))处的切线斜率为 ﹣4a=﹣ ,

  解得a= ,

  即有f(x)=lnx﹣ x2,

  由题意可得lnx+x2﹣3x=﹣b在[ ,2]上恰有两个不相等的实数根,

  即为g(x)=lnx+x2﹣3x和直线y=﹣b在[ ,2]上有两个交点,

  由g(x)的导数为g′(x)= +2x﹣3= ,

  当

  当10,g(x)递增.

  则有g(1)<﹣b≤g( ),

  即为﹣2<﹣b≤﹣ln2﹣ ,解得ln2+ ≤b<2;

  (2)证明:由f(x)=lnx﹣ x2的导数为f′(x)= ﹣x= ,

  当x>1时,f′(x)<0,f(x)递减.

  即有lnx﹣ x2<﹣ ,即为lnx< (x2﹣1),

  即有 > = ﹣ ,

  则有 + +…+ >1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ + ﹣

  =1+ ﹣ ﹣ = =

  =(3+ )• > .

  【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调性,考查函数方程的转化思想和不等式的证明,注意运用函数的单调性和累加法,考查运算能力,属于中档题.

  请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-1:几何证明选讲]

  22.如图,AB是圆O的直径,C,F为圆O上的点,CA是∠BAF的角平分线,CD与圆O切于点C,且交AF的延长线于点D,CM⊥AB,垂足为点M.

  (1)求证:DF=BM;

  (2)若圆O的半径为1,∠BAC=60°,试求线段CD的长.

  【考点】与圆有关的比例线段.

  【专题】转化思想;转化法;推理和证明.

  【分析】(1)根据三角形全等以及切割线定理进行证明即可证明DF=BM;

  (2)根据三角形中的边角关系进行求解即可.

  【解答】解:(1)连接OC,CB,则有∠OAC=∠OCA,

  ∵CA是∠BAF的角平分线,

  ∴∠OAC=∠FAC,

  ∴∠FAC=∠ACO,则OC∥AD,

  ∵DC是圆O的切线,∴CD⊥OC,

  则CD⊥AD,

  由题意得△AMC≌△ADC,

  ∴DC=CM,DA=AM,

  由切割线定理得DC2=DF•DA=DF•AM=CM2,①,

  在Rt△ABC中,由射影定理得CM2=AM•BM,②,

  由①②得DF•AM=AM•MB,即DF=MB.

  (2)在Rt△ABC中,AC=ABcos∠BAC=2cos30°=2× = ,

  则CM= AC= ,

  于是CD=CM= ,

  即CD的长为 .

  【点评】本题主要考查几何的推理和证明,根据切割线定理以及三角形全等关系是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.

  [选修4-4:坐标系与参数方程]

  23.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴为正半轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ,直线l的参数方程为 (t为参数,a为常数).

  (1)求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程;

  (2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1:2,求实数a的值.

  【考点】参数方程化成普通方程;参数的意义.

  【专题】数形结合;转化法;直线与圆;坐标系和参数方程.

  【分析】(1)利用极坐标公式,把极坐标方程化为普通方程,消去参数t,把参数方程化为普通方程;

  (2)根据题意,得出直线l被圆C截得的弦所对的圆心角为120°,圆心C到直线l的距离d= r,由此列出方程求出a的值.

  【解答】解:(1)圆C的极坐标方程ρ=4cosθ﹣2sinθ可化为ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ,

  利用极坐标公式,化为普通方程是x2+y2=4x﹣2y,

  即(x﹣2)2+(y+1)2=5;

  直线l的参数方程为 ,

  消去参数t,化为普通方程是y= ﹣ax;

  (2)圆C的方程为(x﹣2)2+(y+1)2=5,圆心C为(2,﹣1),半径r= ,

  直线l的方程为y= ﹣ax,即ax+y﹣ =0,

  直线l将圆C分成弧长之比为1:2的两段圆弧,

  ∴直线l被圆截得的弦所对的圆心角为120°,

  ∴圆心C到直线l的距离d= r= ,

  即 = ,

  整理得11a2﹣24a+4=0,

  解得a=2或a= .

  【点评】本题考查了参数方程与极坐标的应用问题,也考查了直线与圆的应用问题,由题意得出圆心C到直线l的距离d等于半径r的一半是解题的关键.

  [选修4-5:不等式选讲]

  24.已知函数f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|,g(x)=x+1.

  (1)当k=1时,求不等式f(x)>g(x)的解集;

  (2)若存在x0∈R,使得不等式f(x0)≤2成立,求实数k的取值范围.

  【考点】绝对值不等式的解法.

  【专题】综合题;转化思想;综合法;不等式的解法及应用.

  【分析】(1)问题转化为|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0,设函数y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1,通过讨论x的范围求出不等式的解集即可;

  (2)问题 等价于|2k﹣1|≤2,解出即可.

  【解答】解(1)k=1时,不等式f(x)>g(x)化为:|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1>0,

  设函数y=|x﹣2|+|x﹣1|﹣x﹣1,则y= ,

  令y>0,解得:x>4或x< ,

  ∴原不等式的解集是{x|x< 或x>4};

  (2)∵f(x)﹣|kx﹣1|+|kx﹣2k|>|kx﹣1﹣kx+2k|﹣|2k﹣1|,

  ∴存在x0∈R,使得不等式f(x0)≤2成立

  等价于|2k﹣1|≤2,解得:﹣ ≤k≤ ,

  故所求实数k的范围是[﹣ , ].

  【点评】本题考查了绝对值不等式问题,考查函数恒成立问题以及分类讨论思想,是一道中档题.


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