中学生逆向思维巧解数学难题

时间：2020-06-10 11:16:00 邱妹0由分享

逆向思维也叫求异思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。下面就是小编给大家带来的中学生逆向思维巧解数学难题，希望大家喜欢!

中学生逆向思维巧解数学难题(一)

一、数学概念的反问题

例1 若化简|1-x|--的结果为2x-5，求x的取值范围。

分析：原式=|1-x|-|x-4|

根据题意，要化成：x-1-(4-x)=2x-5

从绝对值概念的反方向考虑，推出其条件是：

1-x≤0，且x-4≤0

∴x的取值范围是：1≤x≤4

二、代数运算的逆过程

例2 有四个有理数：3,4-6,10，将这四个数进行加减乘除四则运算(每个数用且只用一次)，使结果为24。请写出一个符合要求的算式。

分析：不妨先设想3×8=24，再考虑怎样从4，-6,10算出8，这样就找到一个所求的算式：

3(4-6+10)=24

类似的，还有：4-(-6×10)÷3;

10-(-6×3+4);3(10-4)-(-6)等。

三、逆向应用不等式性质

例3 若关于x的不等式(a-1)x>a2-2的解集为x<2，求a的值。

分析：根据不等式性质3，从反方向进行分析，得：

a-1<0，且a2-2=2(a-1)

∴所求a值为a=0。

四、逆向分析分式方程的检验

例4 已知方程---=1有增根，求它的增根。

分析：这个分式方程的增根可能是x=1或x=-1

原方程去分母并整理，得x2+mx+m-1=0

如果把x=1代入，能求出m=3;

如果把x=-1代入，则不能求出m;

∴m的值为3，原方程的增根是x=1。

五、图形变换的反问题

例5 △ABC中，AB

分析：我们曾经把梯形剪切后拼成三角形，就是使梯形的一部分绕一条腰的中点旋转180°，本题正好相反。由此得到启发，再应用等腰梯形的性质，得到如下做法：

作AD⊥BC，垂足为D点，在BC上截取DE=BD，连结AE，则∠AEB=∠B。

过AC中点M作MP∥AE，交BC于P，MD就是所求的剪切线。剪下△MPC，可以拼成等腰梯形ABPQ。

逆向思维的训练(二)

(一)两极颠倒法

在一般情況下，我们遇到或认识了两极中的一极，我们不妨再去有意认识一下与之对立的另一极，一个新的天地就可能展望在我们面前。

鲁人做鞋帽生意

《韩非子》中记载有这样一个故事：鲁国有一个人，非常擅长纺织麻鞋，他的妻子也是织绸缎的能手，他们准备一起到越国做生意。有人劝告他说：“你不要去，不然会失败的。”鲁人问：“为什么呢?”那人回答：“你善编鞋，而越人习惯于赤足走路;你妻子善织绸缎，那是用来做帽子的，可越人习惯于披头散发，从不戴帽子，用你擅长的技术，到越国去派不上用场，能不失败吗?”结果呢，鲁人并没有改变初衷，三五年后，他不但没有失败，反而成了有名的大富翁。

许多事情的成功，问题的解决，常常得益于逆向思维，这个鲁国人的成功，也是如此。

鲁人做鞋帽生意，当然是应该去需求鞋帽的地区，而不该去不习惯穿鞋戴帽的越国;但鲁人则打破了这种习惯性的思维方式，认为就是因为越人不穿鞋不戴帽，那里才有着广阔的市场前景和巨大的销售潜力，只要改变了越人的粗陋习惯，越国就会变成一个最大的鞋帽市场。鲁国人成功的秘密就在这里，逆向思维帮了他的大忙。

(二)中间融合法

面对两极，人们可以既不持这一极，也不持那一极，而是使两极在中间融合，出现一种既非此又非彼的中间状态。很多创新构想就在中间融合中产生。例如，女士们穿平跟鞋，走路舒适、轻松﹔穿高跟鞋，走路挺胸、气派。但是，为什么只能要么是平跟鞋，要么是高跟鞋，能不能使对立两极在中间融合呢?于是，坡跟鞋被开发出来了。它既不是平跟鞋，又不是高跟鞋，然而又既有平跟鞋的优点，又有高跟鞋的长处。

(三)反弹琵琶法

反证法就是反弹琵琶法。其特点在于，不是直接证明命题，而是从反面来论证。即先假设原命题的结论不能成立，提出一个相反的结论，然后证明这个相反的结论不能成立，从而证明原来的结论是正确的。运用反证法的步骤是：①作出需证明的命题的否定结论。②从这个否定结论出发，用合乎逻辑的方法来进行推理，从而引出矛盾的结论;或与命题的条件相矛盾，或与暂设假定相矛盾，或与已知公理、定义、定理相矛盾。③排除否定的结论，肯定命题原来的结论正确。

孙膑智胜魏惠王

孙膑是战国时著名兵家，至俄国求职，魏惠王心胸狭窄，忌其才华，故意刁难，对孙膑说：“听说你挺有才能，如能使我从座位上走下来，就任用你为将军。”魏惠王心想：我就是不起来，你又奈我何!孙膑想魏惠王赖在座位上，我不能强行把他拉下来，把皇帝拉下马是死罪。怎么办呢?只有用逆向思维法，让他自动走下来。于是，孙膑对魏惠王说：“我确实没有办法使大王从宝座上走下来，但是我却有办法使您坐到宝座上”。魏惠王心想，这还不是—回事，我就是不坐下，你又奈我何!便乐呵呵地从座位上走下来。孙膑马上说：“我现在虽然没有办法使您坐回去，但我己经使您从座位上走下来了。”魏惠王方知上当，只好任用他为将军。

“反弹琵琶”实际是利用对立互补关系，实行迂回战术。某国王一贯自我标榜不但是个至高无上的权威，而且更是个“大慈大悲”的救世主。他在处决犯人之前，要恩赐一个机会，叫他们去抽生死签，如果抽到“活”字，就可幸免一死。有一次，一个囚犯行将处决，他的冤家买通狱吏，把两张纸都写上“死”。不料有人把此消息透漏给犯人，犯人闻后眉开眼笑地说：“啊!我可以死里逃生了。”国王宣布抽签后，犯人抽出一张签，二话不说便吞入腹中。这下在场的人慌了手脚，因为谁也搞不清楚犯人吞下的是“死”还是“活”。只听国王大声斥喝：“笨蛋，你们只要看一看剩下的那张纸签就是了。”显然剩下来的是“死”签，由此反证犯人吞下的是“活”签。聪明的犯人巧用反证法，死里逃生了。

(四)换位法

换位法就是将考察的命题颠倒过来，发明新事物的创造方法。

在动物园里，把动物关在笼子里，游人在园内观赏动物是一般常规。但是在野生动物园里，动物是放牧式的，为了防止狮虎对人的袭击和伤害，却让游人坐到封闭的汽车内去进行参观游玩，却又别有一番情趣。

生产玩具的厂家，其设计一般都追求色彩鲜艳、造型美观可爱而赢得顾客的喜爱，然而美国鬼才公司却设计了一种外皮皱巴巴丑恶的玩具狗，这种一反常态的构思，是一种风格迥异的丑狗，丑中还透出一丝憨态，从而引起人们的猎奇心，觉得花几个钱抱一只奇异的狗回家是值得的。不出所料，皱皮狗成为市场上的畅销产品。

兰米尔，他发明充气电灯泡也是采用此法。当时的电灯泡有个致命伤，钨丝通电后容易发脆，使用不久灯泡壁就会变黑。一般人都认为要克服这个毛病必须大大提高灯泡的真空度。兰米尔的想法却与众不同，他不是忙于提高灯泡的真空度，而是分别将氢气、氮气、二氧化碳、氧气和水蒸气等充人灯泡，研究它们在高温低压下与钨丝的作用。当他发现氮气有减少钨丝蒸发的作用时，作出了“有可能在大气压下钨丝在氮气中长期工作”的判断。1928年，他由于充气灯泡的发明和对高温低压下化学反应的研究等突出贡献而荣获帕金奖章。

把思维方法来个一百八十度的大转变，有时竟取得想不到的效果。历史上有许多科学家就是采用逆向思维法而取得重大发现和发明的。

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