2018江苏南通中考备考数学试卷
2018江苏南通中考备考数学试卷
2018年江苏南通的同学们，步入初三，中考也就不远了，晨曦现在还有一点点时间，做多几份数学试卷吧，多做试卷对大家的复习还是有好处的。下面由学习啦小编为大家提供关于2018江苏南通中考备考数学试卷，希望对大家有帮助!
2018江苏南通中考备考数学试卷一、选择题
(每小题3分，共30分)
1.在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为( )
A.0 B.2 C.﹣1 D.﹣2
2.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为( )
A.1.8×105 B.1.8×104 C.0.18×106 D.18×104
3.下列计算，正确的是( )
A.a2﹣a=a B.a2•a3=a6 C.a9÷a3=a3 D.(a3)2=a6
4.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中.点P(1，﹣2)关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(1，2) B.(﹣1，﹣2) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)
6.如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为( )
A.4π B.6π C.12π D.16π
7.一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
8.一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为( )
A.5L B.3.75L C.2.5L D.1.25L
9.已知∠AOB，作图.
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q;
步骤2：过点M作PQ的垂线交 于点C;
步骤3：画射线OC.
则下列判断：① = ;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC平分∠AOB，其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )
A.5 B.10 C.10 D.15
2018江苏南通中考备考数学试卷二、填空题
(每小题3分，共24分)
11.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 .
12.如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= .
13.四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 度.
14.若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 .
15.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 度.
16.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 .
17.已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值为 .
18.如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(5，12)，且与边BC交于点D.若AB=BD，则点D的坐标为 .
2018江苏南通中考备考数学试卷三、解答题
(本大题共10小题，共96分)
19.(1)计算：|﹣4|﹣(﹣2)2+ ﹣( )0
(2)解不等式组 .
20.先化简，再求值：(m+2﹣ )• ，其中m=﹣ .
21.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t(单位：min)，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表.
课外阅读时间t 频数 百分比
10≤t<30 4 8%
30≤t<50 8 16%
50≤t<70 a 40%
70≤t<90 16 b
90≤t<110 2 4%
合计 50 100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1)a= ，b= ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min?
22.不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率.
23.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度(结果保留根号).
24.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.
25.某学习小组在研究函数y= x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分.
x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …
y … ﹣
﹣
0 ﹣
﹣
﹣
…
(1)请补全函数图象;
(2)方程 x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 ;
(3)观察图象，写出该函数的两条性质.
26.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ.
(1)求证：四边形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长.
27.我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1)等边三角形“內似线”的条数为 ;
(2)如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”;
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
28.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.
(1)若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值;
(2)若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标;
(3)延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO.
2018江苏南通中考备考数学试卷答案
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数为( )
A.0 B.2 C.﹣1 D.﹣2
【考点】18：有理数大小比较.
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案.
【解答】解：∵在0、2、﹣1、﹣2这四个数中只有﹣2<﹣1<0，0<2
∴在0、2、﹣1、﹣2这四个数中，最小的数是﹣2.
故选：D.
2.近两年，中国倡导的“一带一路”为沿线国家创造了约180000个就业岗位，将180000用科学记数法表示为( )
A.1.8×105 B.1.8×104 C.0.18×106 D.18×104
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数;当原数的绝对值<1时，n是负数.
【解答】解：将180000用科学记数法表示为1.8×105，
故选：A.
3.下列计算，正确的是( )
A.a2﹣a=a B.a2•a3=a6 C.a9÷a3=a3 D.(a3)2=a6
【考点】48：同底数幂的除法;35：合并同类项;46：同底数幂的乘法;47：幂的乘方与积的乘方.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法以及幂的乘方进行计算即可.
【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误;
B、a2•a3=a5，故B错误;
C、a9÷a3=a6，故C错误;
D、(a3)2=a6，故D正确;
故选D.
4.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其左视图是( )
A. B. C. D.
【考点】U2：简单组合体的三视图.
【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案.
【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形.
故选A.
5.在平面直角坐标系中.点P(1，﹣2)关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(1，2) B.(﹣1，﹣2) C.(﹣1，2) D.(﹣2，1)
【考点】P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标.
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案.
【解答】解：点P(1，﹣2)关于x轴的对称点的坐标是(1，2)，
故选：A.
6.如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则侧面积为( )
A.4π B.6π C.12π D.16π
【考点】MP：圆锥的计算.
【分析】根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积.
【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×6=12π，
故选C.
7.一组数据：1、2、2、3，若添加一个数据2，则发生变化的统计量是( )
A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差
【考点】WA：统计量的选择.
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可.
【解答】解：A、原来数据的平均数是2，添加数字2后平均数扔为2，故A与要求不符;
B、原来数据的中位数是2，添加数字2后中位数扔为2，故B与要求不符;
C、原来数据的众数是2，添加数字2后众数扔为2，故C与要求不符;
D、原来数据的方差= = ，
添加数字2后的方差= = ，故方差发生了变化.
故选：D.
8.一个有进水管和出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内即进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y(L)与时间x(min)之间的关系如图所示，则每分钟的出水量为( )
A.5L B.3.75L C.2.5L D.1.25L
【考点】E6：函数的图象.
【分析】观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量﹣每分钟增加的水量”即可算出结论.
【解答】解：每分钟的进水量为：20÷4=5(升)，
每分钟的出水量为：5﹣(30﹣20)÷(12﹣4)=3.75(升).
故选：B.
9.已知∠AOB，作图.
步骤1：在OB上任取一点M，以点M为圆心，MO长为半径画半圆，分别交OA、OB于点P、Q;
步骤2：过点M作PQ的垂线交 于点C;
步骤3：画射线OC.
则下列判断：① = ;②MC∥OA;③OP=PQ;④OC平分∠AOB，其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】N3：作图—复杂作图;M5：圆周角定理.
【分析】由OQ为直径可得出OA⊥PQ，结合MC⊥PQ可得出OA∥MC，结论②正确;根据平行线的性质可得出∠PAO=∠CMQ，结合圆周角定理可得出∠COQ= ∠POQ=∠BOQ，进而可得出 = ，OC平分∠AOB，结论①④正确;由∠AOB的度数未知，不能得出OP=PQ，即结论③错误.综上即可得出结论.
【解答】解：∵OQ为直径，
∴∠OPQ=90°，OA⊥PQ.
∵MC⊥PQ，
∴OA∥MC，结论②正确;
①∵OA∥MC，
∴∠PAO=∠CMQ.
∵∠CMQ=2∠COQ，
∴∠COQ= ∠POQ=∠BOQ，
∴ = ，OC平分∠AOB，结论①④正确;
∵∠AOB的度数未知，∠POQ和∠PQO互余，
∴∠POQ不一定等于∠PQO，
∴OP不一定等于PQ，结论③错误.
综上所述：正确的结论有①②④.
故选C.
10.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为( )
A.5 B.10 C.10 D.15
【考点】PA：轴对称﹣最短路线问题;LB：矩形的性质.
【分析】作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，由对称结合矩形的性质可知：E′G′=AB=10、GG′=AD=5，利用勾股定理即可求出E′G的长度，进而可得出四边形EFGH周长的最小值.
【解答】解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示.
∵AE=CG，BE=BE′，
∴E′G′=AB=10，
∵GG′=AD=5，
∴E′G= =5 ，
∴C四边形EFGH=2E′G=10 .
故选B.
二、填空题(每小题3分，共24分)
11.若 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x≥2 .
【考点】72：二次根式有意义的条件.
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可.
【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2，
故答案为：x≥2.
12.如图所示，DE是△ABC的中位线，BC=8，则DE= 4 .
【考点】KX：三角形中位线定理.
【分析】易得DE是△ABC的中位线，那么DE应等于BC长的一半.
【解答】解：根据三角形的中位线定理，得：DE= BC=4.
故答案为4.
13.四边形ABCD内接于圆，若∠A=110°，则∠C= 70 度.
【考点】M6：圆内接四边形的性质.
【分析】根据圆内接四边形的性质计算即可.
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠A=110°，
∴∠C=70°，
故答案为：70.
14.若关于x的方程x2﹣6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为 9 .
【考点】AA：根的判别式.
【分析】根据判别式的意义得到△=(﹣6)2﹣4c=0，然后解关于c的一次方程即可.
【解答】解：根据题意得△=(﹣6)2﹣4c=0，
解得c=9.
故答案为9.
15.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠AOD= 30 度.
【考点】R2：旋转的性质.
【分析】根据旋转的性质可得∠BOD，再根据∠AOD=∠BOD﹣∠AOB计算即可得解.
【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，
∴∠BOD=45°，
∴∠AOD=∠BOD﹣∠AOB=45°﹣15°=30°.
故答案为：30.
16.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为 4 .
【考点】B7：分式方程的应用.
【分析】设乙每小时做x个，则甲每小时做(x+4)个，甲做60个所用的时间为 ，乙做40个所用的时间为 ;根据甲做60个所用的时间比乙做40个所用的时间相等，列方程求解
【解答】解：设乙每小时做x个，则甲每小时做(x+4)个，甲做60个所用的时间为 ，乙做40个所用的时间为 ，
列方程为： = ，
解得：x=4，
经检验：x=4是原分式方程的解，且符合题意，
则x+4=8.
答：乙每小时做4个.
故答案是：4.
17.已知x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，则x=﹣m时，该多项式的值为 ﹣1﹣4m .
【考点】33：代数式求值.
【分析】利用整体代入的思想即可解决问题.
【解答】解：∵x=m时，多项式x2+2x+n2的值为﹣1，
∴m2+2m+n2=﹣1，
∴m2+n2=﹣1﹣2m
∴x=﹣m时，多项式x2+2x+n2的值为m2﹣2m+n2=﹣1﹣4m，
故答案为﹣1﹣4m.
18.如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(5，12)，且与边BC交于点D.若AB=BD，则点D的坐标为 (8， ) .
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征;L5：平行四边形的性质.
【分析】先根据点A(5，12)，求得反比例函数的解析式为y= ，可设D(m， )，BC的解析式为y= x+b，把D(m， )代入，可得b= ﹣ m，进而得到BC的解析式为y= x+ ﹣ m，据此可得OC=m﹣ =AB，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，根据△DEB∽△AFO，可得DB=13﹣ ，最后根据AB=BD，得到方程m﹣ =13﹣ ，进而求得D的坐标.
【解答】解：∵反比例函数y= (x>0)的图象经过点A(5，12)，
∴k=12×5=60，
∴反比例函数的解析式为y= ，
设D(m， )，
由题可得OA的解析式为y= x，AO∥BC，
∴可设BC的解析式为y= x+b，
把D(m， )代入，可得 m+b= ，
∴b= ﹣ m，
∴BC的解析式为y= x+ ﹣ m，
令y=0，则x=m﹣ ，即OC=m﹣ ，
∴平行四边形ABCO中，AB=m﹣ ，
如图所示，过D作DE⊥AB于E，过A作AF⊥OC于F，则△DEB∽△AFO，
∴ = ，而AF=12，DE=12﹣ ，OA= =13，
∴DB=13﹣ ，
∵AB=DB，
∴m﹣ =13﹣ ，
解得m1=5，m2=8，
又∵D在A的右侧，即m>5，
∴m=8，
∴D的坐标为(8， ).
故答案为：(8， ).
三、解答题(本大题共10小题，共96分)
19.(1)计算：|﹣4|﹣(﹣2)2+ ﹣( )0
(2)解不等式组 .
【考点】CB：解一元一次不等式组;2C：实数的运算;6E：零指数幂.
【分析】(1)原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用乘方的意义计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果.
(2)先求出两个不等式的解集，再求其公共解.
【解答】解：(1)原式=4﹣4+3﹣1=2;
(2)
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x<4，
所以不等式组的解集是2≤x<4.
20.先化简，再求值：(m+2﹣ )• ，其中m=﹣ .
【考点】6D：分式的化简求值.
【分析】此题的运算顺序：先括号里，经过通分，再约分化为最简，最后代值计算.
【解答】解：(m+2﹣ )• ，
= • ，
=﹣ • ，
=﹣2(m+3).
把m=﹣ 代入，得
原式=﹣2×(﹣ +3)=﹣5.
21.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了50名学生，并统计他们平均每天的课外阅读时间t(单位：min)，然后利用所得数据绘制成如下不完整的统计表.
课外阅读时间t 频数 百分比
10≤t<30 4 8%
30≤t<50 8 16%
50≤t<70 a 40%
70≤t<90 16 b
90≤t<110 2 4%
合计 50 100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1)a= 20 ，b= 32% ;
(2)将频数分布直方图补充完整;
(3)若全校有900名学生，估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于50min?
【考点】V8：频数(率)分布直方图;V5：用样本估计总体;V7：频数(率)分布表;W2：加权平均数.
【分析】(1)利用百分比= ，计算即可;
(2)根据b的值计算即可;
(3)用一般估计总体的思想思考问题即可;
【解答】解：(1)∵总人数=50人，
∴a=50×40%=20，b= ×100%=32%，
故答案为20，32%.
(2)频数分布直方图，如图所示.
(3)900× =648，
答：估计该校有648名学生平均每天的课外阅读时间不少于50min.
22.不透明袋子中装有2个红球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别，随机摸出1个球不放回，再随机摸出1个球，求两次均摸到红球的概率.
【考点】X6：列表法与树状图法.
【分析】利用树状图得出所有符合题意的情况，进而理概率公式求出即可.
【解答】解：如图所示：
，
所有的可能有12种，符合题意的有2种，故两次均摸到红球的概率为： = .
23.热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度(结果保留根号).
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】根据正切的概念分别求出BD、DC，计算即可.
【解答】解：在Rt△ADB中，∠BAD=45°，
∴BD=AD=100m，
在Rt△ADC中，CD=AD×tan∠DAC=100 m
∴BC=m，
答：这栋楼的高度为m.
24.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长.
【考点】MC：切线的性质;KQ：勾股定理.
【分析】连接OD，首先证明四边形OECD是矩形，从而得到BE的长，然后利用垂径定理求得BF的长即可.
【解答】解：连接OD，作OE⊥BF于点E.
∴BE= BF，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=EC=2，BC=3，
∴BE=BC﹣EC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BF=2BE=2.
25.某学习小组在研究函数y= x3﹣2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分.
x … ﹣4 ﹣3.5 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 3.5 4 …
y … ﹣
﹣
0 ﹣
﹣
﹣
…
(1)请补全函数图象;
(2)方程 x3﹣2x=﹣2实数根的个数为 3 ;
(3)观察图象，写出该函数的两条性质.
【考点】H3：二次函数的性质;H2：二次函数的图象;HB：图象法求一元二次方程的近似根.
【分析】(1)用光滑的曲线连接即可得出结论;
(2)根据函数y= x3﹣2x和直线y=﹣2的交点的个数即可得出结论;
(3)根据函数图象即可得出结论.
【解答】解：(1)补全函数图象如图所示，
(2)如图1，
作出直线y=﹣2的图象，
由图象知，函数y= x3﹣2x的图象和直线y=﹣2有三个交点，
∴方程 x3﹣2x=﹣2实数根的个数为3，
故答案为3;
(3)由图象知，
1、此函数在实数范围内既没有最大值，也没有最小值，
2、此函数在x<﹣2和x>2，y随x的增大而增大，
3、此函数图象过原点，
4、此函数图象关于原点对称.
26.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ.
(1)求证：四边形BPEQ是菱形;
(2)若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长.
【考点】LB：矩形的性质;KG：线段垂直平分线的性质;LA：菱形的判定与性质.
【分析】(1)先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论;
(2)根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=(18﹣x)2，BE=10，得到OB= BE=5，设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+(8﹣y)2=y2，解得y= ，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO= = ，由PQ=2PO即可求解.
【解答】(1)证明：∵PQ垂直平分BE，
∴QB=QE，OB=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP(ASA)，
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，
∴四边形BPEQ是菱形;
(2)解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE=2OF+2OB=18，
设AE=x，则BE=18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2=(18﹣x)2，
解得x=8，
BE=18﹣x=10，
∴OB= BE=5，
设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，
在Rt△ABP中，62+(8﹣y)2=y2，解得y= ，
在Rt△BOP中，PO= = ，
∴PQ=2PO= .
27.我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1)等边三角形“內似线”的条数为 3 ;
(2)如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”;
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长.
【考点】SO：相似形综合题.
【分析】(1)过等边三角形的内心分别作三边的平行线，即可得出答案;
(2)由等腰三角形的性质得出∠ABC=∠C=∠BDC，证出△BCD∽△ABC即可;
(3)分两种情况：①当 = = 时，EF∥AB，由勾股定理求出AB= =5，作DN⊥BC于N，则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，求出DN= (AC+BC﹣AB)=1，由几啊平分线定理得出 = ，求出CE= ，证明△CEF∽△CAB，得出对应边成比例求出EF= ;
②当 = = 时，同理得：EF= 即可.
【解答】(1)解：等边三角形“內似线”的条数为3条;理由如下：
过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图1所示：
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的內似线”;
故答案为：3;
(2)证明：∵AB=AC，BD=BC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∴△BCD∽△ABC，
∴BD是△ABC的“內似线”;
(3)解：设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“內似线”，
∴△CEF与△ABC相似;
分两种情况：①当 = = 时，EF∥AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= =5，
作DN⊥BC于N，如图2所示：
则DN∥AC，DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN= (AC+BC﹣AB)=1，
∵CD平分∠ACB，
∴ = ，
∵DN∥AC，
∴ = ，即 ，
∴CE= ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得：EF= ;
②当 = = 时，同理得：EF= ;
综上所述，EF的长为 .
28.已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2(a>0)相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D.
(1)若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值;
(2)若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标;
(3)延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO.
【考点】HF：二次函数综合题.
【分析】(1)如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值;
(2)如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为﹣4，得B的横坐标为1，所以A(﹣4，16a)，B(1，a)，证明△ADO∽△OEB，则 ，得a的值及B的坐标;
(3)如图3，设AC=nBC由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B(m，am2)，则A(﹣mn，am2n2)，分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论.
【解答】解：(1)如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，
∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC= ，
∴A(﹣1， )，
把A(﹣1， )代入抛物线y=ax2(a>0)中得：a= ;
(2)如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，
∵CF∥BG，
∴ ，
∵AC=4BC，
∴ =4，
∴AF=4FG，
∵A的横坐标为﹣4，
∴B的横坐标为1，
∴A(﹣4，16a)，B(1，a)，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴ ，
∴ ，
∴16a2=4，
a=± ，
∵a>0，
∴a= ;
∴B(1， );
(3)如图3，设AC=nBC，
由(2)同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，
则设B(m，am2)，则A(﹣mn，am2n2)，
∴AD=am2n2，
过B作BF⊥x轴于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴ = = ，
∴ ，
∴ = ，DE=am2n，
∴ = ，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴ ，
∴ = ，
∴CO= =am2n，
∴DE=CO.
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