河南省高考数学一模考试卷(2)
河南省高考数学一模考试卷答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是渡河题目要求的.
1.设全集U={x∈N*|x≤4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则∁U(A∩B)=( )
A.{1，2，3} B.{1，2，4} C.{1，3，4} D.{2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算.
【分析】由已知中全集U={x∈N*|x≤4}，A={1，4}，B={2，4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出A∩B，再求出其补集，即可求出答案.
【解答】解：∵全集U={x∈N*|x≤4}={1，2，3，4}，A={1，4}，B={2，4}
∴A∩B={4}，
∴∁U(A∩B)={1，2，3}
故选：A.
2.设z=1+i(i是虚数单位)，则 ﹣ =( )
A.i B.2﹣i C.1﹣i D.0
【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】把复数z代入，然后直接利用复数代数形式的除法运算化简求值
【解答】解：z=1+i(i是虚数单位)，则 ﹣ = ﹣(1﹣i)= ﹣1+i=1﹣i﹣1+i=0，
故选：D.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 = ，则cosB=( )
A.﹣ B. C.﹣ D.
【考点】正弦定理;余弦定理.
【分析】由已知及正弦定理可得 = ，解得tanB= ，结合范围0
【解答】解：∵ = ，
又∵由正弦定理可得： ，
∴ = ，解得： cosB=sinB，
∴tanB= ，0
∴B= ，cosB= .
故选：B.
4.函数f(x)=excosx在点(0，f(0))处的切线方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y﹣1=0 C.x﹣y+1=0 D.x﹣y﹣1=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程.
【解答】解：函数f(x)=excosx的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)，
即有在点(0，f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)=1，
切点为(0，1)，
则在点(0，f(0))处的切线方程为y﹣1=x﹣0，即为x﹣y+1=0.
故选C.
5.已知函数f(x)=( )x﹣cosx，则f(x)在[0，2π]上的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】函数零点的判定定理.
【分析】分别作出y=( )x和y=cosx在[0，2π]上的函数图象，根据函数图象的交点个数来判断.
【解答】解：令f(x)=0得( )x=cosx，
分别作出y=( )x和y=cosx的函数图象，
由图象可知y=( )x和y=cosx在[0，2π]上有3个交点，
∴f(x)在[0，2π]上有3个零点.
故选：C.
6.按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内?处应补充的条件为( )
A.i>7 B.i≥7 C.i>9 D.i≥9
【考点】程序框图.
【分析】按照程序框图的流程写出前三次循环的结果，直到第三次按照已知条件需要输出，根据循环的i的值得到判断框中的条件.
【解答】解：经过第一次循环得到S=3，i=3
经过第二次循环得到S=3+33=30，i=5
经过第三次循环得到S=30+35=273，i=7
此时，需要输出结果，此时的i满足判断框中的条件
故选：B.
7.设双曲线 + =1的一条渐近线为y=﹣2x，且一个焦点与抛物线y= x2的焦点相同，则此双曲线的方程为( )
A. x2﹣5y2=1 B.5y2﹣ x2=1 C.5x2﹣ y2=1 D. y2﹣5x2=1
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求出抛物线的焦点坐标，确定双曲线的焦点，求出a，b，c，即可求出双曲线的标准方程
【解答】解：∵双曲线的一个焦点与抛物线y= x2的焦点相同，
∴双曲线的焦点在y轴，且焦点坐标为(0，1)，即c=1，
则双曲线 + =1标准方程形式为 ﹣ =1，
则b>0，a<0，
由 ﹣ =0得y2= x2，
则双曲线的渐近线为y=± x，
∵双曲线一条渐近线为y=﹣2x，
∴ =2，即 =4，则b=﹣4a，
∵b+(﹣a)=c2=1，
∴﹣5a=1，则a=﹣ ，b= ，
则双曲线的方程为 =1，即 y2﹣5x2=1，
故选：D
8.正项等比数列{an}中的a1，a4031是函数f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，则 =( )
A.1 B.2 C. D.﹣1
【考点】等比数列的通项公式;利用导数研究函数的极值.
【分析】f′(x)=x2﹣8x+6=0，由于a1，a4031是函数f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，可得a1•a4031=6，a2016= .即可得出.
【解答】解：f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3，
∴f′(x)=x2﹣8x+6=0，
∵a1，a4031是函数f(x)= x3﹣4x2+6x﹣3的极值点，
∴a1•a4031=6，又an>0，
∴a2016= = .
∴ =1.
故选：A.
9.如图是一个四面体的三视图，这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线，则该四面体的体积为( )
A. B. C. D.2
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，其中E是CD中点，由此能求出该四面体的体积.
【解答】解：由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的三棱锥C1﹣BDE，
其中E是CD中点，
△BDE面积 ，三棱锥C1﹣BDE的高h=CC1=2，
∴该四面体的体积：
V= = .
故选：A.
10.已知函数f(x)=x+ ，g(x)=2x+a，若∀x1∈[ ，1]，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A.a≤1 B.a≥1 C.a≤2 D.a≥2
【考点】全称命题.
【分析】由∀x1∈[﹣1，2]，都∃x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)=x2+1在x1∈[﹣1，2]的最小值不小于g(x)=ax+2在x2∈[1，2]的最小值，构造关于a的不等式组，可得结论.
【解答】解：当x1∈[ ，1]时，由f(x)=x+ 得，f′(x)= ，
令f′(x)>0，解得：x>2，令f′(x)<0，解得：x<2，
∴f(x)在[ ，1]单调递减，
∴f(1)=5是函数的最小值，
当x2∈[2，3]时，g(x)=2x+a为增函数，
∴g(2)=a+4是函数的最小值，
又∵∀x1∈[ ，1]，都∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，
可得f(x)在x1∈[ ，1]的最小值不小于g(x)在x2∈[2，3]的最小值，
即5≥a+4，解得：a≤1，
故选：A.
11.已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 ( )
A. B.2﹣ C. ﹣2 D. ﹣
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|= m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得 ，开方得答案.
【解答】解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，
若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF1|=m，|BF1|= m，
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，
即有4a=2m+ m，即m=2(2﹣ )a，
则|AF2|=2a﹣m=(2 ﹣2)a，
在直角三角形AF1F2中，
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
即4c2=4(2﹣ )2a2+4( ﹣1)2a2，
∴c2=(9﹣6 )a2，
则e2= =9﹣6 = ，
∴e= .
故选：D.
12.已知函数f(x)= ，若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是( )
A.2 B.3 C.5 D.8
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】画出函数f(x)= 的图象，对b，a分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【解答】解：函数f(x)= ，如图所示，
①当b=0时，[f(x)]2+af(x)﹣b2<0化为[f(x)]2+af(x)<0，
当a>0时，﹣a
由于关于x的不等式[f(x)]2+af(x)﹣b2<0恰有1个整数解，
因此其整数解为3，又f(3)=﹣9+6=﹣3，
∴﹣a<﹣3<0，﹣a≥f(4)=﹣8，
则8≥a>3，
a≤0不必考虑.
②当b≠0时，对于[f(x)]2+af(x)﹣b2<0，
△=a2+4b2>0，
解得：
只考虑a>0，
则 <0< ，
由于f(x)=0时，不等式的解集中含有多与一个整数解(例如，0，2)，舍去.
综上可得：a的最大值为8.
故选：D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.二项式 的展开式中，x2项的系数为 60 .
【考点】二项式系数的性质.
【分析】根据题意，可得 的通项为Tr+1=C6r•(x)6﹣r•(﹣ )r=(﹣1)rC6r•2r•(x)6﹣2r，令6﹣2r=2，可得r=2，将r=2代入通项可得T3=60x2，即可得答案.
【解答】解：根据二项式定理， 的通项为Tr+1=C6r•(x)6﹣r•(﹣ )r=(﹣1)rC6r•2r•(x)6﹣2r，
当6﹣2r=2时，即r=2时，可得T3=60x2，
即x2项的系数为60，
故答案为60.
14.若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组 表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为 .
【考点】几何概型;简单线性规划.
【分析】由题意，所求概率满足几何概型的概率，只要分别求出S阴影，SN，求面积比即可.
【解答】解：由题，图中△OCD表示N区域，其中C(6，6)，D(2，﹣2)
所以SN= × =12，S阴影= = ，
所以豆子落在区域M内的概率为 .
故答案为： .
15.△ABC的三个内角A，B，C，若 =tan(﹣ π)，则2cosB+sin2C的最大值为 .
【考点】三角函数的化简求值.
【分析】由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式，求得 A= .余弦函数的值域，二次函数的性质求得2cosB+sin2C 的最大值.
【解答】解：△ABC的三个内角A，B，C，若 =tan(﹣ π)，
则 =﹣tan(A+ )=tan(﹣ π)=﹣tan π，
∴A+ =kπ+ ，∴A=kπ+ ，k∈Z，∴A= .
则2cosB+sin2C=2cosB+sin2[π﹣(A+B)]=2cosB+sin2[π﹣( +B)]=2cosB+sin( ﹣2B)
2cosB﹣cos2B=2cosB﹣(2cos2B﹣1)=﹣2cos2B+2cosB+1=﹣2 + ，
由于B∈(0， )，cosB∈(﹣ ，1)，故当cosB= 时，2cosB+sin2C取得最大为 ，
故答案为： .
16.已知点A(0，﹣1)，B(3，0)，C(1，2)，平面区域P是由所有满足 =λ +μ (2<λ≤m，2<μ≤n)的点M组成的区域，若区域P的面积为6，则m+n的最小值为 4+ .
【考点】平面向量的基本定理及其意义.
【分析】设M(x，y)，作出M点所在的平面区域，根据面积得出关于m，n的等式，利用基本不等式便可得出m+n的最小值.
【解答】解：设M(x，y)， ， ;
∴ ， ;
令 ，以AE，AF为邻边作平行四边形AENF，令 ，以AP，AQ为邻边作平行四边形APGQ;
∵ ;
∴符合条件的M组成的区域是平行四边形NIGH，如图所示;
∴ ;
∴ ;
∵ ;
∴ ;
∴3≤(m+n﹣4)2;
∴ ;
∴m+n的最小值为 .
故答案为：4+ .
三、解答题(满分60分)
17.已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn，且数列{ }是公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(﹣1)nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
【考点】数列的求和;等差数列的通项公式.
【分析】(1)运用等差数列的通项公式，可得Sn=n(2n﹣1)，再由n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，即可得到所求通项;
(2)求得bn=(﹣1)nan=(﹣1)n•(4n﹣3).讨论n为偶数，n为奇数，结合等差数列的求和公式计算即可得到所求和.
【解答】解：(1)由数列{ }是公差为2的等差数列，
可得 =1+2(n﹣1)=2n﹣1，
即Sn=n(2n﹣1)，
n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n(2n﹣1)﹣(n﹣1)(2n﹣3)=4n﹣3，
对n=1时，上式也成立.
故an=4n﹣3;
(2)bn=(﹣1)nan=(﹣1)n•(4n﹣3).
当n为偶数时，前n项和Tn=﹣1+5﹣9+13﹣…﹣(4n﹣7)+(4n﹣3)
=4× =2n;
当n为奇数时，前n项和Tn=Tn﹣1+(﹣4n+3)
=2(n﹣1)﹣4n+3=1﹣2n.
则Tn= .
18.某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘，由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：
周一 无雨 无雨 有雨 有雨
周二 无雨 有雨 无雨 有雨
收益 20万 15万 10万 7.5万
若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务;无雨时收益为20万元;有雨时收益为10万元，额外聘请工人的成本为a万元.已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为0.36.(1)若不额外聘请工人，写出基地收益X的分布列及基地的预期收益;
(2)该基地是否应该外聘工人，请说明理由.
【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列.
【分析】(1)解设下周一有雨的概率为p，由题意，p2=0.36，p=0.6，基地收益x的可能取值为20，15，10，7.5，分别求出相应的概率，由此能求出基地收益X的分布列和基地的预期收益.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，其预期收益E(Y)=16﹣a(万元)，E(Y)﹣E(X)=1.6﹣a，由此能求出结果.
【解答】解：(1)设下周一有雨的概率为p，
由题意，p2=0.36，p=0.6，基地收益x的可能取值为20，15，10，7.5，
则P(X=20)=0.36，
P(X=15)=0.24，
P(X=10)=0.24，
P(X=7.5)=0.16，
所以基地收益X的分布列为：
X 20 15 10 7.5
P 0.36 0.24 0.24 0.16
基地的预期收益EX=20×0.36+15×0.24+10×0.24+7.5×0.16=14.4，
∴基地的预期收益为14.4万元.
(2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元，
则其预期收益E(Y)=20×0.6+10×0.4﹣a=16﹣a(万元)，
E(Y)﹣E(X)=1.6﹣a，
综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘工人;
成本低于1.6万元时，外聘工人;
成本恰为1.6万元时，是否外聘工人均可以.
19.如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD= CD，BE⊥DF.
(1)若M位EA的中点，求证：AC∥平面MDF;
(2)求平面EAD与平面EBC所成的锐二面角的大小.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.
【分析】(1)设EC与DF交于点N，连结MN，则MN∥AC，由此能证明AC∥平面MDF.
(2)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EAD与EBC所成锐二面角的大小.
【解答】证明：(1)设EC与DF交于点N，连结MN，
在矩形CDEF中，点N为EC中点，
因为M为EA中点，所以MN∥AC，
又因为AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，
所以AC∥平面MDF.﹣﹣﹣﹣﹣
解：(2)因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD=CD，
DE⊂平面CDEF，DE⊥CD，
所以DE⊥平面ABCD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣
以D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，
设DA=a，DE=b，B(a，a，0)，E(0，0，b)，C(0，2a，0)，F(0，2a，b)，
，
因为BE⊥DF，
所以 ， ，﹣﹣
设平面EBC的法向量 ，
由 ，取a=1，得 ，
平面EAD的法向量 ，﹣﹣
而 ，
所以，平面EAD与EBC所成锐二面角的大小为60°.
20.已知点M(﹣1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的 倍.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知m≠0，设直线l：x﹣my﹣1=0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx+y﹣m=0交曲线E于B，D两点，C，D两点均在x轴下方，当CD的斜率为﹣1时，求线段AB的长.
【考点】直线和圆的方程的应用.
【分析】(1)设出点坐标，由题目条件进行计算即可;
(2)由直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，结合圆的几何性质，解得t的值.又C，D两点均在x轴下方，直线CD：y=﹣x，解得C，D的坐标，进而可以解得m的值.
【解答】解：(1)设曲线E上任意一点坐标为(x，y)，
由题意， ，﹣﹣﹣﹣﹣
整理得x2+y2﹣4x+1=0，即(x﹣2)2+y2=3为所求.﹣﹣﹣﹣﹣
(2)由题知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)，
设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，线段CD的中点为P，
则直线EP：y=x﹣2，设直线CD：y=﹣x+t，
由 ，解得点 ，﹣﹣﹣﹣﹣
由圆的几何性质， ，
而 ，|ED|2=3， ，解之得t=0或t=3，
又C，D两点均在x轴下方，直线CD：y=﹣x.
由 解得 或
不失一般性，设 ，﹣﹣
由 消y得：(u2+1)x2﹣2(u2+2)x+u2+1=0，(1)
方程(1)的两根之积为1，所以点A的横坐标 ，
又因为点 在直线l1：x﹣my﹣1=0上，解得 ，
直线 ，所以 ，﹣﹣
同理可得， ，所以线段AB的长为 .﹣﹣
21.设函数f(x)= x2﹣mlnx，g(x)=x2﹣(m+1)x.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.
【考点】利用导数研究函数的单调性;函数的图象.
【分析】(1)求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;
(2)令F(x)=f(x)﹣g(x)，问题等价于求F(x)的零点个数，结合函数的单调性以及m的范围，求出即可.
【解答】解：(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，
f′(x)=x﹣ = ，
m≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，+∞)递增，
m>0时， ，…
当 时，f'(x)<0，函数f(x)的单调递减，
当 时，f'(x)>0，函数f(x)的单调递增.
综上：m≤0时，f(x)在(0，+∞)递增;
m>0时，函数f(x)的单调增区间是 ，减区间是 .…
(2)令 ，
问题等价于求函数F(x)的零点个数，…
，当m=1时，F'(x)≤0，函数F(x)为减函数，
注意到 ，F(4)=﹣ln4<0，所以F(x)有唯一零点;…
当m>1时，0
所以函数F(x)在(0，1)和(m，+∞)单调递减，在(1，m)单调递增，
注意到 ，F(2m+2)=﹣mln(2m+2)<0，
所以F(x)有唯一零点; …
综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.…
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲.
22.如图，∠BAC的平分线与BC和△ABC的外接圆分别相交于D和E，延长AC交过D，E，C三点的圆于点F.
(1)求证：EC=EF;(2)若ED=2，EF=3，求AC•AF的值.
【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质.
【分析】(1)证明∠ECF=∠EFC，即可证明EC=EF;
(2)证明△CEA∽△DEC，求出EA，利用割线定理，即可求AC•AF的值.
【解答】(1)证明：因为∠ECF=∠CAE+∠CEA=∠CAE+∠CBA，∠EFC=∠CDA=∠BAE+∠CBA，AE平分∠BAC，
所以∠ECF=∠EFC，所以EC=EF.﹣﹣﹣
(2)解：因为∠ECD=∠BAE=∠EAC，∠CEA=∠DEC，
所以△CEA∽△DEC，即 ，﹣﹣﹣
由(1)知，EC=EF=3，所以 ，﹣﹣﹣
所以 .﹣﹣﹣
选修4-4：坐标系与参数方程
23.已知曲线C1的参数方程为 曲线C2的极坐标方程为ρ=2 cos(θ﹣ )，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线C2的直角坐标方程;
(2)求曲线C2上的动点M到直线C1的距离的最大值.
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【分析】(Ⅰ)由ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ，能求出C2的直角坐标方程.
(Ⅱ)曲线C1消去参数，得C1的直角坐标方程为 ，求出圆心到直线C1的距离，由此能求出动点M到曲线C1的距离的最大值.
【解答】解：(Ⅰ) ，…
即ρ2=2(ρcosθ+ρsinθ)，
∴x2+y2﹣2x﹣2y=0，
故C2的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.…
(Ⅱ)∵曲线C1的参数方程为 ，
∴C1的直角坐标方程为 ，
由(Ⅰ)知曲线C2是以(1，1)为圆心的圆，
且圆心到直线C1的距离 ，…
∴动点M到曲线C1的距离的最大值为 .…
选修4-5：不等式选讲
24.已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x+1|.
(1)解不等式f(x)>1.
(2)当x>0时，函数g(x)= (a>0)的最小值总大于函数f(x)，试求实数a的取值范围.
【考点】绝对值三角不等式;分段函数的应用.
【分析】(1)分类讨论，去掉绝对值，求得原绝对值不等式的解集.
(2)由条件利用基本不等式求得 ，f(x)∈[﹣3，1)，再由 ，求得a的范围.
【解答】(1)解：当x>2时，原不等式可化为x﹣2﹣x﹣1>1，此时不成立;
当﹣1≤x≤2时，原不等式可化为2﹣x﹣x﹣1>1，即﹣1≤x<0，
当x<﹣1时，原不等式可化为2﹣x+x+1>1，即x<﹣1，
综上，原不等式的解集是{x|x<0}.
(2)解：因为当x>0时， ，当且仅当 时“=”成立，
所以 ， ，所以f(x)∈[﹣3，1)，
∴ ，即a≥1为所求.
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