2017年赤峰数学中考练习真题(2)
∴CH=a，DH= a，
在Rt△DFH中，DF= = =2 a，
在Rt△ECG中，∵CE=a，
∴CG= a，GE= a，
在Rt△BEG中，BE= = = a，
∴ •AP•BE= •DF•AQ，
∴ = = ，
故答案为 .
【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.
三、解答题：(本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分)
19.计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+ .
【考点】实数的运算;特殊角的三角函数值.
【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可.
【解答】解：原式=2× ﹣| 1|+ ，
= +1+ ，
=﹣2 ﹣3.
【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键.
20.将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D.求：(1)点B、C、D坐标;(2)△BCD的面积.
【考点】抛物线与x轴的交点;二次函数图象与几何变换.
【分析】(1)首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标;
(2)过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解.
【解答】解：(1)抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5.
y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9，
则D的坐标是(2，﹣9).
在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，
则C的坐标是(0，﹣5)，
令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，
解得x=﹣1或5，
则B的坐标是(5，0);
(2)过D作DA⊥y轴于点A.
则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC= (2+5)×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15.
【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键.
21.，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设 = ， = .求：
(1)向量 (用向量 、 表示);
(2)tanB的值.
【考点】*平面向量;梯形;解直角三角形.
【分析】(1)首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出 = = ， = = ， = + .
(2)由△DFC∽△BAC，推出 = = ，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC= = =2 ，由tanB= ，即可解决问题.
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AC平分∠DCB，
∴∠DCA=∠ACB，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵DE∥AB，AB⊥AC，
∴DE⊥AC，
∴AF=CF，
∴BE=CE，
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴DE=AB，
∴ = = ， = = ，
∴ = + .
(2)∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，
∴△DFC∽△BAC，
∴ = = ，
∵CD=AD=3，∴BC=6，
在Rt△BAC中，∠BAC=90°，
∴AC= = =2 ，
∴tanB= = = .
【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题.
22.，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处.
(1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离(记过保留根号);
(2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间(结果精确到0.1小时).(参考数据： =1.41， =1.73)
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.
【分析】(1)首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可;
(2)通过解直角△BCD来求BC的长度.
【解答】解：(1)，过点C作CD⊥AB于D，
由题意，得∠ACD=30°.
在直角△ACD中，∠ADC=90°，
∴cos∠ACD= ，
∴CD=AC•cos30°=120× =60 (海里);
(2)在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，
∴cos∠BCD= ，
∴BC= = =60 ≈60×2.44=146.4(海里)，
∴146.4÷20=7.32≈7.3(小时).
答：(1)求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60 海里;
(2)如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时.
【点评】此题考查了方向角问题.此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用.
23.，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE.
(1)求证：DE∥AB;
(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF.求证：DF=AF.
【考点】相似三角形的判定与性质.
【分析】(1)根据已知条件得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论;
(2)由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出 = ，根据相似三角形的性质得到 = =1，于是得到结论.
【解答】证明：(1)∵AE•CD=AD•CE，
∴ ，
∵∠DAB=∠B，
∴AD=BD，
∴ ，
∴DE∥AB;
(2)∵BD是DF和AB的比例中项，
∴BD2=DF•AB，
∵AD=BD，
∴AD2=DF•AB，
∴ = ，
∵DE∥AB，
∴∠ADF=∠BAD，
∴△ADF∽△DBA，
∴ = =1，
∴DF=AF.
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
24.，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E.
(1)求点D的坐标;
(2)联结CD、BC，求∠DBC余切值;
(3)设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标;
(2)根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可;
(3)运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为(x，3x+3)，根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
【解答】解：(1)∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为：(0，3)，
∵OB=OC，
∴点B的坐标为：(3，0)，
∴﹣9+3b+3=0，
解得，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，
∴顶点D的坐标为(1，4);
(2)1，作DH⊥y轴于H，
则CH=DH=1，
∴∠HCD=∠HDC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠DCB=90°，
∴cot∠DBC= = =3;
(3)﹣x2+2x+3=0，
解得，x1=﹣1，x2=3，
∴点A的坐标为：(﹣1，0)，
∴ = ，又 = ，
∴ = ，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，
∴∠E=45°，
∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BME，
∴BM=BC，
设直线CA的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得， ，
则直线CA的解析式为：y=3x+3，
设点M的坐标为(x，3x+3)，
则(x﹣3)2+(3x+3)2=18，
解得，x1=0(舍去)，x2=﹣ ，
x2=﹣ 时，y=﹣ ，
∴点M的坐标为(﹣ ，﹣ ).
【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键.
25.，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P.设BD=x，AP=y.
(1)求y关于x的函数解析式及定义域;
(2)当△PQE是等腰三角形时，求BD的长;
(3)连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值.
【考点】三角形综合题;等腰梯形的性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质.
【专题】压轴题.
【分析】(1)过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，进而根据DF∥AC，求得y= ，定义域为：0
(2)当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可;
(3)先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出 = ，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出 = ，即 = ，求得x的值即可.
【解答】解：(1)所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则
根据QE=2DQ，可得
= = ，
又∵DE∥BC，
∴ = =1，
∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF= ，
∵DF∥AC，
∴ = ，即 = ，
∴y= ，定义域为：0
(2)∵DE∥BC，
∴△PEQ∽△PBC，
∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，
①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，
∴BC2=CP•AC，即4=3(3﹣y)，
解得y= ，
∴ = ，
解得x= =BD;
②当PC=BC=2时，AP=y=1，
∴ =1，
解得x= =BD;
③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意;
(3)∵DE∥BC，
∴∠BDQ+∠CBD=180°，
又∵∠CQB和∠CBD互补，
∴∠CQB+∠CBD=180°，
∴∠CQB=∠BDQ，
∵BD=CE，
∴四边形BCED是等腰梯形，
∴∠BDE=∠CED，
∴∠CQB=∠CED，
又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，
∴∠DQB=∠ECQ，
∴△BDQ∽△QEC，
∴ = ，即2DQ2=x2，
∴DQ= ，DE= ，
∵DE∥BC，
∴ = ，即 = ，
解得x= .
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解.在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.
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