2017年德州数学中考模拟真题及答案(2)
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC=(AD：AB)2=1：9，
故答案为：1：9.
16.，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 10 +1 m(结果保留根号).
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.
【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案.
【解答】解：，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，
∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，
∴BE=AE•tan60°=10 (m)，
∴BC=CE+BE=10 +1(m).
∴旗杆高BC为10 +1m.
故答案为：10 +1.
17.，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)，B在⊙A上，BD是⊙A的一条弦.则sin∠OBD= .
【考点】圆周角定理;勾股定理;锐角三角函数的定义.
【分析】连接CD，可得出∠OBD=∠OCD，根据点D(0，3)，C(4，0)，得OD=3，OC=4，由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出sin∠OBD.
【解答】解：∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD=3，OC=4，
∴CD=5，
连接CD，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD= = .
故答案为： .
18.，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点F在边AC上，并且CF=1，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 .
【考点】翻折变换(折叠问题);勾股定理.
【分析】延长FP交AB于M，得到FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，根据相似三角形的性质求出FM，根据折叠的性质QC PF，计算即可.
【解答】解：，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，
∴△AFM∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得，FM= ，
由折叠的性质可知，FP=FC=1，
∴PM= ，
故答案为： .
三、解答题(本大题共有10小题，共84分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤)
19.计算：
(1)﹣|﹣1|+ •cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0.
(2)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)
【考点】多项式乘多项式;完全平方公式;零指数幂;负整数指数幂;特殊角的三角函数值.
【分析】(1)先算绝对值，二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，再相加即可求解;
(2)先根据完全平方公式，多项式乘多项式的计算法则计算，再合并同类项即可求解.
【解答】解：(1)﹣|﹣1|+ •cos30°﹣(﹣ )﹣2+(π﹣3.14)0
=﹣1+2 × ﹣4+1
=﹣1+3﹣4+1
=﹣1;
(2)(x﹣y)2﹣(x﹣2y)(x+y)
=x2﹣2xy+y2﹣x2+xy+2y2
=﹣xy+3y2.
20.(1)解方程：x2+3x﹣2=0;
(2)解不等式组： .
【考点】解一元二次方程﹣公式法;解一元一次不等式组.
【分析】(1)求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可;
(2)先求出两个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可.
【解答】解：(1)x2+3x﹣2=0，
∵b2﹣4ac=32﹣4×1×(﹣2)=17，
∴x= ，
x1= ，x2=﹣ ;
(2)
∵解不等式①得：x≥4，
解不等式②得：x>5，
∴不等式组的解集为：x>5.
21.已知：，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF.
【考点】菱形的性质;全等三角形的判定.
【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE≌△CDF即可.
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵点E、F分别为边CD、AD的中点，
∴AD=2DF，CD=2DE，
∴DE=DF，
在△ADE和△CDF中， ，
∴△ADE≌△CDF(SAS).
22.某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
(1)求本次测试共调查了多少名学生?
(2)求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图;
(3)若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)设本次测试共调查了x名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决.
(2)用总数减去A、C、D中的人数，即可解决，画出条形图即可.
(3)用样本估计总体的思想解决问题.
【解答】解：(1)设本次测试共调查了x名学生.
由题意x•20%=10，
x=50.
∴本次测试共调查了50名学生.
(2)测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人.
条形统计图所示，
(3)∵本次测试等级为D所占的百分比为 =12%，
∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人.
23.在一个不透明的袋子中装有白色、黄色和蓝色三种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，蓝球有1个.现从中任意摸出一个小球是白球的概率是 .
(1)袋子中黄色小球有 1 个;
(2)如果第一次任意摸出一个小球(不放回)，第二次再摸出一个小球，请用画树状图或列表格的方法求两次都摸出白球的概率.
【考点】列表法与树状图法.
【分析】(1)应先根据白球的个数及概率求得球的总数，减去白球和蓝球的个数即为黄球的个数;
(2)用树状图列举出所有情况，看两次都摸出白球的情况占总情况的多少即可.
【解答】解：(1)黄球个数=2÷ ﹣2﹣1=1;
(2)
共有12种情况，两次都摸出白球的情况有2种，所以概率是 .
24.某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务.已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个G型装置或3个H型装置.工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品.
(1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品?
(2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置.请问至少需要补充多少名新工人?
【考点】一元一次不等式的应用;一元一次方程的应用.
【分析】(1)设有x名工人加工G型装置，则有(80﹣x)名工人加工H型装置，利用每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成得出等式求出答案;
(2)设招聘a名新工人加工G型装置，设x名工人加工G型装置，(80﹣x)名工人加工H型装置，进而利用每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品得出等式表示出x的值，进而利用不等式解法得出答案.
【解答】解：(1)设有x名工人加工G型装置，
则有(80﹣x)名工人加工H型装置，
根据题意， = ，
解得x=32，
则80﹣32=48(套)，
答：每天能组装48套GH型电子产品;
(2)设招聘a名新工人加工G型装置
仍设x名工人加工G型装置，(80﹣x)名工人加工H型装置，
根据题意， = ，
整理可得，x= ，
另外，注意到80﹣x≥ ，即x≤20，
于是 ≤20，
解得：a≥30，
答：至少应招聘30名新工人，
25.，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上.
(1)求斜坡AB的水平宽度BC;
(2)矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高.(结果保留根号)
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题.
【分析】(1)根据坡度定义直接解答即可;
(2)作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.证出∠GDH=∠SBH，根据 = ，得到GH=1m，利用勾股定理求出DH的长，然后求出BH=5m，进而求出HS，然后得到DS.
【解答】解：(1)∵坡度为i=1：2，AC=4m，
∴BC=4×2=8m.
(2)作DS⊥BC，垂足为S，且与AB相交于H.
∵∠DGH=∠BSH，∠DHG=∠BHS，
∴∠GDH=∠SBH，
∴ = ，
∵DG=EF=2m，
∴GH=1m，
∴DH= = m，BH=BF+FH=3.5+(2.5﹣1)=5m，
设HS=xm，则BS=2xm，
∴x2+(2x)2=52，
∴x= m
∴DS= + =2 m.
26.，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF.
(1)证明：∠E=∠C;
(2)若∠E=55°，求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= ，E是 的中点，求EG•ED的值.
【考点】圆的综合题.
【分析】(1)直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C;
(2)利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案;
(3)根据cosB= ，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值.
【解答】(1)证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠B=∠E，
∴∠E=∠C;
(2)解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°﹣∠E，
又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，
∴∠CFD=∠E=55°，
又∵∠E=∠C=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°;
(3)解：连接OE，
∵∠CFD=∠E=∠C，
∴FD=CD=BD=4，
在Rt△ABD中，cosB= ，BD=4，
∴AB=6，
∵E是 的中点，AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=90°，
∵AO=OE=3，
∴AE=3 ，
∵E是 的中点，
∴∠ADE=∠EAB，
∴△AEG∽△DEA，
∴ = ，
即EG•ED=AE2=18.
27.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是△ABC的中线，AM⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a，AC=b，AB=c.
【特例探究】
(1)1，当tan∠PAB=1，c=4 时，a= 4 ，b= 4 ;
2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ;
【归纳证明】
(2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.
【拓展证明】
(3)4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3 ，AB=3，求AF的长.
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题.
②连接MN，在RT△PAB，RT△PMN中，利用30°性质求出PA、PB、PN、PM，再利用勾股定理即可解决问题.
(2)结论a2+b2=5c2.设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题.
(3)取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用(2)中结论列出方程即可解决问题.
【解答】(1)解：1中，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN= AB=2 ，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PNM=∠PMN=45°，
∴PN=PM=2，PB=PA=4，
∴AN=BM= =2 .
∴b=AC=2AN=4 ，a=BC=4 .
故答案为4 ，4 ，
2中，连接NM，
，∵CN=AN，CM=BM，
∴MN∥AB，MN= AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA= ，
在RT△MNP中，∵∠NMP=∠PAB=30°，
∴PN= ，PM= ，
∴AN= ，BM= ，
∴a=BC=2BM= ，b=AC=2AN= ，
故答案分别为 ， .
(2)结论a2+b2=5c2.
证明：3中，连接MN.
∵AM、BN是中线，
∴MN∥AB，MN= AB，
∴△MPN∽△APB，
∴ = = ，
设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BM2=4(MP2+BP2)=4x2+16y2，
b2=AC2=4AN2=4(PN2+AP2)=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5(4x2+4y2)=5c2.
(3)解：4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，
同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由(2)可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF= AD= ，
∴9+AF2=5×( )2，
∴AF=4.
28.，已知抛物线y=﹣ x2﹣ x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
(1)求点A，B，C的坐标;
(2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积;
(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标;若不存在，请说明理由.
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)分别令y=0，x=0，即可解决问题.
(2)由图象可知AB只能为平行四边形的边，分E点为抛物线上的普通点和顶点2种情况讨论，即可求出平行四边形的面积.
(3)分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题.
【解答】解：(1)令y=0得﹣ x2﹣ x+2=0，
∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，
∴点A坐标(2，0)，点B坐标(﹣4，0)，
令x=0，得y=2，∴点C坐标(0，2).
(2)由图象①AB为平行四边形的边时，
∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，
∴点E坐标(﹣7，﹣ )或(5，﹣ )，此时点F(﹣1，﹣ )，
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6× = .
②当点E在抛物线顶点时，点E(﹣1， )，设对称轴与x轴交点为M，令EM与FM相等，则四边形AEBF是菱形，此时以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积= ×6× = .
(3)所示，①当C为等腰三角形的顶角的顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，CN= = ，
∴点M1坐标(﹣1，2+ )，点M2坐标(﹣1，2﹣ ).
②当M3为等腰三角形的顶角的顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+2，
∴线段AC的垂直平分线为y=x与对称轴的交点为M3(﹣1.﹣1)，
∴点M3坐标为(﹣1，﹣1).
③当点A为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在.
综上所述点M坐标为(﹣1，﹣1)或(﹣1，2+ )或(﹣1，2﹣ ).
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