2017年广东省数学中考模拟试题(2)
∠ACP=∠BCP=90°，∠APC=30°，∠BPC=45°.
在Rt△ACP中，
∵∠ACP=90°，∠APC=30°，
∴AC= AP=50，PC= AC=50 .
在Rt△BPC中，
∵∠BCP=90°，∠BPC=45°，
∴BC=PC=50 .
∴AB=AC+BC=50+50 ≈50+50×1.732≈136.6(米).
答：景点A与B之间的距离大约为136.6米.
四、解答题(二)(每题7分，共21分)
20.“3•15”前夕，为了解食品安全状况，质监部门抽查了甲、乙、丙、丁四个品牌饮料的质量，将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
(1)这次抽查了四个品牌的饮料共 200 瓶;
(2)请你在答题卡上补全两幅统计图;
(3)求图1中“甲”品牌所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若四个品牌饮料的平均合格率是95%，四个品牌饮料月销售量约20万瓶，请你估计这四个品牌的不合格饮料有多少瓶?
【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.
【分析】(1)根据乙的瓶数40，所占比为20%，即可求出这四个品牌的总瓶数;
(2)根据丁品牌饮料的瓶数70，总瓶数是200，即可求出丁所占的百分比，再用整体1减去其它所占的百分比，即可得出丙所占的百分比，再乘以总瓶数，即可得出丙的瓶数，从而补全统计图;
(3)根据甲所占的百分比，再乘以360°，即可得出答案;
(4)用月销售量×(1﹣平均合格率)即可得到四个品牌的不合格饮料的瓶数.
【解答】解：(1)四个品牌的总瓶数是：
40÷20%=200(瓶);
(2)丁所占的百分比是： ×100%=35%，
丙所占的百分比是：1﹣30%﹣20%﹣35%=15%，
则丙的瓶数是：200×15%=30(瓶);
：
(3)甲所对应的扇形圆心角的度数是：30%×360°=108°;
(4)根据题意得：200000×(1﹣95%)=10000(瓶).
答：这四个品牌的不合格饮料有10000瓶.
故答案为：200.
21.现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装80台空调，乙安装队提前一天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务.已知甲队比乙队平均每天多安装2台空调，求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调.
【考点】分式方程的应用.
【分析】设甲安装队每天安装x台空调，则乙安装队每天安装(x﹣2)台空调，根据乙队比甲队多用时间一天为等量关系建立方程求出其解即可.
【解答】解：设甲安装队每天安装x台空调，则乙安装队每天安装(x﹣2)台空调，由题意，得
，
解得：x1=22，x2=﹣6.
经检验，x1=22，x2=﹣6都是原方程的根，x=﹣6不符合题意，舍去.
∴x=22，
∴乙安装队每天安装22﹣2=20台.
答：甲安装队每天安装22台空调，则乙安装队每天安装20台空调.
22.，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE⊥BC，垂足为E.
(1)求证：DE是⊙O的切线;
(2)若DG⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点G，∠A=35°，⊙O半径为5，求劣弧DG的长.(结果保留π)
【考点】切线的判定;弧长的计算.
【分析】(1)连接BD，OD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根据切线判定推出即可;
(2)求出∠BOD=∠GOB，求出∠BOD的度数，根据弧长公式求出即可.
【解答】(1)证明：1，连接BD、OD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴DO∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD为半径，
∴DE是⊙O切线;
(2)解：2所示，连接OG，OD
∵DG⊥AB，OB过圆心O，
∴弧BG=弧BD，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠BOG=∠BOD=70°，
∴∠GOD=140°，
∴劣弧DG的长是 = π.
五、解答题(三)(每题9分，共27分)
23.，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，﹣2).
(1)求直线AB的解析式;
(2)若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求经过点C的反比例函数的解析式.
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.
【分析】(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A(1，0)、点B(0，﹣2)分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式;
(2)根据三角形的面积公式和直线解析式求出点C的坐标，即可求解.
【解答】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵直线AB过点A(1，0)、点B(0，﹣2)，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2;
(2)设点C的坐标为(m，n)，经过点C的反比例函数的解析式为y= ，
∵点C在第一象限，
∴S△BOC= ×2×m=2，
解得：m=2，
∴n=2×2﹣2=2，
∴点C的坐标为(2，2)，
则a=2×2=4，
∴经过点C的反比例函数的解析式为y= .
24.1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD;∠ACB=∠DCE=90°，AB与CE交于F，ED与AB，BC，分别交于M，H.
(1)求证：CF=CH;
(2)2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形?并证明你的结论.
【考点】菱形的判定;全等三角形的判定与性质.
【分析】(1)要证明CF=CH，可先证明△BCF≌△ECH，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH;
(2)根据△EDC绕点C旋转到∠BCE=45°，推出四边形ACDM是平行四边形，由AC=CD判断出四边形ACDM是菱形.
【解答】(1)证明：∵AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°.
在△BCF和△ECH中， ，
∴△BCF≌△ECH(ASA)，
∴CF=CH(全等三角形的对应边相等);
(2)解：四边形ACDM是菱形.
证明：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，
∴∠1=∠2=45°.
∵∠E=45°，
∴∠1=∠E，
∴AC∥DE，
∴∠AMH=180°﹣∠A=135°=∠ACD，
又∵∠A=∠D=45°，
∴四边形ACDM是平行四边形(两组对角相等的四边形是平行四边形)，
∵AC=CD，
∴四边形ACDM是菱形.
25.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC= ，点O是AB边上动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交⊙O于点E，联结BE、AE
(1)当AE∥BC((1))时，求⊙O的半径长;
(2)设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;
(3)若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长.
【考点】圆的综合题;全等三角形的判定与性质;线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;锐角三角函数的定义.
【分析】(1)过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，(1)，易证△AEF≌△BDF及四边形AEDC是平行四边形，从而可得BD=DC=5，根据垂径定理可得BG=DG= BD= ，然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理即可求出⊙O的半径长;
(2)过点A作AH⊥BC于H，(2)，运用三角函数、勾股定理及面积法可求出AC、AB、AH、BH、CH，根据垂径定理可得DF=EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AD.然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理可求出BG(用x的代数式表示)，进而可用x的代数式依次表示出BD、DH，AD、AE，问题得以解决;
(3)①若点D在H的左边，(2)，根据等腰三角形的性质可得DH=CH，从而依次求出BD、DF、DE的长;②若点D在H的右边，则点D与点C重合，从而可依次求出BD、DF、DE的长.
【解答】解：(1)过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，(1)，
根据垂径定理可得BG=DG.
∵AE∥BC，∴∠AEF=∠BDF.
在△AEF和△BDF中，
，
∴△AEF≌△BDF，
∴AE=BD.
∵∠BFD=∠BAC=90°，
∴DE∥AC.
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=DC，
∴BD=DC= BC=5，
∴BG=DG= BD= .
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG= × = ，
∴OB= = = ，
∴⊙O的半径长为 ;
(2)过点A作AH⊥BC于H，(2)，
在Rt△BAC中，
tan∠ABC= = ，
设AC=3k，则AB=4k，
∴BC=5k=10，
∴k=2，
∴AC=6，AB=8，
∴AH= = = ，
∴BH= = = ，
∴HC=BC﹣BH=10﹣ = .
∵AB⊥DE，
∴根据垂径定理可得DF=EF，
∴AB垂直平分DE，
∴AE=AD.
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG，
∴OB= = = BG=x，
∴BG= x，
∴BD=2BG= ，
∴DH=BH﹣BD= ﹣ x，
∴y=AE=AD=
=
=
= (0
(3)①若点D在H的左边，(2)，
∵AD=AC，AH⊥DC，
∴DH=CH= ，
∴BD=BH﹣DH= ﹣ = .
在Rt△BFD中，
tan∠FBD= = ，
∴BF= DF，
∴BD=
=
= DF= ，
∴DF= ，
∴DE=2DF= ;
②若点D在H的右边，
则点D与点C重合，
∴BD=BC=10，
∴ DF=10，
∴DF=6，
∴DE=2DF=12.
综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为 或12.
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